湘教版数学八年级下册 1.2.1 平行四边形的性质 第二课时 同步分层练习

湘教版数学八年级下册1.2.1平行四边形的性质第二课时同步分层练习一、夯实基础1．平行四边形具有的性质是（）A．四边相等 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．四个角都是直角2．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）A．AO=BO B．AB=AD C．∠DAC=∠BCA D．∠ADC=∠BCD3．阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即F1和F2的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力解决问题：设两个共点的合力为F，现保持两力的夹角θ0°<θ<90°A．合力F一定增大 B．合力F的大小可能不变C．合力F可能增大，也可能减小 D．合力F一定减小4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点OA．△AOB≌△AOD B．BD=2AOC．△AOB与△AOD的周长相等 D．AO=CO5．如图，在平行四边形ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，则△BOC的周长是（）A．10 B．16 C．18 D．216．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若∠ADB=90°，BD=6，AD=4，则AC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．127．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=6，BD=10，CD=4，则∠BAC=度．8．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，BC=7cm，BD=10cm，AC=6cm，则△AOD的周长为cm．9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC､BD相交于点O，过点O的直线分别交AD､BC于点E､10．如图平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC=14,BD=8,BC=10．求△BOC的周长．11．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．求证：BE＝DF．二、能力提升12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点D，且AC+BD=20，AB=8，则△COD的周长为（）A．28 B．18 C．14 D．2413．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边长m的取值范围为（）A．0<m<10 B．0<m<6 C．4<m<6 D．2<m<814．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AB=8cm，AD=10cm，△AOD与△AOB的周长差为（）A．4 B．3 C．2 D．115．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，∠ACB=30°，则A．23 B．27 C．4316．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是轴对称图形；③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是()A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④17．如图，已知平行四边形ABCD的周长是12，对角线AC与BD交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长多1，则AB的长为.18．如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，点E是AD中点，作EF⊥BD于点F，已知AB=4，AC=6，则EF的长为．19．如图，▱ABCD的周长是24cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为．20．我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为22和4，那么它的较长的对角线长为21．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若BD=2AB，且AB=8,CF=5，则DF的长为．23．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E,F分别为BO,OD的中点，连结AE,CF．（1）求证：AE=CF．（2）若∠BAC=90°,AB=3,AE=132，求三、解答题24．一次数学探究活动，小强用两条直线把▱ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．（1）在下面的三个平行四边形中分别画出满足小强分割方法的直线．（2）从上述分割方法中，你发现所画的两条直线有什么规律吗？25．【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．【推理论证】如图1，四边形ABCD是平行四边形，求证：AC小应的证明：作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F，由四边形ABCD是平行四边形，容易证得△ABE≌△DCF（AAS），得到AE=DF，BE=CF．设BE=CF=a，CE=b，AE=DF=h．在Rt△ACE和Rt△BDF中，AC在Rt△ABE中，AB∴A（1）请继续完成小应的证明；【初步应用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=4，AD=6，BD=8，求OA的长；【拓展提升】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是斜边AB的三等分点，CD=5，CE=25，求AB

