导数轴心数学

目录第一章:导数的概念和性质1专题一:导数的定义1专题二:利用导数研究曲线的斜率和倾斜角3.3专题三:求某点的切线方程.5专题四:求过某点的切线方程7专题五:已知切线方程求参数值9专题六:三次函数的切线问题12专题七:曲线的公切线问题17专题八:含参函数单调性的讨论21专题九:已知单调区间求参数范围26专题十:函数在区间上不单调28专题十一:含导函数的抽象函数的构造全归纳31专题十二:已知零点个数求参数范围54专题十三:零点找点技巧59第二章:导数中单变量恒成立问题的总结71专题十四:端点效应74专题十五:超越方程之隐零点79专题十六:超越方程之显零点87专题十七:单变单函恒成立之可因式分解型89专题十八:单变单函恒成立之洛必达法则93专题十九:凹凸反转100专题二十:指对同构104专题二十一:极点效应110专题二十二:切线放缩114第三章:双变量恒成立处理策略122专题二十三:独立双变量恒成立常用处理策略122专题二十四:双变量恒成立之构造法131专题二十五:双变量恒成立之主元法138专题二十六:双变量恒成立之糅合双变量144专题二十七:双变量恒成立之拉格朗日中值定理150第四章:两零点的和155专题二十八:极值点偏移之构造偏对称函数156专题二十九:极值点偏移之糅合双变量166专题三十:极值点偏移之对数不等式174专题三十一:特殊形式的极值点偏移185专题三十二:限制零点关系的极值点偏移195专题三十三:极值点漂移201专题三十四:极值点偏移的调整205专题三十五:拐点偏移211第五章:极值点问题218专题三十六:两极值点之韦达定理的妙用218专题三十七:两极值点之糅合双变量225调分给依脚踏实地,仰望星空老孟轴心数学专题三十八:三极值点之极值点偏移230第六章:零点的差和商238专题三十九:零点的差之切线夹238专题四十:零点的差之割线夹244专题四十一:零点的差之曲线夹249专题四十二:零点的差之零点放缩255专题四十三:零点的商261第七章:导数中的特殊技巧265专题四十四:对数单身狗265专题四十五:指数宠物猫268专题四十六:双参量的恒成立273专题四十七:导数中的数列求和283专题四十八:泰勒展开式在高考中的应用293第八章:三角函数与导数的综合298专题四十九:三角函数恒成立问题298专题五十:三角函数找点问题303

第一章:导数基础专题一:导数的定义名师点拨大招总结:定义:f'x=limΔx→0fx+Δx典型例题:【例1】若函数y=fx在x=x0处可导,则A.f'x0B.2f'x0C.-2f'x0D.0【解答】解:【例2】已知函数y=fx的x=x0A.2f'x0B.-2【解答】解:limh→0fx0+2【例3】设fx在R上可导,且f'1=-2021,求A.-1B.-12021C.-2021D.0【解答】解:limΔx→0f1+Δx-f导数的定义是非常容易被忽略的一个知识点。在学习的后期由于长时间不接触导数的定义,学生们都已经把导数定义遗忘,因此突然的考察导致学生们出借。【例4】已知函数fx=ln3x+4x,A.5B.-5C.-10D.10【解答】解:lim(-2)f'1,函数fx=ln3x+4x,其导数f'x=1x+【例5】.(2020春・静宁县校级月考)已知函数y=fx是可导函数,且f'1=A.12【解答】解:根据题意,limΔx→0f1【例6】.(2020秋・南山区校级月考)函数y=fx在区间(a,b)内可导,且x0∈a,bA.f'x0=1B.f'x0=2C.f'x0=4D.f'x0不确定【解答】解:专题二:利用导数研究曲线的斜率和倾斜角大招总结:导数的几何意义是研究曲线的切线的基础,函数y=fx在x0处的导数的几何意义就是曲线y=fx在点P典型例题:【例1】已知函数fx=x2lnx+1-e,fe【解答】解:∵f'x=2xlnx+x-12,∴f'e=【例2】函数fx=excosx的图象【解答】解:∵f∴∴函数图象在点0,f0∴函数图象在点0,f0处的切线的倾斜角θ为π4.故答案为【例3】曲线y=lnx-2x在x=1处的切线的倾斜角为α,A.45B.-45C.【解答】解:依题意,y'=1x+2x2,所以tanα=1【例4】已知点P在y=4ex+1曲线上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则【解答】解:根据题意得f'x∵f'x=-4则曲线y=fx上切点处的切线的斜率又∵k=tanα由图可得α∈3π4,π,【例4】设点P是曲线y=x3-3x+35上的任意一点,点P处切线的倾斜角为A.0,2πC.π2,【解答】解:y'=3∴α∈[0,π专题三:求某点处的切线方程大招总结:(1)求切点在函数上的切线方程的步骤:①求出函数fx的导数②求出切线的斜率f③写出切线方程f'x典型例题:例1.函数fx=cos2x在点【解析】解:函数fx=cos2x可得在点π4,12即有在点π4,12即为x+故答案为:x+例2.函数y=2x2-1的图象在点(1,1)处的切线方程为_____.则y'x=1=2,∴函数y=2x2-1的图象在点(1,1)处的切线方程为y-1=2x-1,即2x-y-1=0故答案为:2x-y-1=0例3.曲线y=e例4.函数fx=x+2lnx的【解答】解:函数fx=x+2lnx的导数为f'x=lnx+x+2x,可得fx的图象在点1,f1例5.已知fx为奇函数,当x<0时,fx=e-x+1【解答】解:当x>0时,-x<0所以fx=-ex-1,f'x=-ex,因为f1=-e-1,f'例6.已知函数fx=lnx+12x2【解答】解:函数fx=lnx+12x2+x的导数为f'x=1x+x+1,x>0,由于化为y=故答案为:y专题四:求过某点处的切线方程大招总结:过某点的切线方程的解题步骤:①设切点x0,fx0,则切线的斜率f'②因为切线过点(a,b),带入得b-fx0=③把求得的x0再次带入典型例题:【例1】.过原点作函数y=e2x的切线,则切线方程为_____.【解答】解:y'=2e2x,设切点为切线方程为y-e2m=2e2mx-m,而切线过(-0,0),可得-e2m=2e2m-m,解得m=故答案为:2ex-【例2】.已知函数fx=ex+2x,过点(1,2)作曲线y【解答】解:设切点为x0,y0,∵fx=ex+2x,∴f'x=ex故答案为:e2【例3】.已知函数fx=x3-4x+1.求曲线过某点求切线方程一直都是考试的重点。由于它可以转化为零点问题,所以经常会结合零点我点问题综合考查。【解答】解:(1)由fx=x3-4x+1得,f'x=3x2-4,设切点x0,x03-4x0+1,则f'x=3【例4】.已知函数fx=x3+x2,求曲线【解答】设切点坐标为x0,fx0y-fx0=f'x0x-x0入(1,2)得1=x02-x0∴x0=±1,∴切线方程为y=5x-3或y=x+1.