高等数学教学课件1183

第一章函数的极限与连续

1.1函数及其性质1.2初等函数1.3数学模型方法概述1.4极限的概念1.5极限的运算1.6函数的连续性本章小结1.1函数及其性质

1.1.1函数函数是微积分学研究的对象.虽然在中学已经学习了函数的概念，但是在以后的学习中我们不再是进行简单的重复，而是要从全新的视角对函数进行描述并重新分类.

1.函数的定义

定义1-1设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集，如果对于每一个x∈D，变量y按照一定的法则f总有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈D其中，x称为自变量；y称为因变量；D称为定义域.

在函数的定义中，对于确定的x0∈D，按照对应法则f，总有唯一确定的值y0与之对应，这个值y0称为函数y=f(x)在x0处的函数值，记作f(x0)或.函数值的全体所构成的集合称为函数的值域，记作M.即需要指出，按照上述定义，记号f和f(x)的含义是有区别的：前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则；而后者表示与自变量x对应的函数值.表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可用其他的英文字母或希腊字母，如“g”、“F”、“φ”等.有时还可直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作y=y(x).在同一问题中讨论几个不同的函数时，为了表示区别，需用不同的记号来表示它们.

2.函数的两个要素

函数的对应法则f和定义域D称为函数的两个要素.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的；否则就是不同的.

函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定；另一种是对抽象算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合.定义域一般用区间来表示.邻域是一个经常应用到的概念.以点x0为中心的任何开区间称为点x0的邻域，记作N(x0).

设δ是任一正数，则开区间(x0－δ，x0+δ)就是点x0的一个邻域，这个邻域称为点x0的δ邻域，记作N(x0，δ)，即点x0称为该邻域的中心；δ称为该邻域的半径.如图1-1所示.图1-1有时，在分析中需要把用到的邻域的中心去掉.点x0的δ邻域在去掉中心x0后，称为点x0的去心邻域，记作，即例1-1设f(x)=2x2+3x-1是一个特定的函数，试写出其对应法则.

解

f(x)=2x2+3x－1是一个特定的函数，其对应法则为

f()=2()2+3()－1

例1-2设f(x+1)=x2－3x，求f(x).

解令x+1=t，则x=t－1，所以f(t)=(t－1)2－3(t－1)=t2－5t+4

即f(x)=x2－5x+4

例1-3求下列函数的定义域.

(1)；

(2)

f(x)=arcsin(2x－1).

解(1)这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函数的定义域，再求其公共部分即可.

要使有意义，必须满足x+2>0.即x>－2，定义域为(－2，+∞).

要使有意义，必须满足x(x－1)≥0.解得x≥1或x≤0，即定义域为(－∞，0］∪［1，+∞).

于是，所求函数的定义域为(－2，0］∪［1，+∞).

(2)要使arcsin(2x－1)有意义，必须满足|2x－1|≤1，即－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1，所以函数的定义域为［0，1］.

例1-4下列函数是否相同?为什么？

(1)y=lnx2与y=2lnx；

(2)与.

解

(1)y=lnx2与y=2lnx是不同的函数，因为它们的定义域不同；

(2)与是相同的函数，因为它们的对应法则与定义域均相同.

3.函数的表示法

函数的主要表示方法通常有以下三种：

(1)解析法(公式法).自变量x与因变量y的函数关系由数学表达式给出，便于理论研究，微积分中的绝大部分函数都是用这种方法表示的.

(2)图像法.把函数关系用平面的点集{(x，y)|y=f(x)，x∈D}反映出来.一般情况下，它是一条平面曲线.例如，气象站的温度记录器记录了温度与时间的函数关系，它就是借助于仪器自动描绘在纸带上的一条曲线来表达其关系的.再如，物理和化学试验中的实验曲线也是用图像表示函数的例子.用图像法表示函数形象、直观，函数的性态表现得十分明显.

(3)表格法.变量间的函数关系通过列表形式反映出来.例如，火车时刻表就是利用列表的方法，把进(出)站火车的车次与时间的函数关系表示出来.这种表示方法使得自变量与因变量的对应关系一目了然.

4.分段函数某市电话局规定市话的收费标准为：当月所打电话次数不超过30次时，只收月租费10元；超过30次时，每次加收0.20元.则电话费y和用户当月所打电话次数x的关系可用下面的形式给出：像这种在自变量的不同范围内，对应法则用不同的式子来表示的函数通常称为分段函数.分段函数是微积分中常见的一种函数.例如，符号函数可以表示成图1-2的形式.注意:(1)分段函数是用几个解析表达式表示一个函数，而不是表示几个函数.

(2)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集.例1-5设函数求f(－π)、f(1)、f(3.5)及函数的定义域.解因为－π∈［－4，1)，所以f(－π)=sin(－π)=0.

因为1∈［1，3)，所以f(1)=1.

因为3.5∈［3，+∞)，所以f(3.5)=5×3.5－1=16.5.

函数的定义域为［－4，+∞).

1.1.2函数的几种特性

1.函数的有界性

定义1-2设函数y=f(x)在集合D上有定义，如果存在一个正数M，对于任意x∈D，恒有|f(x)|≤M成立，则称函数f(x)在D上有界；否则称f(x)在D上无界.