③多项式除法1=x02-x03+x0方程有一个根是1,所以我们可以对方程因式分解【例5】.已知函数fx=2x3-6x【解答】解:(1)fx=2x3-6x,f'x=6x2-6把点0,-12代入得:化简得:4x03=12,则x0=1专题五:已知切线方程求参数值9大招总结:名师点拨(1)切点的三个特点:①切点在函数上②切点在切线上③在切点处导数值等于切线的斜率。(2)解题步骤:①设切点x0,y典型例题:【例1】已知函数fx=x3-3ax+14,若x轴为曲线y=A.12B.-12C.【解析】解:设切点为(m,0),则m3-3am+14=0,①fx=x3-3ax+a=14.故选:【例2】已知a,b为正实数,直线y=x-a与曲线y=lnx+A.0,+∞B.(0,1)C.0,【解析】解:函数y=lnx+b的导数为y'=1x+b=1,x=1-b则a22-b=a21+a,令g则函数ga为增函数,∴a22-b【例3】函数fx=alnx-x的图象在则a=_____；b=_____.答案:【解答】解:由fx=alnx-特别提醒:对于这个题型我们现在考最多的就是零点问题,在零点问题中如果我们遇到fx=kx+b的形式,绝大多数都是寻找直线与曲线相切的情况(下面一个题自己思考一下)(2021春·抚州期末)已知定义在R上的函数fx=ex-1,若函数kx=fx∣-提示:同学们只要找到相切的情况只需要设切点列方程组,函数值相等和导数相等就可以解决,_____∵函数fx=alnx-x的图象在∴故答案为:2;-2.【例4】已知函数fx=b+exlnx在1,f1处的切线方程为y=ax,这里a、b为实数,则a+b=_____.【解答】解:fx=b+exln【例5】已知函数fx=2x2-xlnx在点(1,2)【解答】解:由题可得f'x=4x-lnx-1f6.曲线y=lnx-1的一条切线方程是y=2x【解答】解:由y=lnx-1,得y'=1x-1,由题意可知lnx-1=2x-b1x-1=2x-【例8】已知函数fx=lnxx+ax2,若曲线y=fx在【解答】解:∵f∴f'1=1+2a=3,解得专题六:三次函数的切线问题1大招总结:名师点拨切线问题一直都是导数考试的重点,而三次函数又是重中之重,三次函数的切线设计到重要结论,所以它的选择,填空的解法与解答题也不同。解法一:求曲线切线一般是设出切点t,ft,根据过切线的解题方法推导出关于t的方程,把切线问题转化成关于t的实数根个数的问题.设三次函数fx=ax3+bx2①当点在上、下的部分时可以做三条切线.②当点在曲线上和切线上时可以做二条切线.③当点在左右部分时可以做一条切线.【例1】.(2021春・武清区校级期末)已知函数fx=x3-3x2,若过点(-1,0)【解答】解:法一:设过(-1,0)点切线的切点为x0,y0,则切线的斜率为k=3x02-6x0,所以切线的方程为y-y0=3x02-6x0x-x0,若切线过点(-1,0),则方程为-y0=3x02-6x0-1-x0①,所以y0特别提醒:①三次函数的切线问题实质上就是过某点求切线问题.②学习三次函数的切线问题,同学们需要先学习零点个数问题的做法【例2】.(2014・北京)已知函数fx(1)若过点P1,t存在3条直线与曲线y=fx相切,(2)问过点A-1,2,B2,10,C0,2分别存在几条直线与曲线y=fx相切?(只需写出结论)【解答】解:(1)设过点P1,t的直线与曲线y=fx相切于点x0,y0,则y0=2x03-3x0,且切线斜率为k=6x02-∴gx与g'x-∞,0(0,1)11g+0-0+g↗t↘t↗∴g0=t+3是gx的极大值,g要保证函数有三条切线,只需要保证gx有三个根∴g0=t+3>0,g1=t+1<0∴-3<t<-1综上所述,当过点过点P1,t存在3条直线与曲线y=fx相切时,t的取值范围是(-3,-1).(2)过点A-1,2法二:解:通过图像可知(-1,2)在上部可以做三条切线,(0,2)哎图像右边所以一条切线,(2,10)在图像上可以做2条切线例3.(2010・湖北)设函数fx=13x3-a2x2+1,a>【解答】过点(0,2)可作y=fx的三条切线,等价于方程2-ft=f即等价于方程23t3设gt=23t由于a>0t-∞,00aag+0-0+g↗极大值1↘极小值1↗由gt的单调性知:要使gt=01-a324<0,即法二:先求极值点中点的切线方程lx=-a24x+a324+1根据结论我们只需要把点(0,2)卡在三次函数的上下两个部分就能满足题意,因为fx解的a>2例4.(2007・全国卷Ⅱ)已知函数f(1)求曲线y=fx在点(2)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=fx的三条切线【解答】解:(1)求函数fx的导函数;f曲线y=fx在点Mt,ft处的切线方程为:(2)如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b于是,若过点(a,b)可作曲线y=fxb=3t记gt=2t3-当t变化时,gt,g'tt-∞,0(0,a)aag+0-0+g↗极大值a↘极小值b↗如果过(a,b)可作曲线y=fx三条切线,即gt=0有三个相异的实数根,则a+b>0b-fa<0即-a<b<fa法二:先求fx专题七:曲线的公切线问题大招总结:名师点拨(1)共切点公切线定理:当y=gx和y=fx和公切线切于同一点,设切点为(2)当y=gx和y=fx和公切线切于不同点,设切点为Px0,y0和Qx1,典型例题:例1.函数fx=lnx+mxx+1与gx=x2A.4B.2C.1D【解析】设公切线y=ax,a>0与两个函数fx=lnx+mxx+1与f'x=1x+mx+所以有f令h则h'x=4xhx=2x2-x+lnx-1x>0在定义域为增函数,又h1=0,则解得方程2x12-x1+lnx1-1特别提醒:公切线这个知识点异不难,其实它的核心原理就是已知切线方程求参数值。只是要运用两次,那么现在这个知识点的考查,经常作为解题的关键一步出现在导数大题中。比如说2018年天津高考导数压轴。所以同学们一定掌握好这个形式。第一象限有公共点,且在该点处的切线相同,当实数m变化时,实数a的取值范围为()A⋅4e2,+∞【解析】设切点为Ax0,y0,则x0>00由m=2x02-4x令hx=4xex,则h'x=41-xex因为x>2,所以h'例3.已知函数fx=14x2+12x+a-1x<0,gx=lnxx>0,其中a∈R,若A⋅-C⋅-【解析】f故切线方程为:ygx=lnx,故g'x=1x,切线方程为:y=1x2-1<x1<g'x=12xg0=ln2,当x→-1时,gx→+∞,故例4.若函数fx=lnx0<x≤1与函数gx=xA⋅-lnC⋅-ln【解析】解:设公切线与函数fx=lnx的图象切于Ax1,lnx1,0<x1≤1因为fx=lnx,所以f'x=1x,所以在点Ax1,lnx1处斜线的斜率k1=f'x1=1x1所以切线方程为以有1x1=2x2lnx1-1a=-ln2x2+x2ht=-ln2t+t令h't>0且t≥12,得t>22；令h't<0且t≥12,得12≤t<22所以ht在12,22上为减函数,在22,+∞上为增函数.所以函数fx=lnx0<x≤1与函数gx=x2+a有两条公切线满足【解答】解:设y=kx+b与y=lnx+2由导数的几何意义可得k=1x1=再由切点也在各自的曲线上,可得k联立上述式子解得k=2x1=专题八:含参函数单调性的讨论1大招总结:名师点拨类型题一:导数是二次函数或者类二次函数形式①先看导数最高次幂前是否含参,有参讨论参为零,无参看开口方向.②再看导数是否可以因式分解,如果可以直接因式分解,如不可以,分Δ≤0和Δ>③讨论两根大小.④讨论根与定义域的关系.类型题二:导数不是二次函数但可以因式分解①不是二次类比成二次,然后因式分解,之后求根,注意讨论所求根与定义域的关系。类型题三:导数是一次函数或类一次kx+①如果k是参量,讨论k与零的关系.②如果b是参量,讨论根与定义域的关系典型例题:【1】求函数fx=12ax2-2a+1x+2lnx的单调区间.(二次函数可因式分解)【解答】:fx的定义域为0,+∞f'x=ax-2a+1+2x=ax2-2a+1x+2x=x-2ax-1x(1)当a≤0时,fx的增区间是(0,2),减区间2,+∞(2)当0<a<12时,fx的增区间是(0,2)和1a,+∞,减区间2,1a(3)当a=12时,fx的增区间是0,+∞(4)当a当a>12时,fx的增区间是0,1a和特别提醒:含参函数的单调性的讨论是我们学习导数的第一个难点,并且单调性讨论是我们后面学习导数的根基,几乎任何的讨论都与这个讨论有关系,所以同学们做单调性的讨论不能只是我们看到题会讨论,而是盖上书我们也能清晰知道讨论的方法。【例2】已知函数fx=alnx-x2+2a【解析】:(1)由f当a=0时,f'x=-2x+1<0当a>0时,令f'x=0得x=a令f'x>0得0<x<a;令f'x<0得x>a,所以综上:a=0时,在fx0,+∞上递减,a>0时,fx在(0,【例3】已知函数fx=lnx+12x性.(二次函数不可以因式分解)【解析】:(1)fx的定义域为0,+∞,f'x=x2+ax+1xx>0,x2+ax+1≥0在x>0恒成立∴f'x=x2②当Δ>0,即a<-2或当a<-2时,由f'x>0,得0<-a-a2--a-a2-42,-a+a2-42为减函数,-a+a2-42,+∞为增函数当a>2时,由f'x=x2+ax+1x>0在0,+∞恒成立,∴fx在0,+∞【例4】已知函数fx=lnx+ax2+2a+1x.【解答】解:(1)由题意,得fx的定义域为0,+∞①若a=0,则当x∈0,+∞时,f'x>0,故②若a>0,则当x∈0,+∞时,f'x>0,故③若a<0,则当x∈0,-12a时,f'x>0,当x∈-12a,+∞时f'x综上所述,若a≥0,f'x>0,fx在0,+∞上单调递增;若a<【例5】已知fx=lnx+axa∈R,讨论fx【解答】解:(1)因为f'①当a≥0时,f'x>0,所以fx②当a<0时,若x∈0,-1a若x∈-1a,+∞时,综上,当a≥0时,fx在0当a<0时,fx在0,-1a上单调递增,fx【例6】求函数fx=x-alnxa∈【解答】:fx的定义域为①f'x=1-ax=x-ax当a≤0②当a>0时,令f'x>0,则x>a,令∴fx的增区间为a,+∞,综上所述:当a≤0时,fx当a>0时,fx的增区间为a,+∞【例7】求函数fx=xex-a【解答】:fx的定义域为f'x=1+xex(1)当a≤0时,令f'x<0,则x>-1；令∴fx增区间为-1,+∞(2)当a<0时,令f'x=①当a>1e时,fx的增区间是-∞,-1和ln②当a=1e时,fx的增区间是R③当a<1e时,fx的增区间是-∞,lna和-1,+∞,减区间lna,-1综上所述:当a≤0当a>1e时,fx的增区间是-∞,-1和lna,+∞,减区间-1,lna当当0<a<1e时,fx增区间是-∞,lna和专题九:已知单调区间求参数范围大招总结:函数在某区间上单调,先结合主导函数判断是增或减.名师点拨fx在区间M上递增⇒f'x≥0fx在区间M上递减⇒f'x≤0典型例题:【例1】函数fx=exax2+1a>0【解答】解:f'x=exa又∵函数y=ax∴f'x≥0在R上恒成立,即ax(1)当a=0时(2)当a<0时(3)当a>0时,只需Δ=4a综上所述:a的取值范围为02.函数fx=lnx+1x+ax在[2【解答】解:f'x=1x-1x2+a若fx在[2,+∞)上是单调递增,_____则f'x=1x-1x2+a≥0在[2,+∞)上恒成立∴a≥-1x+1x2,x∈2,+∞)令t=1x,则【例3】函数fx=xekx在(-1,1)内单调递增,求【解答】解:f'x=1+kxekx∵fx=xekx在特别提醒:已知单调区间求参数范围问题转换成恒成立问题后,在这里绝大多数情况下考的是二次函数恒成立,所以我们在这里写一下二次函数恒成立的假题口诀:①自然区间(R)-看开口,判Δ②人为区间(开口向上)求最大,带端点求最小,光分离如不能,在讨论.(牢记18字箴言)再加两个特例:特例1:不知开口-参变分离。特例2:偷换主元,一次函数恒成立带端点即-k+1≥0k+例4.函数fx=lnx+x2-ax在定义域上为增函数,【解答】解:f'x=1x+2x-a ∵fx在∴a≤1x+2x, x∈0,+∞当且仅当1x例5.函数fx=axx2+ba>0【解答】解:f'x=-ax2-b立∴x2专题十:函数在区间上不单调大招总结:名师点拨fx在区间M上不单调⇒f'x在M上有变号零点即转化为根的分布问题设f①函数有两个根一个根比α,一个根比α小.解题方法:f②函数一个根在m和n之间,一个根在α和β之间.解题方法:fmf③函数两根都比α大(或者小).解题方法:fαΔ>④函数在α和β之间有两个根.解题方法:ffΔ>α<-b2a<β典型例题:【例1】函数fx=x3+1-ax2-a在这里其实对于函数区间不单调我不想多说,因为高考考这个点比较少,我想说的是二次函数根的分布,有同学肯定会问这东西考吗?在哪考?