这个性质表明，函数在D上的值域包含在有限区间[－M，M]上，其在几何上表现为，函数表达的图像位于直线y=－M和y=M之间的区域内.例如，图1-3所示的函数y在区间[a，b]内有界.

图1-3例如，y=sinx在定义域(－∞，+∞)内有界，这是因为|sinx|≤1，x∈(－∞，+∞)；而在(0，1)内无界.注意:(1)当一个函数y=f(x)在区间(a，b)内有界时，正数M的取值不是唯一的.例如，y=sinx在(－∞，+∞)内是有界的，有|sinx|≤1，但是我们可以取M=2，即|sinx|<2总是成立的，实际上M可以取任何大于1的数.

(2)有界性是依赖于区间的.例如，在(1，2)内有界，在(0，1)内无界.

2.函数的单调性

定义1-3设函数y=f(x)的定义域为D，区间I

D，对于区间I上的任意两点x1和x2，①若当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的(如图1-4所示)；②若当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的(如图1-5所示).单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.图1-4图1-5例如，函数y=x2，在区间［0，+∞)内严格单调增加，在区间(－∞，0］内严格单调减少，在定义区间(－∞，+∞)内则不具有单调性，如图1-6所示.函数y=x3在区间(－∞，+∞)内是单调增加的，如图1-7所示.图1-6图1-7

3.函数的奇偶性定义1-4设函数f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任一x∈D，都有

(1)f(－x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数；

(2)f(－x)=－f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数.例如，y=x2是偶函数，因为f(－x)=(－x)2=x2=f(x)；y=x3是奇函数，因为f(－x)=(－x)3=－x3=－f(x).

偶函数的图像关于y轴对称(如图1-6)，奇函数的图像关于原点对称(如图1-7).

4.函数的周期性

定义1-5设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零正数l，使得对于任一x∈D且(x+l)∈D时，有f(x+l)=f(x)

恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期.通常我们所说周期函数的周期是指最小正周期.例如，函数sinx、cosx都是以2π为周期的周期函数；函数tanx是以π为周期的周期函数.周期为l的一个周期函数，在每个长度为l的区间上，函数图形有相同的形状.1.2初等函数

1.2.1基本初等函数通常，把在中学数学中学过的六大类函数统称为基本初等函数，即

(1)常函数y=C(C为实常数).

(2)幂函数y=xα(α为实常数).

(3)指数函数y=ax(a>0，a≠1).

(4)对数函数y=logax(a>0，a≠1).

(5)三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx，其中，正割函数，余割函数.

(6)反三角函数y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx.

上述这些函数在中学数学中已做过较详细的讨论，下面针对反三角函数的图像和性质进行简要的复习.反三角函数是三角函数的反函数.反正弦函数y=arcsinx的图形如图1-8所示，其定义域是x∈[－1，1]，值域是，该函数是单调增加的，是奇函数，即arcsin(－x)=arcsinx.

反余弦函数y=arccosx的图形如图1-9所示，其定义域是x∈[－1，1]，值域是y∈[0，π]，该函数是单调减少的，且有arccos(－x)=π－arccosx成立.图1-8图1-9反正切函数y=arctanx的图形如图1-10所示，其定义域是x∈(－∞，+∞)，值域是，该函数是单调增加的，是奇函数，即arctan(－x)=-arctanx.图1-10反余切函数y=arccotx的图形如图1-11所示，其定义域是x∈(－∞，+∞)，值域是y∈(0，π)，该函数是单调减少的，且有arccot(－x)=π－arccotx成立.图1-111.2.2复合函数

定义1-6设函数y=f(u)，而u=φ(x)，如果u=φ(x)的值域或其部分包含在y=f(u)的定义域中，那么y通过中间变量u构成x的函数，称为x的复合函数，记作y=f[φ(x)]

其中，x是自变量；u称为中间变量.对于复合函数，说明如下：

(1)不是任何两个函数都可以构成一个复合函数.例如y=lnu与就不能构成复合函数，这是因为的值域是u<0，而y=lnu的定义域是u>0，前者函数的值域完全没有被包含在后者函数的定义域中.

(2)复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量，这些中间变量是经过多次合成产生的.

(3)复合函数通常不一定是由纯粹的基本初等函数复合而成，而是由更多的基本初等函数经过四则运算形成的简单函数构成的，复合函数的合成和分解往往是对简单函数而言的.

例1-6已知，u=x－1，试将y表示成x的函数.

解因为的定义域为u∈［0，+∞)，u=x－1的值域为u∈(－∞，+∞)，所以可以构成复合函数.将u=x－1代入，可得例1-7下列函数是由哪些简单函数复合而成的?