在零点问题中经常考的嵌套函数的零点会与二次函数根的分布相结合,例1(2021宿州三模)已知函数fx=|x|ex,若函数gx=f2x【解答】解:f'x=3(1)-1&<a<(2)-1<-a+23<1a≠-a综上所述:a【例2】函数fx=x3+k-1x2+【解答】解:f'x=3(1)f'0f'3<0,即(2)f'0>0f'(3)由f'0>0,得k=-5,此时f解得x1=0,x2=4,此时在(0,3)故k=-5(4)由f'3=0,得k=-267,此时解得x1=3,x2=17,此时在0,17上,f'0>0,在17,3综上所述:-【例3】设函数fx=x3-3x(1)求fx(2)若fx在t,t+1上不单调,求t【解答】解:(1)因为函数fx则f'x=3x2-6x-3b,则有f'0=0f0=1,即所以fx(2)因为fx在t,t所以函数fx的极值点在区间t,t+1内,则有t<0<t+1或t<2<t+1专题十一:含导函数的抽象函数的构造全归纳大招总结:方法一.秒杀方法:已知导函数不等式解抽象不等式的题型秒杀思路1.观察导函数系数(1)系数若为正或者正负皆可,即题干不等式符号不变(2)系数若为负,即题干不等式符号改变(“>”变"<","<"变">")2.观察导函数的增减性(1)题干不等式中,大于即为单调递增(2)题干不等式中,小于即为单调递减3.代入题干不等式两端fx中的括号里面内容;若一端无fx,代入题(此题秒杀法具有缺陷,我们先将秒杀再将普法。)秒杀例题:【例1】(2021・江西上饶市)已知定义在0,+∞上的函数fx满足xf'x-fx<0,其中f'x是函数fxA.0,2021 B.0,2022 CC.2021,+∞D.(2021,2022)【解析】法一:构造函数gx=fxx,其中x>0g'x=xf'x-fxx2<0,所以,函数gx=fxx为D.法二:∵xf'x-fx<0中f'x的系数为正,并且式子中不等式是“<”号,所以原函数单调递减,所以特别提醒:秒杀有风险,使用需谨慎。同学们可以记三个最常用的构造形式Fx=xfx, F【例2】.(2021・河南新乡市)设fx的定义在R上的函数,其导函数为f'x,且满足fx+xf'xA.a>b>cB.c>【解析】法一:令gx=xfx,则g'x=fx+xf'x>0,所以gx在法二:∵fx+xf'x>号是“>”所以原函数单调递增,所以g1<g2<【例3】.(2021・陕西西安市)设fx是定义在R上的函数,其导函数为f'x,若fx-f'x<1,f0=A.-∞,0∪C.0,+∞D.【解析】法一:令gx=fx-1exg'x=f'x-fx+1ex>0,所以gx在R上递增,又f0=2021,所以g0=f0-1法二:fx-【例4】.(2021・河南)已知函数fx的定义域为-π2,π2,其导函数是f'x.有f'xcosx+A.π3,【解析】法一:由题意,函数fx满足f'xcosx+fxsinx<0,令Fx=fxcosx,则F'x=f'xcosxfxcosx<fπ3cosπ3,即Fx<得π2>x>π3,不等式fx<2ff'xfx<2fπ3cosx⇔x>π3接下来我们讲系统再讲解一下这个类型题,我们将会对这个类型题划分成六个类型.【类型1】f'x≥对于f'x≥aa≠0,可构造Fx=f【例5】.设函数f'x是奇函数fxx≠0的导函数,f-1=-2.当x>0时,fA.-∞,-1∪C.-∞,-1∪【解答】解:由f'x>2x>令gx=fx-2x,则g'x=f'x-2>0,故gx在0,+∞上单调递增,∵f-1=-2,∴g-1=f-1+2=0,又∵fx为奇函数,∴gx【例6】.定义在R上的函数fx满足f'x>2,f'x为fx的导函数,且A.-∞,0B.0,+∞C.1【解答】解:根据题意,设gx=fx-2x-1,则g'x=f'x-2,又由f'又由f1=3,则则fx>2x+1⇒fx-2x-1>0故选:C.【例7】.设函数fx在R上存在导函数f'x,∀x∈R都有,且在0,+∞上f'x>1,A.-∞,1B.(1,2)C.1【解答】解:令gx∵∀x∈R都有f∴g-x=f-x-又在0,+∞上f'x>1,∴当xgx在0,+∞上单调递增,gx为奇函数,∴gx在R上单调递增;∵故选:A.【类型2】构造指数形式的积商函数①:x②:xfx③:xfx【例8】.设函数f'x是奇函数fxx∈R的导函数,f-1=0,当x>0时,xfA.0,1C.-∞,-1∪0【解析】法一:构造函数gx=fxx由于函数fx为奇函数,g-所以gx=fxx为偶函数.当x>所以,函数gx在0,+∞上为减函数,由于函数gx=fxx为偶函不等式fx>0等价于gx>0=因此不等式fx>0的解集为-∞,-1∪【例9】.(2021・江西南昌市)设函数f'x是奇函数fxx∈R的导函数,f-1=0,当x>0时,xA.0,1C.-∞,-1∪0【解析】构造函数gx=fxx由于函数fx为奇函数,g所以gx=fxx为偶函数.当x>所以,函数gx在0,+∞上为减函数,由于函数g数,则函数gx在-∞,0上为增函数.∵f-1=0,则f1=0且f0=0,所以,g-1=g1=0.不等式因此,不等式fx>0的解集为-∞,-1∪0名师点拨【例10】.已知定义在R上的函数fx,其导函数为f'x,当x>0时,f'x-fxx>0,若a=2f1,b=【解答】解:令gx因为当x>0时,f'x-f所以当x>0时,g'x>0,所以gx所以g12<g1<所以4f12<2f1故选:B.【例11】.已知定义在R上的奇函数fx,其导函数为f'x,当x>0时,恒有xf'x+2fx<0A.(-1,0)B.-∞,-1C.(0,1)D.【解答】解:设gx=x2fx-2,则g'x=x2f'x+2xfx=xxf'x+2fx.∵当x当x<0时g'x>0,∴函数g又fx为奇函数,f1=-2,g-1=-12f-1-2=0,不等式xfx-2x>0,当x>0时即x>0时,不等式无解;当x<0时,有gx<g-1,gx在【例12】.定义在区间0,+∞上的函数fx使不等式2fx<xf'x<3fx恒成立,其中A.8<fC.3<f【解析】令gx=fxx3,则g'x=f'x⋅x3-3x2fxx6=xf'x-3fxx4,∵xf'x<3fx,即xf'x-3fx<xf'x-2fx>0,∴h'x>0在0,+∞恒成立,即有hx在0,+∞递增,可得h2>h【例13】.已知函数fx的定义域为-∞,0∪0,+∞,图象关于y轴对称,且当x<0时,f'x>fxx恒成立,设A.4afB.4afC.2D.2【解析】∵当x<0时,f'x>fxx恒成立,∴xf'x<fx,令调递减,∵f-x=fx,∴a+1f4aa+1=4ag4aa+1,∵a>1, ∴a+【例14】.已知函数fx的导函数为f'x,若∀x∈0,+∞,都有A.2f3>C.4f3<【解析】令gx=fxx2∴∀x∈0,+∞,∴g'x<0恒成立∴g1>g2,即4f1【例15】.设函数fx是定义在-∞,0上的可导函数,其导函数为f'x,且有3fx+xf【解析】根据题意,令gx=xg'x3fx+xf'x>又不等式x可化为x+20153fx+∴0>x+2015>-3;解得-2015>x>-2018,∴该不等式的解集是为①f'x+fx>0⇔exfx'>0;f'x-fx>0⇔fxex'>0名师点拨【证明】∵②:f'f【证明】:(接下来我们对不等式进行证明)f'x+fx>a=exfx-aex';f'x-fx③:倍数模型:ff【例16】.