(1)

y=sin2x；

(2)；

(3)；解

(1)y是由y=sinu与u=2x复合而成；

(2)y是由y=u2、u=tanv及复合而成；

(3)y是由y=eu、

u=2v3、

v=sint及t=x2复合而成.1.2.3初等函数

定义1-7由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤而构成的，且能用一个解析式表示的函数，叫做初等函数.例如，、等都是初等函数.对于分段函数，大多不能用一个解析式子表示出来，因而不是初等函数.但也有例外，如分段函数可以改写成，所以它还是初等函数.微积分中研究的函数绝大部分都是初等函数.*1.3数学模型方法概述

函数关系可以说是一种变量相依的数学模型.数学模型方法不仅是处理理论问题的一种经典方法，也是处理各类实际问题的一般方法.掌握数学模型方法是非常必要的.下面将对数学模型方法作一简述.数学模型方法(MathematicalModeling)，称为MM方法，是针对所考察的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使问题得以解决的一种数学方法.1.3.1数学模型的含义数学模型是针对现实世界的某一种特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，作出必要的简化和假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近似地表述出该特定对象的一种数学结构.数学模型能解释特定对象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优化决策或控制.数学模型既源于现实又高于现实，它不是实际原型，而是一种数学模拟，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原对象相近的一类问题之中，可以作为某事物(对象)的数学语言，也可以译成算法语言，并编写程序进入计算机等.1.3.2数学模型的建立过程建立一个实际的数学模型，需要一定的洞察力和想象力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，作出适当的抽象和简化.建立数学模型的全过程一般分为表述、求解、解释、验证等几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环.其流程图如图1-12所示.

图1-12

(1)表述.根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来.这是一个关键步骤，需要对实际问题进行分析，甚至要做调查研究，查找资料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式表现客观对象及其关系.当现有的数学工具不够用时，可根据实际情况，大胆创造新的数学概念和方法来表现模型.

(2)求解.选择适当的方法，求得数学模型的解答.

(3)解释.将数学解答翻译回现实对象，给出实际问题的解答.

(4)验证.检验解答的正确性.例如，哥尼斯堡有一条普雷格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇合成大河，河上有七座桥，如图1-13所示.18世纪哥尼斯堡的居民中很多人总想一次不重复地走过这七座桥，再回到出发点.可是试来试去总是办不到，于是有人写信给当时著名的数学家欧拉(Euler，1707-1783).欧拉于1736年建立了一个数学模型解决了这个问题.他把A、B、C、D这四块陆地抽象为数学中的点，把七座桥抽象为七条线，如图1-14所示.图1-13图1-14人们步行七桥问题，就相当于图的一笔画问题，即能否将图1-14中所示的图形不重复地一笔画出来，这样抽象并不改变问题的实质.哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型.经过理想化抽象所得到的如图1-14所示的一笔画问题便是七桥问题的数学模型.在一笔画的模型里，只保留了桥与地点的连接方式，而其他一切属性则全部抛弃了.所以从总体上来说，数学模型只是近似地表现了现实原型中的某些属性，而就所要解决的实际问题而言，它更深刻、更准确、更全面地反映了现实.也正因如此，对一笔画问题经过一定的分析和逻辑推理，在得到该问题无解的结论之后，就可以返回到七桥问题，得出七桥问题的解答：不重复走过七座桥回到出发点是不可能的.从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等都可以叫做数学模型.从狭义上讲，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统数学关系的结构，才叫做数学模型.在现代应用数学中，数学模型都作狭义解释，而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的数学问题.1.3.3函数模型的建立

研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高素养都是十分必要的.建立数学模型的步骤可归纳如下：

(1)分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.

(2)根据所给条件，运用数学、物理或其他知识，确定等量关系.

(3)具体写出解析式，并指明定义域.

例1-8

重量为P的物体置于地平面上，设有一与水平方向成α角的拉力F，使物体由静止开始移动.求该物体开始移动时拉力F与角α之间的函数模型，如图1-15所示.图1-15

解由物理知识可知，当水平拉力与摩擦力平衡时，物体开始移动，而摩擦力是与正压力P－Fsinα成正比的，设摩擦系数为μ，故有即建立数学模型的方法是一个比较灵活的问题，无定法可循，只有多做练习才能逐步掌握.

例1-9在金融业务中有一种利息叫做单利.设p是本金，r是计息期的利率，c是计息期满应付的利息，n是计息期数，I是n个计息期(即借期或存期)应付的单利，A是本金和利息之和.求本利之和A与计息期数n的函数模型.解即由此得c=rp.单利与计息期数成正比，即n个计息期应付的单利为I=cn

因为c=rp，所以I=prn

本利之和为A=p+I=p+prn

可得本利之和与计息期数的函数关系，即单利模型为A=p(1+rn)1.4极限的概念

1.4.1数列极限的概念

数列是一种特殊的函数，它以正整数为自变量，通常记作an=f(n)，(n=1，2，…)或{an}.其中an称为数列{an}的通项.

定义1-8对于数列{an}，如果当n无限增大时，通项an无限趋近于某个确定的常数A，那么称A为数列{an}的极限，记作亦称数列{an}收敛于A；若数列{an}没有极限，则称该数列发散.或例1-10观察下列数列的极限.(1)；(2)

an=2n

；(3)；(4)an=(－1)n.解先列出所给的数列:

(1)，即；

(2)

an=2n，即2，22，23，…，2n，…；

(3)，即；

(4)an=(－1)n，即－1，1，(－1)，…，(－1)n，….观察上面4个数列在n→∞时的发展趋势，得(1)(2)(3)(4)不存在；不存在；1.4.2函数的极限

1.x→x0(x0为确定的值)时函数f(x)的极限例如，考察函数，当x分别从2的左边和右边趋于2时f(x)的变化情况，参看表1-1.

表1-1当x→2时f(x)的变化情况

不难看出，当x→2时，f(x)无限地趋近于常数8.我们称x→2时，f(x)的极限是8.定义1-9设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，当自变量x在该邻域内趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作或这时我们称存在；否则称不存在.对于上面考察的函数，可以表示为.根据极限的定义，显然有:

(1)；

(2)

.(为常数)注意:

定义1-9中x无限趋近于x0，可以采取任何方式，即无论x是从x0的右边还是左边、或时左时右地趋近于x0，只要x与x0无限靠近，f(x)就与A无限接近.当x<x0，即x从x0的左边无限接近x0时，f(x)与常数A无限接近，这时称常数A为f(x)在点x0的左极限，记作或简记为f(x0-0)=A

同样，当x>x0，即x从x0的右边无限接近x0时，f(x)与常数A无限接近，这时称常数A为f(x)在点x0的右极限，记作或简记为f(x0+0)=A

显然，的充分必要条件是即当x→x0时函数f(x)极限存在的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限存在而且相等.注意:左、右极限的概念通常用于求分段函数在分段处的极限.例1-11考察分段函数当x→1时f(x)的极限是否存在.解如图1-16所示，因为即f(x)在x→1时的左右极限存在但不相等，所以不存在。图1-16

2.x→∞时函数f(x)的极限定义1-10如果当x的绝对值无限增大时，函数f(x)趋近于一个常数A，则称A为函数f(x)在x→∞时的极限，记作或f(x)→A(x→∞)

如果从某一点起，x只能取正值或负值且趋于无穷大，那么有下面的定义.

定义1-11如果当x>0且无限增大时，函数f(x)无限趋近于一个常数A，则称A为函数f(x)在x→+∞时的极限，记作或f(x)→A(x→+∞)

定义1-12如果当x<0且其绝对值无限增大时，函数f(x)无限趋近于一个常数A，则称A为函数f(x)在x→－∞时的极限，记作或f(x)→A(x→－∞)

显然，由以上定义有的充分必要条件是：例1-12考察当x→∞时的极限.

解当x→－∞时(即x→－∞或x→＋∞)，的值无限趋近于零，所以，如图1-17所示.图1-17例1-13考察当x→－∞时f(x)=ex的极限.

解当x→－∞时，f(x)=ex的值无限趋近于零，所以，如图1-18所示.

例1-14判断是否存在.

解当x→0+时，趋于+∞，即不存在；当x→0－时，趋于－∞，即.因为右极限不存在，所以由充分必要条件可知不存在.注意:为了正确理解极限的概念，再做如下几点说明：

(1)在一个变量前加上记号，表示对这个变量进行极限运算，若变量的极限是存在的，其所指的不再是这个变量本身而是它的极限，即变量无限接近的那个值.

(2)在x→x0中考察f(x)时，我们只要求x充分接近x0时f(x)存在，而与x=x0时或远离x0时f(x)的取值是毫无关系的，这一点在求分段函数的极限时尤为重要.

(3)以上所给出的各种情形下的极限定义，均属于对极限的形象描述，不属于严格的极限定义.对这部分内容有兴趣的读者可以参考本科教材.1.4.3无穷小量与无穷大量

1.无穷小量

定义1-13当x→x0(或x→∞)时，如果函数f(x)的极限为零，那么称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量，简称无穷小，记作

例如，当x→0时，sinx、、x3均为无穷小量；当x→1，(x－1)2是无穷小量；当x→∞时，、是无穷小量.我们经常用希腊字母α、β、γ等来表示无穷小量.在理解无穷小量时，应注意下面几点：

(1)定义中的自变量可以趋于任何方式.

(2)无穷小的定义对数列也适用.例如，当n→∞时数列就是无穷小量.

(3)无穷小量是以零为极限的变量，不要把无穷小与很小的数混为一谈，只有数“0”是唯一可以作为无穷小量的常数.

(4)不能笼统地说某个函数是无穷小，必须指出它的极限过程.例如，当x→∞时是无穷小；而当x→1时就不是无穷小.下面定理说明无穷小与函数极限的关系.定理1-1在自变量的同一变化过程x→x0(或x→∞)中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+α，其中α在同一变化过程中是无穷小.

2.无穷小的性质

性质1-1有限个无穷小的代数和是无穷小.必须注意，无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.如n→∞时，、、…、均为无穷小，但即不是无穷小.性质1-2

有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.推论1-1常数与无穷小的乘积仍是无穷小.例1-15求.

解因为，所以x3为x→0时的无穷小；又因为，即为有界函数，所以仍为x→0时的无穷小，即

性质1-3有限个无穷小的乘积仍是无穷小.必须注意，两个无穷小之商未必是无穷小.如当x→0时，x、3x均为无穷小，但由可知，当x→0时不是无穷小.