函数fx的定义域是R,f0=2,对任意x∈R,fA.{x∣C.{x∣x<-1,或x>1【解析】:令gx=eg∴fx+f'x-1<0,∴g又f0=2,∴g0=egx>g0,即exf∴exfx>ex+1【例17】.已知定义在R上的可导函数fx的导函数为f'x,满足1f'x<fx,且fx+2为偶函数,f4=1,则不等式fx<ex的名师点拨解集为()A.∴h'x<0.所以函数hx是R上的减函数,∵函数fx+2是偶函数,∴函数f-x+2=fx+2,∴函数关于x=2对称,∴f0=f4=1【例18】.已知定义在R上的可导函数fx的导函数f'x,满足f'x<fx,且fxA.0,+∞B.1,+∞C.4【解析】:可设函数gx=fxex,g'x=f'x-fxex,由f'x<fx,可得g'x<0可得gx<g0,由gx在R上递减,可得x>0.则所求不等式的解为【例19】.若定义在R上的函数fx满足fx+f'x>1,f0=A.0,+∞B.C.-∞,0∪0【解析】:令Fx=exfx-ex-3,则F'x=exfx+exf'x-ex=exfx+f'x-1; ∵fx+f'x>1【例20】.函数fx的导函数为f'x,对∀x∈R,都有2f'x>fx成立A.x>1B.0<x【解析】∵∀x∈R,都有2f'x>fx成立,∴f'x-12fx>0,于是有fxefx>ex2,∴g【例21】.函数fx的导函数f'x,对∀x∈R,都有f'x>fx成立,A.2,+∞B.(0,1)C.1,+∞【解析】∵∀x∈R,都有f'x>fx成立,∴f'x-fx>0,于是有fxex'>0,令gx=【例22】.已知fx=exlnx+12x2-2mx,若对任意的xA.-∞,1B.1,+∞C.(-∞,2]D.(-∞,1]【解答】解∴fxex'>0,设g∴fx=exlnx+12x2-2mx∴gx=fxex=lnx+12x2【例23】.fx是定义在R上的可导函数,且f'x>fx,对任意正实数a,则下列式子成立的是()A.fa>f0eaB.fa<f0eaC.fa<eaf0D.fa>eaf0【解答】:Fx【例24】.已知f'x是函数fx的导数,fx+f'x>0,且A.e2,+∞B.2,+∞【解答】解:设g则g'x=gx在R上单调递增.∵f2=2e2x=et.∴ftet>2等价于gt=g2,则t>2【类型4】关于sinxf'x±cosxfx①:sinxf'xtan②:sinxf'xtan③:cosxf'xf④:xf'x+sinf记忆方法:看f'x切为弦.【例25】.已知函数y=fx对于任意的x∈-π2,π2满足f'xcosxA.2f-πC.f-1>【解析】函数y=fx对于任意的f'xcosx+fxh'x=f'xcosx+fxsinxcosx2>0,∴h【例26】.已知函数y=fx对于任意的x∈-π2,π2满足f'xcosx+A.2fπC.f0<【解析】构造函数gx则g'∵对任意的x∈-π2,∴g'x>0,即函数gx在x即f-π3cos-π3<f-B正确；③g0<gπ4,即④g0<gπ3,即f由排除法,故选:A.【例27】.已知奇函数y=fx的定义域为x∈-π2,π2,其导函数为f'x,当0<x<π2时,A.-π4C.-π4,【解答】解:根据题意,设gx=fxcos∵当0<x<π2时∴g'x>0,∴函数gx在0,π2上为增函数,又∵fx为定义域为-π2,π2的奇函数,则g-x=-gx,∴函数即g-π4<gx<gπ4,gx在【例28】.若函数y=fx的导函数为f'x,对任意x∈-π,0,f'xsinx<fxcosx恒成立,则()A.2f-5π6>f-3π4B.f-5π6>2f-3π4C.2f-5π6<f-3π4D.f-5π6<2f-3π4【解答】解:∵【例29】设fx是定义在-π2,0∪0,π2上的奇函数,其导函数为f'x,当x∈0A.-π3C.-π2,-【解答】解:由fx是定义在-π2,为f'x,当x∈0,π2令hx=fxsinx,因为fx∴hx=fxsinx当x∈0,π2时,sinx>0f'xsinhx在0,π2上单调递减,将fxsinx<fπ3sinπ3又hx=fxsinx∴hx在-π2,0当x∈-π2,0时,sinx<0,-π3<x<0故选:B.【类型5】含有xlnx①:f'f②:f'f③:ff'x⋅xlnx-1-lnxfx>0⇔xfxlnx'>0记忆方法:将式子全部转化为f'x⋅xlnx±1±lnxfx形式,首先满足导数构造中加减乘除符号不变性,若括号内无lnx【例30】.设函数f'x是奇函数fxx∈R的导函数,当x>0时,f'x⋅lnx<-1xfxA.-3,C.-3,【解答】解:设gx则g'∵当x>0时,∴当x>0时,g'x<0,∴在区间(0,1)上,gx=lnx⋅fx>0,此时在区间1,+∞上,gx=lnx⋅fx<0,∴在x∈0,1,x∵fx为奇函数,∴在x∈-1,若x2-9fx<0,则x-3<x<0或x>3,∴x的取值范围为【例31】.若定义在0,+∞上的函数fx满足fx+xf'xA.(0,1]B.[【解答】解:令gx=则g'∵fx+xf'xlnx>x数,又∵g1=0,∴不等式fxlnx+1≥x等价于gx≥g1,∴由gx的单调性可得x≥1,即不等式的解集为[1,+∞).故选:B.【例32B.e2f1>feC.2f1<fe D.ef1得1故gx在x∈1e,+∞递减；故ge<g1,即【例33】.定义在0,+∞上的函数fx的导函数为f'x,且对∀x∈0,+∞A.12f2>C.f8>3f【解答】解:f'xlnx>1+lnxxfx得xf'g'x=xf'xlnx-1+lnxfxx2ln2x>0,∴x∈0,【类型6】非对称得构造①:平移模型:x+x②:奇偶模型:fx+f-x=【例34】.设函数fx在R上存在导函数f'x,∀x∈R都有fx+f-x=0,且在0,+∞上A.-∞,1B.(1,2)C.1【解答】解:令gx=fx-x,∵∀x∈R都有fx+f-x=0∴fx为奇函数,∴g-x=f-x--x=-fx-x=-gx即gx为奇函数,又在0,+∞上f'x>1,∴当x∈0,+∞【例35】.已知函数fx对定义域R内的任意x都有fx=f4-x,且当x≠2时其导函数f'xA.fB.flog2C.fD.f【解析】∵函数fx对定义域R内的任意x都有fx=f4-x,∴fx关于直线x=2对称;又当x≠2时其导函数f'x满足xf'x>2f'x⇔f'xx-2>0,∴当x>2时,f'x>0,fx在2,+∞上的单调递增；同理可得,【例36】.已知函数fx在R上可导,其导函数为f'x,若fx满足xA.f1<C.f3>e【解答】解:构造函数gx=fxex因为fx满足x-1f'x-fx>0,所以当x<1时,f'x-fx>0.所以g'x<0.