3.无穷大量

定义1-14当x→x0(或x→∞)时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大量，简称无穷大，记作例如，当时，、cotx均为无穷大；当x→∞时均为无穷大。与无穷小类似，在理解无穷大的概念时，同样应该注意：

(1)关于无穷大的定义对数列也适用；

(2)无穷大是一个变量，无论多大的数，都不能作为无穷大量；

(3)函数在变化过程中绝对值越来越大且可以无限增大时，才能称为无穷大量。例如，当x→＋∞时，f(x)=xsinx的值可以无限增大但不是越来越大，所以不是无穷大。

(4)当我们说某个函数是无穷大时，必须同时指出他的极限过程。从前面的例子可以看到，当x→０时，x3是无穷小，而是无穷大，这说明无穷大与无穷小存在倒数关系。定理1-2在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，那么为无穷大.1.5极限的运算

前面我们介绍了函数极限的概念，为了更进一步了解函数的极限和求复杂函数的极限，在本节将介绍极限的主要性质及函数极限的四则运算法则.1.5.1极限的性质前面已讨论了函数极限的各种情形，其描述的问题可以统一表述为：自变量x在某一变化过程中，函数f(x)的值无限逼近某个确定的常数A.因此，它们有一系列的共性.下面以x→x0为例给出函数极限的性质.性质1-4(唯一性)若，，则A=B.

性质1-5(有界性)若，则存在x0的某一去心邻域，在此邻域内函数f(x)有界.性质1-6(保号性)若且A>0(或A<0)，则存在某个去心邻域，在此邻域内f(x)>0(或f(x)<0).推论1-2若在某个去心邻域内，f(x)≥0(或f(x)≤0)，且，则A≥0(或A≤0)

性质1-7(夹逼准则)若时，有

g(x)≤f(x)≤h(x)，且则对于上述极限的4个性质，若把x→x0换成自变量x的其他变化过程，则有类似的结论成立.1.5.2极限的四则运算法则利用极限的定义只能计算一些简单函数的极限，而实际问题中的函数要复杂得多.下面将介绍极限的四则运算法则，并运用这些法则求一些较复杂的函数极限.定理1-3设在同一变化过程中limf(x)及limg(x)都存在(此处省略了函数的极限过程)，则有下列运算法则：法则1

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x).

法则2

lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x).

法则3，其中limg(x)≠0.证明设limf(x)=A，limg(x)=B，由极限与无穷小之间的关系可得f(x)=A+α，g(x)=B+β

其中α、β是同一过程中的无穷小.于是f(x)·g(x)=(A+α)(B+β)=AB+(Aα+Bβ+αβ)

由无穷小的性质可知Aα+Bβ+αβ仍为无穷小，再由极限与无穷小的关系，得lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)

上述运算法则不难推广到有限个函数的代数和与乘法的情况，此外还有以下推论：

推论1-3

lim[c·f(x)]=c·limf(x).

推论1-4

lim[f(x)]n=[limf(x)]n.

例1-16求.解

=56+16－20－8

=44例1-17

求解

因为所以例1-18求解因为且所以，根据无穷小的倒数为无穷大，得例1-19

求解

因为(呈“”型)所以不能用法则3.而分子和分母有公因子x－3，且x→3(x≠3)时，x－3≠0，可约去该不为零的公因子，于是

例1-20求.

解因为x→0时，分子和分母的极限都是零(呈“”型)，所以不能直接用法则3.需要先将式子变形，消去分子、分母中的公共“零因式”(x→0，但x≠0)，于是

例1-21

求解因为当x→∞时，分子、分母都趋近于无穷大(呈“”型)，所以不能直接用法则3.先用x3除分子、分母后再求极限，得对x→∞时“”型的极限，可先用分子、分母中x的最高次幂除之，再用运算法则求极限.例1-22求解用同样的方法可得公式：例1-23求解当x→1时，该题中两项的极限都为无穷大(呈“∞－∞”型)，不能直接用法则1，故对其先通分再求极限，得小结：

(1)使用极限法则时，必须注意只有在各项的极限都存在(对商，还要分母极限不为零)时才能适用.

(2)如果所求极限呈“”、“”、“∞－∞”等形式不能直接用极限法则时，就必须先对函数进行恒等变形(约分、通分、有理化、变量代换等)，再求极限.1.5.3两个重要极限

1.

证明因为，即x改变符号时，的值不变，所以只讨论x由正值趋于零的情形就可以了.作单位圆，如图1-19所示，取∠AOB=x(rad)，于是有，，.图1-19由图1-19得，即有因为，所以由极限的夹逼准则可知注意:这个重要极限是“”型的，为了强调其形式，我们把它形象地写成其中，方框□代表同一个量.例1-24求.

解例1-25求解把3x、4x看做两个新变量，且当x→0时，3x→0，4x→0，故例1-26求解利用三角公式变换之后再求极限，得2.关于这个极限，我们不进行理论上的讨论，为了帮助大家理解，下面仅给出一个直观的说明.当x→∞时，函数的值的变化情况如表1-2所示.

表1-2

x→∞时之值的变化情况

从表1-2中不难看出，当x→∞时，函数的值无限接近于e.如果令，当x→∞时，t→0，那么公式还可以写成为了准确地运用上述极限，我们指出它具有的两个特征：一是它属于“1∞”型的极限；二是可形象地表示为或）

其中方框“□”代表同一个量.例1-27解解法一:令，则u=3x，所以解法二:例1-28求解例1-29求解解法一:令，得所以

解法二:解法三1.5.4无穷小的比较

前面讨论了两个无穷小的和、差、积仍然是无穷小，但两个无穷小之商，却会出现不同的情况.例如，当x→0时，3x、x2、sinx都是无穷小，而，，两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度是不同的.为了比较无穷小，下面将引入“阶”的概念.定义1-15设α、β是同一变化过程中的两个无穷小量,

(1)若，则称α是比β更高阶的无穷小量，也称β是比α更低阶的无穷小量，记作α=o(β)；

(2)若(c为不等于零的常数)，则称α与β是同阶无穷小.特别地，c=1时，则称α与β是等价无穷小，记作α~β.下面举例加以说明：因为，所以当x→0时，x2是比3x高阶的无穷小量，即x2=o(3x)(x→0).因为，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小，即sinx~x(x→0).因为，所以当x→3时，x2－9与x－3是同阶无穷小.等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时有着重要作用.对此，有如下定理：定理4（等价无穷小替换定理）设α~α′，β~β′，且存在，则.定理1-4表明，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换.因此若用来替换的无穷小选择适当，就可以使计算简化.例1-30求解

当x→0时，所以例1-31

求

解当x→0时，sinx~x，，所以这里需要注意的是，等价替换是对分子或分母的整体替换(或对分子、分母中的因式进行替换).而对分子或分母中用“+”、“-”号连接的各部分不能分别进行代换.在例1-31中，若sinx与tanx分别用其等价无穷小x代换，则有这样就错了。下面是几个常用的等价无穷小代换，要熟记。当时，有1.6函数的连续性

1.6.1函数连续性的概念自然界中有许多现象，如气温的变化、水的流动、植物的生长等，都是连续的变化着的，这种现象在函数关系上的反映就是函数的连续性.例如就气温的变化来看，当时间变动很微小时，气温的变化也很微小，这种特点就是所谓连续性.下面将先引入“增量”的概念，然后来描述函数的连续性，并引出函数连续性的定义.设变量u从它的一个初值u0变到终值u1，终值与初值的差u1－u0就叫做变量u在u0点的增量，记作Δu，即Δu=u1－u0增量Δu的值可以是正的，也可以是负的.现在假定函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，当自变量x在该邻域内从x0变到x0+Δx时，函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Δx)，因此函数y对应的增量为Δy=f(x0+Δx)－f(x0)

这个关系式的几何解释如图1-20所示.图1-20

定义1-16设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，当自变量x在点x0处的增量Δx趋于零时，对应的函数y的增量Δy也趋于零，即则称函数y=f(x)在点x0连续.x0亦称为函数的连续点.例1-32用连续定义证明函数y=x2在点x=2处连续.证明设自变量的增量为Δx，则相应的函数增量为

Δy=f(2+Δx)－f(2)=(2+Δx)2－22=4Δx+(Δx)2

因为所以函数y=x2在点x=2处连续.为了应用方便起见，下面把函数连续的定义用不同的方式来叙述.设x=x0+Δx，则Δx→0就是x→x0.又由于Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=f(x)－f(x0)

可见Δy→0就是f(x)→f(x0)，因此连续的定义又可作下面的叙述.

定义1-17设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果则称函数y=f(x)在点x0连续.如果，则称函数f(x)在点x0左连续；如果，则称f(x)在点x0右连续.显然，当且仅当函数f(x)在点x0左连续且右连续时，即函数在点连续。例1-33讨论在x=0处的连续性.解因为即，所以f(x)在x=0处连续.若函数f(x)在开区间(a，b)内的每一点连续，则称f(x)是区间(a，b)内的连续函数.若函数f(x)在(a，b)内连续，且在x=a处右连续，在x=b处左连续，则称f(x)是闭区间[a，b]内的连续函数.连续函数的图形是一条连续不断的曲线.1.6.2函数的间断点及其类型由函数f(x)在点x0连续的定义可知，函数f(x)在点x0连续，必须同时满足下列三个条件：

(1)

f(x)在点x0处有定义；

(2)存在；

(3).如果上述条件中有一个不能满足，那么f(x)在点x0处不连续，此时称x0是函数f(x)的间断点.定义1-18(间断点的分类)设x0是函数f(x)的一个间断点，当x→x0时，f(x)的左、右极限都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点；否则，称x0为f(x)的第二类间断点.对于第一类间断点，还有:

(1)左、右极限均存在但不相等时，称x0为f(x)的跳跃间断点；

(2)左、右极限均存在且相等(或极限存在)但不等于x0处的函数值时，称x0为f(x)的可去间断点.例1-34讨论在点x=1处的连续性.解因为y在x=1处无定义，故x=1是的间断点，又因为，则x=1为y的无穷间断点，无穷间断点属于第二类间断点.例1-35设，讨论f(x)在x=0处的连续性.解因为即所以f(x)在x=0处不连续，x=0为f(x)的可去间断点.如图1-21所示.图1-21例1-36设，讨论f(x)在x=1处的连续性.解因为这里左、右极限都存在但不相等，即不存在，所以f(x)在x=1处不连续，x=1为f(x)的跳跃间断点.如图1-22所示.图1-22

例1-37已知函数在点x=0处连续，求b的值.解

因为f(x)在点x=0处连续，所以即b=1.1.6.3初等函数的连续性

由极限的运算法则和函数连续性的定义，可以得到下述定理：定理1-5(连续函数的四则运算)设f(x)、g(x)均在x0处连续，则f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、都在点x0处连续.定理1-5说明，有限个连续函数的和、差、积、商(分母不为零)也是连续函数.