此时函数gx单调递减；当x>1时,f'x-fx>0.所以所以g1<g0,即f1e<f0e0,由g2=g0,即f2e2=f0e0所以g3>g2,即f3e3>f0e0,所以f3=e3f0,故C正确;由g4>g2【例37】.已知定义域为R的函数fx=f-x-2sinx,又当x≥0时,f'xA.π6,+∞B.-π6【解答】解:∵f∴fx+sinx=f-x令gx=fx+sinx,∴gx=g-x,故函数gx为偶函数,∵当x≥0时,f'x≥1,∴g'x=f'x+cosx≥0,则函数gx在[0,+∞)上单调递增,∵不等式fx≥fπ3-x+3sinx+5π6即fx≥fπ3-x-32sinx+32cosx∴fx+sinx≥fπ3-xA.4B.6C.8D.10【解答】解:当x>0且x≠2时,x-22fx+f'x<0,可得爱上数学,总结数学,秒杀数学数学满分培优gx=x2fx,x∈0,+∞,则g'x=2xfx+x2f'x=x2fx+f'x,可得当0专题十二:已知零点个数求参数范围对于零点个数问题一直是导数研究的重点,由于函数的零点不可以直接名师点拨求解,所以我们需要借助于导数的单调性和极值来研究,并借助于零点的存在性定理fx1fx2大招总结:1.直接求导法:①:在区间(a,b)内有两个零点,那么区间内一定只有一个极值点我们只需要考虑两种情况如果极大值,②:在区间(a,b)内有三个零点,那么区间一定有两个极值点x1,x2,一个极大一个极小,2.参变分离法:通过函数的直接求导法我们发现零点问题都是与函数的极值点有关系的,但是当f'x=0不能求解,_____两个零点:【例1】已知函数fx=aex-x+12x2(e为自然对数的底数)在x=0处的切线与x轴平行.若【解答】解:(1)f'x=aex-1+x,∵fx在x=0处的切线与x轴平行,∴f'x=a-1=0,得a=1,Fx=令F'x>0,得x>0；令F'x<0,得x<0,∴Fx在[-1,0特别提醒:对于函数的零点问题,现在也是考试的热点了,不管同学们是用直接求导的方法做还是参变分离的方法做,都需要寻找到大于零的点(或者小于零的点),现在不许写x→∞,根据以前判卷情况,一个点2分.,所以我们学习零点的问题,实根.∴F-1=1e+【例2】已知函fx=lnax-x,gx=x+1lnx+1+x2【解答】解:(1)∵令f'x=1x-1=0,得x=1,∴当x∈0,1时,flna-1.要使函数fx有且仅有两个零点,必须lna-这时0<1ae<1令fe=1-e+lna<0,得a<ee且仅有两个零点,故实数a的取值范围为e,ee三个零点:【例3】已知函数fx=ax3-6x+1,a∈R.【解答】解:f'x=3ax2-6,当a≤0时,f'x=3ax2-6<0当a>0时,令f'x=0,则x=±2a,∴f'x>0;当-2a<x<2a2a,+∞上单调递增,在2a∴fx极大综上所述,a的取值范围为(0,32)【例4】已知函数fx=ax3-2ax2(1)求实数a,b(2)若函数gx=fx-m有且仅有三个零点,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)函数fx=ax3-2ax2+b,则f'x=3ax2-4ax=ax3x-4,①当a>0f因为函数fx=ax3-2a最大值为1,则有b=1b-3a=-2②当a<0时,令f'x>0此时函数fx的减区间为-∞,0,43由f0=bf因为函数fx=ax3-2a最大值为1,则有b=1b-3a=-2,解得a=-1,b=-2.综上所述a=1,若函数gx有且仅有三个零点,实数m的取值范围为-527,1;当a=-若函数gx有且仅有三个零点,实数m的取值范围为-参变分离【例5】已知函数fx=13x3+x2+mx+m【解析】解:令fx=13x3+x2+mx+m=0,则13x3+x2=-mx+1令hx=13x3+x2,h'x=x2+2x可知hx在-∞,-2和0,+∞上单调递增,在-2,0上单调递减,又h-2=43,h0=0y=-mx+1为过(-1,0)点的直线,又m>0,则-m<0因此13x3+x2=-mx+1有且只有一个交点即fx=13x3+x2+mx+m有唯一的零点【例5】(2019秋・河北期末)已知函数fx=ex-ax2.(1)若a=(2)解:fx在0,+∞有两个零点⇔方程ex-ax2=根,⇔a=exx2在0,+∞有两个根,即函数0,+∞有两个交点.G当x∈0,2时,G'x<当x∈2,+∞时,G'x>0∴Gx最小值为G(2)当x→0时,Gx→+∞,当x→+∞∴fx在0,+∞有两个零点时,a的取值范围是专题十三:零点找点技巧名师点拨在上一节中我们用直接求导的方法求解零点个数的方法中,主要用的就是零点存在性定理去保证零点的存在但是在很多题中却找不懂fx1>0(或者fx大招总结:那么如何找到这样的点,我们通常按下面六步:①:找特殊点f-②:找大于1的数,当a>0时,③:找大于零小于1的数,当a>0时,④:丢项放缩.找大于零的丢正项,找小于零的找负向。⑤:进行有界性放缩。函数是多项式,在每一项中分析是不是有最大值或者最小值,去进行有界性放缩.⑥:指对放缩.比如:ex≥丢项放缩:【例1】已知函数fx=lnx+1-ax-1,其中a≤-【解答】证明:(1)函数的定义域为-1,+∞,f'x=1x+1-a>0,∴fx在-1,+∞上为增函数零点.特别提醒:对于零点的找点这几年考察的绝对是大热点。但是零点找点难度也确实比较大。同学们看完这一章内容后一定要多加练习,形成自己的解题思路。同学们也可以看一下2021年天津高考导数压轴,是不是可以很轻松找出你要的点【例2】(2021・青岛开学)已知函数fx(1)若a≤0,求证:fx≥0；名师点拨(2)若f(i)求a的取值范围;(ii)求证:1ln【解答】解:(1)证明:函数的定义域为0,+∞,当a=0时若x∈0,1则x-1<0,lnx<0,f又f1=0,∴a=0时,fx≥0,当a<0时,法一:(2)(i)由(1)知,a≤0不符合题意,当a>0令hx=f'x,h'x=1x+1x∴存在x0∈1,ea,使得hx0=f此时fx单调递减,当x∈x0,+∞时,f'x>0,此时fx单调递增,∵fx0<f1<0,因为极值点在x0∈1,ea之间,所以很自然我们找点可以找比ea大的点比如e2a或者​+法二:找点标准答案fe3a∴fx有两个零点,综上,(ii)证明:∵f1x=fxx,∴若∴x∴x∴1∴2a【例3】(2021・河北区二模)已知函数fx=x+aln(I)求函数fx的单调区间(II)当x∈1,2时,都有fx>0(III)试问过点P1,3可作多少条直线与曲线y=f【解答】解:(I)函数fx的定义域为{(1)当a≥0时,f'x>0恒成立,函数fx(2)当a<0时,令f'x=0当0<x<-a时,f'x<0当x>-a时,f'x>0,综上所述,当a≥0时,函数fx当a<0时