定理1-6(复合函数的连续性)设函数u=φ(x)在点x0处连续，且u0=φ(x0)，又函数y=f(u)在对应的u0点处连续，则复合函数y=f[φ(x)]在点x0处连续，且在定理1-6的条件下求复合函数的极限时，函数符号f与极限符号可以交换次序，这给我们求极限带来很大的方便.例1-38

求解y是由y=lnu、复合而成的，而，在u=e点y=lnu连续，故例1-39求解可以证明基本初等函数在其定义域内都是连续函数.

定理1-7一切初等函数在其定义域内都是连续的.初等函数连续性的结论给我们提供了一个求极限的简单方法，这就是：如果f(x)是初等函数，且x0是其定义域内的点，则也就是说，如果f(x)在x0处连续，那么求f(x)在x→x0的极限时，只需求f(x)在点x0的函数值就行了.例1-40求.

解因为lnsinx是初等函数，且点是函数lnsinx的一个定义区间(0，π)内的点，所以例1-41求解因为是初等函数，定义域为［0，9)∪(9，+∞)，而4∈［0，9)，所以初等函数的连续性告诉我们：初等函数的定义域区间就是它的连续区间.应当注意的是，由于分段函数一般不是初等函数，因此分段函数的定义域区间不一定是它的连续区间，对分段函数除按上述结论考虑每一子区间内函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性.

例1-42求函数的连续区间.解因为是初等函数，而要使f(x)有意义，必须x2+x－6≠0

即x≠－3且x≠2

所以函数f(x)的连续区间为(－∞，－3)∪(－3，2)∪(2，+∞).例1-43讨论函数的连续性.若有间断点，请指出其类型.

解由初等函数的连续性可知，当x≠2时，f(x)连续.在x=2处，因为不存在，所以f(x)在x=2处间断，且x=2是f(x)的第二类间断点.函数f(x)的连续区间为(－∞，2)∪(2，+∞).1.6.4闭区间上连续函数的性质下面介绍在闭区间上连续函数的基本性质，并从几何意义上加以说明.

性质1-8(最值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则函数f(x)在该区间上必有最大值和最小值.注意:如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间内有间断点，那么函数在该区间上不一定有最大值或最小值.例如，函数y=

tan

x在开区间内连续，但它在开区间内既无最大值又无最小值；又如函数在区间[0,2]上有间断点x=1，这函数在闭区间[0,2]上既无最大值又无最小值1-23所示。

性质1-9(介值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)≠f(b)，C为介于f(a)与f(b)之间的任一实数，则至少有一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=C

介值定理的几何意义是：连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少相交于一点，如图1-24所示.图1-23图1-24性质1-9对于闭区间上有间断点的函数不一定成立.

推论1-5(方程根的存在性定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则至少有一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0

从几何意义上看，该推论表示：如果连续曲线弧y=f(x)的两端点位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧与x轴至少有一个交点.也表明若方程f(x)=0左端的函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且在两端点处的函数值异号，则该方程在区间(a，b)内至少存在一个根.例1-44证明方程sinx－x+1=0在0与π之间有实根.

证明设f(x)=sinx－x+1，因为f(x)在(－∞，+∞)内连续，所以f(x)在[0，π]上也连续，而f(0)=1>0

f(π)=－π+1<0

由推论1-5可知，至少有一个ξ∈(0，π)，使得f(ξ)=0，即方程sinx－x+1=0在0与π之间有一个实根.本章小结

1.函数理解函数概念首先应该明确它是不同于相关关系的；其次要掌握函数概念的三要素，能正确确定函数的定义域和判断它的值域，理解函数符号f的含义.在理解函数概念的基础上，还要进一步掌握函数几种特性的表达式和几何意义，反函数的概念和几何意义，分段函数的概念和求值的方法，六类基本初等函数的性质和图像，复合函数和初等函数的概念.

2.极限

在了解数列极限的定义、函数极限的定义、极限存在的充分必要条件的基础上，掌握极限运算法则和下列求极限的方法：

(1)利用极限的四则运算法则求极限.

(2)利用初等函数的连续性求极限.设f(x)是初等函数，定义域为(a，b)，若x0∈(a，b)，则.由于求函数值一般是不需要技巧的，因此这种求极限的方法是非常容易掌握的，是求极限的首选方法.

(3)利用复合函数的连续性求极限.当函数y=f[φ(x)］在点x0处连续时，可以交换函数符号和极限符号，即

(4)利用无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小求极限.

(5)利用无穷小与无穷大量的倒数关系求极限.

(6)利用以下两个重要极限求极限，即

①；

②

或

3.函数的连续性

(1)函数在点x0连续的两个等价定义：

①

;

②

.

(2)函数在x0处连续的三个条件：

①在点x0处，f(x)有定义；

②存在；

③

.

(3)间断点的分类：

①第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点；

②第二类间断点.

(4)初等函数的连续性.一切初等函数在其定义区间内都连续.第2章导数与微分

2.1导数2.2函数的求导法则2.3隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则

2.4高阶导数2.5微分本章小结2.1导数

2.1.1两个经典问题导数是微分学中最基本的概念之一，来源于实际问题.为了说明导数的基本概念，我们首先讨论两个问题：变速直线运动的速度和平面曲线的切线斜率问题.引例2-1变速直线运动的瞬时速度.分析：在匀速直线运动中，物体在各个时刻的速度不变，公式为但对于变速直线运动而言，物体在不同时刻的速度不全相同.上述公式只能反映物体在某个时间间隔上的平均速度，而不能反映某一时刻运动的快或慢.要想精确地表示物体在运动中各个时刻的快或慢，需要进一步研究任一时刻的速度，即瞬时速度.设一物体在数轴上作直线运动，s表示时刻t物体所在位置的坐标，显然，s是t的函数，即s=s(t)，习惯上将该函数叫做位置函数.那么，对物体在非匀速直线运动过程中某一时刻t0的速度如何理解并求得呢？首先选取时刻t0到t0+Δt这样一个时间间隔，在该时间段上，物体运动的路程为Δs=s(t0+Δt)－s(t0)

运动的平均速度为由于变速直线运动的速度是连续变化的，因此时间间隔Δt越小，平均速度就越接近时刻t0时的瞬时速度v(t0).当Δt无限趋近于零时，平均速度将无限地趋近于时刻t0的瞬时速度.故当Δt→0时，如果平均速度的极限存在，那么就把该极限定义为物体在时刻t0处的瞬时速度.即引例2-2平面曲线的切线斜率.

分析：在中学数学中，圆的切线被定义为“与圆只有一个交点的直线”.但是，对于一般曲线而言，就不能把与曲线只有一个交点的直线定义为曲线的切线.例如，对于立方抛物线y=x3，在坐标原点O处，x轴、y轴都与曲线相交且只有交点O.显然，x轴是曲线的切线，而y轴不是它的切线.下面利用极限给出一般曲线切线的定义.如图2-1所示，设曲线y=f(x)上有定点M0(x0，y0)和动点M(x+Δx，y+Δy)，作割线M0M.当动点M沿着曲线趋向于定点M0时，割线M0M的极限位置M0T就定义为曲线在点M0处的切线，过M0且与切线垂直的直线叫做曲线在点M0处的法线.图2-1割线M0M的斜率为其中φ为割线M0M的倾斜角.当Δx→0时，点M将沿着曲线无限趋于点M0，上式的极限存在，即由切线的定义可知，该极限就是曲线在点M0处的切线M0T的斜率，其中α是切线M0T的倾斜角.2.1.2导数的概念虽然上面两个实际问题的背景各不相同，但从数学结构上看，却具有完全相同的形式.在自然科学和工程技术领域内，还有许多的量，如电流强度、化学反应速度、角速度等都具有这种形式，即为函数的增量与自变量增量之比在自变量的增量趋于零时的极限.数学上，把这种形式的极限定义为函数的导数.

1.导数的定义

定义2-1设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量Δx(≠0)时，函数f(x)有相应的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0).如果当Δx→0时存在，则称f(x)在点x0处可导，并将该极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f′(x0)，也可记为y′(x0)或、.如果不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导注意:导数的定义也可用其他的不同形式表述，常见的有导数是概括了各种各样的变化率而得出的一个更为抽象的概念，不考虑自变量和因变量所代表的特殊意义，纯粹从数量上描述变化率本质的.因变量的增量Δy与自变量的增量Δx之比是因变量y在以x0和x0+Δx为端点的区间上的平均变化率；而导数y′(x0)则是因变量在点x0处的变化率，反映了因变量相对于自变量变化的快慢程度.如果函数y=f(x)在区间(a，b)内的每一点都可导，则称函数y=f(x)在区间(a，b)内可导，于是，对于任意x∈(a，b)，都有一个确定值f′(x)与之对应，这样就确定了一个新函数.我们称这个新函数为函数y=f(x)在区间(a，b)内的导函数，简称导数，记作y′、f′(x)、或.导函数计算公式为注意:求极限过程中x是不变的.显然f′(x0)是函数y′=f′(x)在x0处的函数值，即有了导数的概念，引例2-1和引例2-2可以重述为:

(1)变速直线运动在时刻t0处的瞬时速度，就是位置函数s=s(t)在t0处对时间t的导数，即

(2)平面曲线的切线斜率是曲线纵坐标y在该点处对横坐标x的导数，即

2.左、右导数既然函数y=f(x)在x0处的导数是比值当Δx→0时的极限，而极限有左、右之分，故把下面两个极限分别叫做函数y=f(x)在点x0处的左导数和右导数，分别记作f′－

(x0)和f′+(x0).根据极限与左、右极限的关系，有下列定理.

定理2-1函数y=f(x)在点x0处的左、右导数存在且相等是函数y=f(x)在点x0处可导的充分必要条件.

3.利用定义求导数

根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数可以分为三步：

(1)求增量Δy=f(x+Δx)－f(x)；

(2)算比值；

(3)取极限.一般地，对于求幂函数xu的导数，有如下公式:

其中，u为任意常数.例2-3求函数y=sinx的导数.解

(1)求增量:

(2)算比值：(3)取极限:即(sinx)′=cosx

类似地，可以得到(cosx)′=－sinx

例2-4求对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的导数.解

(1)求增量:

(2)算比值:

(3)取极限:即

例2-5(边际利润)在经济数学中，边际利