,函数fx的单调递减区间为(0,-a),单调递增区间为(II)由(I)可知,(1)当-a≤1时,即a≥-1时,函数fx所以在区间1,2上,fxmin=f(1)=1,显然函数上恒大于零;(2)当1<-a<2时,即-2<a<-1时,函数在-a,2上为增函数,所以依题意有fxmin=-a+aln-a>0,(3)当-a≥2时,即a≤-2时,fx名师点拨所以fxmin=依题意有fxmin=2+aln2>0综上所述,当a>-2ln2时,函数fx在区间(III)设切点为x0,x0+aln切线方程为y-因为切线过点P1,3,则即aln令gx则g'(1)当a<0时,在区间(0,1)上,g'x>在区间1,+∞上,g'x所以函数gx的最大值为g故方程gx=0无解,即不存在x因此当a<0时,(2)当a>0时,在区间(0,1)上,g'x<在区间1,+∞上,g'x所以函数gx的最小值为g1=-2<1的点)我们进行丢项,丢掉a取x1=e1+2a>小于1的点的时候只需要找他的倒数就可以了)故gx在1,+∞上存在唯一零点,取则gx设t=1+2at当t>1时,u'所以ut在1,+∞单调递增,(1)=e-2>0恒成立故gx在(0,1)上存在唯一零点,因此当a>0时,过点P1(3)当a=0时,fx=x,显然不存在过点综上所述,当a>0时,过点P1当a≤0时,不存在过点P1指对放缩找点:【例4】已知函数fx(1)讨论fx(2)若fx有两个零点,求a的取值范围【解析】解:(1)由fx=af'x=2ae2x+a-2e∴当x∈R,fx单调递减,当af'x=2ex+1aex当f'x>0,解得:x>ln1a,当f∴x∈-∞,ln1a时,fx当a<0时,f'x∴当x∈R,综上可知:当a≤0时,fx在R当a>0时,fx在-∞,ln1a是减函数,在(2)①若a≤0时,由(1)可知:fx当a>0时,∵函数有两个零点,fx的极小值小于由fx在-∞,ln1a是减函数,在ln∴fxmin=fln1a=a×1a2+a-2×1a-ln1a<0,∴1-1a-ln1∴a的取值范围(0,1).(在这里极小值小于零了,我们需要找两个大于零的点当0<a∵fx=ae2x+a-2ex-x>ae2x+a-2ex-ex=ae2x【例5】已知函数fx(1)讨论fx(2)若fx有两个零点,求a的取值范围【解析】解:(1)fx的定义域为-∞,+∞①若a≤0,则f'x<0,所以fx②若a>0,则由f'x=0当x∈-∞,-lna时,f'x<0；当所以fx在-∞,-lna上单调递减,在-lna(2)若a≤0,fx若a>0,当x=-lna时,f①当a=1时,f②当a>1时,f-ln③当a<1时,f-lna<0.又f--∞,-lna有一个零点.∵ex>∴fx>e∴f3a-1>0,故f综上,a的取值范围是(0,1).1有界性放缩:名师点拨【例6】已知函数fx(I)讨论fx的单调性(II)若fx有两个零点,求a的取值范围【解析】解:(I)由题f'(1)当a≥0时,∴当x∈-∞,0时,f'x=xe当x∈0,+∞时,f'x=x(2)当-e2<a<0∴当x∈-∞,ln-2a-1时,f'x当x∈ln-2a-1,0时,f'x=xex+1+2a<0,函数(3)当a=-e2时,f'x=xex+1+(4)当a<-e2时,∴当x∈-∞,0时,f'x=xe当x∈0,ln-2a-1时,f'x=xex+1+2a<0,函数fx单调递减,当x∈ln-2a-1,+∞时,f'x=x①当a>0时,故x∈-∞,0时,函数fx单调递减,数fx单调递增,f0极小值=-e<0特别提醒:在进行有界性放缩的时候很多同学会迷惑,什么函数有界不清楚,那么同学们要记住两点第一,六大常用函数有界:fx=xexfx设hx=x-1ex,h'x调递减.当x∈0,+∞时,h'x∴∴f-1a>0又∵f②当-e2<a<0时,故x∈-∞,ln-2a-1时,函数fx单调递增,x∈ln-2a-1,又∵f∴函数fx至多有一个零点③当a=-e2时,函数fx单调递增,函数④当a<-e2时,故x∈-∞,0时,函数fx单调递增,x∈0,ln-2a-1时,函数fx单调递减,x∈ln-2a-1,+∞时,函数fx单调递增,又f0=-e<0,∴函数fx至多有一个零点;综上所述:当a>0时,函数fx有两个零点.【例7】已知函数fx=x-2ex+ax-12.(I)讨论fx的单调性;(II)若fx有两个零点,求a的取值范围.【解析】解:(I)由fx=x-2ex+ax-12,可得f'x=x-1ex+2ax-1=x-1ex+2a,①当a≥0时由f'x<0,可得1<x<ln-2a.即有fx在-∞,1,ln-2a,+∞递增；在1,ln-2a递减；若-e2<a<0,由f'x>1,+∞递增；在ln-(II)①由(I)可得当a>0fx在-∞,1递减；在1,+∞且f1=-e<0,(个)∵f2=a当x∈-∞,1,h'xx∈1,+∞,h∴∴x1=1-e∴fx②当a=0时,fx=x-2ex,③当a<0若a<-e2时,fx在在-∞,1,ln又当x≤1时,fx<0,当a≥-e2时,在-∞,ln-2a单调增,在在ln-2a,只有fln-2a等于而当x≤1时,fx<综上可得,fx有两个零点时,a的取值范围为【例8】(2022耀华月考)已知函数fx=axe2x+a(e=2.71828…是自然对数的底数,(2)若x=2是函数gx=xe2fx-axe(3)若函数hx=lnx-1af【解析】解:(1)∵当a>0时,x∈-∞,12时,f'x>0,fx当a<0时,x∈-∞,12时,f'x<0,f综上,当a>0时,fx单调递增区间为-∞,12当a<0时,fx单调递增区间为12,+∞,(2)由题意可求得g因为2是函数gx在0,+∞所以ex-ax=0设φx=ex-ax,则φ'x=exx所以φx在0,+∞上单调递增,φx②当a>1时,令φ'xx∈0,lnx∈ln所以φxmin=φlna=a-alna≥0(3)由题意得:hx=lnx-1afx-a=lnx-xe2x-a,x∈0,+∞,(i)当x∈1,+∞时,lnx>0,h因为2x-1>0,e2xx>0,所以h'(ii)当x∈0,1时,lnx<0,则因为e2x∈1,e2,e2x>1,0h'x=e-2x-e2x综合iii可知,当x∈0,+∞因为函数hx=lnx-1afx-a+1有两个不同的零点,所以h1=-e-2-a<0,即a>-e-2且,a≠0,而当a>-e-2且a≠0时②当x∈0,1hx=ln1x-xe2x-a≥-lnx-12e-1+a>-lnx-1-a,∴he-1-a第二章:导数中单变量恒成立问题的总结专题介绍:名师点拨对于函数的恒成立一直都是考试中的重点,也是难点。而对于函数恒成立的研究的解题方法也是非常的多,那么对于函数的恒成立到底什么时候用什么方法才是解这个题的重点,所以在这里我们先要介绍一下恒成立的体系在进讲解.体系总结:一、不等式的恒成立问题1.若x∈D,fx>m在D上恒成立,等价于fx在2.若x∈D,fx<m在D上恒成立,等价于fx在3.对任意x∈D,都有fx<gx成立,4.对任意x∈D,都有fx>gx成立.5对任意x1,x2∈Df6.对任意x1,x2∈Dfx7.对任意x1,x2∈Df二、不等式的能成立(存在性)问题1.若存在x∈D,使得fx>m在D上能成立,等价于fx在D2.若存在x∈D,使得fx<m在D上能成立,等价于fx上的最小值fxmin<3.若存在x∈D,使得fx<gx成立,4.若存在x∈D,使得fx>gx成立,5.若在x1,x2∈D,至少存在一个x1,x三、不等式的恒成立与存在性的综合问题1.对任意x1∈D,存在x2∈E,使得fx1D上的最大值fxmax≤gxmax2.对任意x1∈D,存在x2∈E,使得fx1≥gx2成立,等价于fx在单变单函恒成立体系总结:我们接下来先讲第一类恒成立的前四种情况,我们把他们统称为单边单函的恒成立(只有一个变量,一个函数),那么对于这种恒成立我们都怎么思考,解题呢?当然我们也有特殊的解法:72①凹凸反转②指对同构③切线放缩④指对异构⑤极点效应方法很多,那么我们做题的时候到底用哪一个方法解题,我们下一节将名师点拨会给大家进行详细的讲解特别提醒:我希望同学们在学习的时候一定要形成自己一套完整的体系,而不仅仅只是学习一个解题方法。养成良好的思考问题的习惯,才是这本书最主要的目的。专题十四:端点效应大招总结:名师点拨在导数与函数的关系中,定义区间的端点是一个非常重要的点,抓住这个点,深入探究,用必要性推理,很快能得到答案。端点效应应用方法:对于定义在a,+∞上的函数fx,当x∈a,+∞时,函数fx≥0(或fx≤0)恒成立。并且我们把定义域的端点带入函数①:fa=0②:求导,证明函数端点附近成立,求出必要性③:典型例题:【例1】(2010新课标理改)设函数fx=ex-1-x-ax2【解析】解:①必要性:f'x=ex-1-2ax,f''x=ex-2a,∵f0=e0-1-0-a⋅02=0, f'0=0,f''0=1-2a≥0,∴a≤12∴a≤12是f0≥0恒成立的必要条件.②充分性:当a≤12时f''x=ex-2a≥0对x∈[0,+∞)恒成立,故f'x=ex-2ax-1在区间x∈[0,+∞)单调递增,故f'x≥0恒成立,同理可得(II)①必要性:令gx=fx-ax,则g'x=f'x-a=ex+e-x-a,g'0=1+1-a≥0,∴a≤2∴a≤2是fx≥ax恒成立的必要条件.②充分性:当a≤2时,g'x=f'x-a=特别提醒:恒成立是端点效应的题,参变分离都是洛必达法则。我们知道洛必达法则是大学的东西。那么到底能不能用,一直存在争论。所以我会更喜欢用端点效应解题。【例3】设函数fx(1)求fx的单调区间(2)若对所有的x≥0,均有fx≥ax成立,求实数【解析】解:(1)由f'x=lnx+1+1≥0得x(2)①必要性:令gx=x+1lnx+1-ax,g'x=lnx+1+1-a∴g'0=1-a≥0,∴a≤1,∴a≤1是fx≥ax恒成立的必要条件.【例4】已知函数fx=x-lnx+a(1)求a的值；(2)若对任意的x∈[0,+∞),有fx≤kx2成立,求实数k的最小值.【解析】解:(1)f'x=1-1x+a=x+a-1x+a,x+a>0令f'x=0,可得x=1-a>-a,令f'x>0,x>1-a；fh0≥0,∴k≥1②充分性:当k≥12,x≥0时,-2kx≤0,x-12k+1≥0,g'x<0,在0,+∞上恒成立,gx在[0,+∞)上单调递减,∴gx≤g0=0,∴对任意的x∈[0,+∞),有fx≤kx2【例5】已知函数fx(1)当a=4求曲线y=fx(2)若x>1时,fx>0,求【解析】解:(1)当a=4时,∴x>0,fx=lnx+1x-3,∴f'1=11+ln1-3=-(2)①必要性:令gx=f'x=lnx+1②充分性:当a≤2时,g'x=1x-1x2=x-1x2,当x∈1,+∞时,恒成立的充要条件.综上,a的取值范围是(-∞,【例6】(2015年山东)设函数fx=lnx+1+ax2-x,a∈R,若特别提醒:在二阶导不能保证恒正或(者恒负的情况下我们可以舍掉分母只[∀x>0,fx≥0f0∴a≤1是②充分性:当a≤1时,设h当a=0,f'x=∴fx≥0当0<a≤1时,h'x=∴hx≥0,∴f'x≥0∴fx在0,+∞上单调递增.∴fx≥0恒成立,符合题意.当a<0时,令gx=lnx+1-x,g'x=1x+1-1=-【例7】(2010・全国卷Ⅱ)设函数fx=1-e-xfx≤xax+1,【解析】解:①必要性:令FxFF∴a≤12是②充分性:当a≤12时,要使1-e-x≤xax+故xax+1≥0,即ax+1>0,故a≥0,∴0≤a≤12∴当0≤a≤12时,F''x≥0对x∈[0,+∞)恒成立,故F'x在区间x∈[0,+∞)单调递增,名师点拨故F'x≥专题十五:超越方程之隐零点大招总结:①:超越方程概念:当我们求函数等于零时,由于函数中存在指数或者对数使我们方程不会解,这类方程我们称为超越方程。②隐零点概念:在求解函数问题时,很多时候都需要求导函数f'x在区间I上的零点,但当导数是超越方程时不能求出其准确值,并且也猜不出,导致解题过程将无法继续进行,(1)求出函数fx的导函数f'x,判断f(2)若f'x=0是超越方程(有解,但求不出来),这时我们就设x=x0(3)运用零点的存在性定理卡零点范围,fx1fx2<0,∴x1<x.0<x2(5)判断出f'x的正负就可知道fx的增减性(6)把x=x0带入到fxfx还是有指对的超越没有办法化简,所以需要用f'x=0换掉考点一:隐零点与参数最值【例1】已知函数f(I)求函数fx的单调区间(II)若关于x的不等式fx≤a-1x-1恒成立,求整数a的最小值.【解析】解:(I)fx的定义域是0,+∞a>0时,令f'x>0,解得:0<x<1a故fx在0,1a递增,在(2)fx≤a-1x-1等价为a≥lnx+x+112x2+x在x特别提醒:当我们做恒成立的时候发现求的不是参数的范围而是参数的最值,一般都是隐零点问题g'x=x+1-12x-lnx设hxhx在0,+∞递减,设hx=0的根为x0当x∈x0,+∞时gx在x∈0,x0递增,即有gx由h12=ln2-1此时1<1x0<2即a≥2,则有整数a【例2】已知函数fx=lnx-ax2+bx,曲线f(1)求实数a,b(2)如果不等式f'x>klnx+1+【解析】解:(1)∵f∴f'x=1x-2x+b,由题意可得(2)由(I)可得fx由f'x>klnx令gx=x+1x令hx=x-1-ln所以hx有唯一的实数根x0∈2,则h'x=∴x∈0,xx∈x0∴g∴k≤3,k∈z【例3】已知函数fx=ax2+bx+(I)求实数a、b的值；(II)设gx=x2-x,若k∈Z,且k