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】A、平行四边形的两组对边分别相等，故A不符合题意；BC、平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，故B不符合题意，C符合题意，D、平行四边形的两组对角分别相等，故D不符合题意，故答案为：C.【分析】平行四边形的性质有：①平行四边形的对角线互相平分；②平行四边形的两组对边分别相等、两组对角分别相等；③平行四边形的两组对边分别平行。根据平行四边形的性质即可判断求解。2．【答案】C【解析】【解答】解：A．平行四边形对角线互相平分，即AO=CO，BO=DO，只有平行四边形是矩形时AO=BO，一般平行四边形AO≠BO，该选项错误，不符合题意；B．平行四边形对边相等，即AB=CD，AD=BC，只有平行四边形是菱形时AB=AD，一般平行四边形AB≠AD，该选项错误，不符合题意；C．因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠DAC=∠BCA，该选项正确，符合题意；D．平行四边形邻角互补，即∠ADC+∠BCD=180°，只有平行四边形是矩形时∠ADC=∠BCD，一般平行四边形∠ADC≠∠BCD，该选项错误，不符合题意；故选：C．【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，对边平行又会导致内错角相等，而C项的两个角是内错角，所以一定相等.3．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，两力的夹角θ0°<θ<90°不变，使得其中一个力F2不变，故答案为∶A．【分析】已知两边长度和夹角的度数可以确定一个平行四边形，即其对角线也是确定的，而两边的夹角不变，某一边长增大时，平行四边形的对角线也在增大．据此即可判断4．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD=BC，∠ADC=∠ABC，AC=2OA=2OC，故D正确，符合题意；∵AC与BD不一定相等，故B错误，不符合题意；∵AB与AD不一定相等，故△AOB与△AOD的周长不一定相等，故C错误，不符合题意，∴△AOB和△AOD不一定全等，故A错误，不符合题意；故选：D．【分析】根据平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AC=8，BD=14，∴OA=OC=12AC=4∴△BOC的周长=BC+OB+OC=10+7+4=21，故选：D．【分析】根据平行四边形对角线互相平分即可得出答案．6．【答案】C【解析】【解答】解：∵在▱ABCD中，BD=6，∴OD=12BD=3∵∠ADB=90°，AD=4，∴OA=A∴AC=2OA=10，故答案为：C.【分析】根据平行四边形的性质得OD=3，AC=2OA，从而利用勾股定理得OA=5，进而可得AC的长．7．【答案】90【解析】【解答】解：∵▱ABCD中，AC=6，BD=10，∴AO=CO=3,BO=DO=5，AB=CD=4，∵32+4∴∠BAC=90°，故答案为：90．【分析】根据平行四边形的性质得出AO=CO=3,BO=DO=5，AB=CD=4，再由勾股定理逆定理即可得出结果．8．【答案】15【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC=7cm，

∴AD=BC=7cm，AO=12AC，DO=12BD.

∵BD=10cm，AC=6cm，

∴AO=3cm，DO=5cm.

∴故答案为：15.【分析】先根据平行四边形的性质，求得AD，AO，DO，再根据三角形周长计算方法求得△AOD的周长.9．【答案】3【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，AD//BC，∴S△AEO=S△CFO

∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，

在△AEO和△CFO中，∴S∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的一半，∴阴影部分面积为12故答案为：3．【分析】根据平行四边形的性质可证明△AEO≌△CFO，即可得S△AEO=S△CFO，进而可得阴影部分面积等于10．【答案】解：如图，

∵四边形ABCD为平行四边形，AC=14,BD=8,

∴OC=12AC=7,OB=12BD=4,

∴Ｃ【解析】【分析】根据四边形ABCD为平行四边形，AC=14,BD=8,得OC=12AC=7,OB=11．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO，

∵AE＝CF，

∴AO﹣AE＝CO﹣FO，

∴EO＝FO，

在△BOE和△DOF中，

∵BO=DO∠BOE=∠DOFEO=FO，

∴△BOE≌△DOF（SAS），

【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再根据线段的和差可得EO=FO，最后根据SAS定理证明△BOE≌△DOF即可得出结论．12．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴OC=∴C△OCD∵AC+BD=20，AB=8，∴故选：B.

【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等、对角线互相平分”可得CD=AB，OC=12AC，OD=113．【答案】D【解析】【解答】解：根据题意，设AC=6，BD=10，AB=m，画出下图，

∵四边形ABCD是平行四边形，且点O为角平分线交点∴OA=OC=12AC=3，OD=OB=1∴△AOB中，OB−OA<AB<OB+OA，即5−3<m<5+3，∴2<m<8，故选：D．【分析】本题主要对平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理进行考查．根据题意优先画出图形，在▱ABCD中根据平行四边形对角线互相平分，可得出OA=3，OB=5，再根据三角形的性质：任意两边之和大于第三边，在∆AOB中建立不等式并进行求解，解得2<m<8．14．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO，∴△AOD与△AOB的周长差为OA+AD+OD-(OA+AB+BO)=AD-AB，

∵AB=8cm，AD=10cm，∴△AOD与△AOB的周长差为：10-8=2cm，故答案为：C．【分析】

本题主要考查平行四边形的性质和三角形周长的计算，熟知平行四边形的性质是解题关键.根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：OB=OD，再根据三角形的周长计算公式=三边之和，代入数据可得：△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO；通过对两个三角形周长表达式作差，利用平行四边形性质进行化简，进而求出周长差，代入数据即可得出答案.15．【答案】D【解析】【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO=DO∵AB⊥AC∴BC=2AB=8∴AC=∴AO=∴OB=∴BD=2OB=4故选：D．【分析】根据平行四边形性质可得BO=DO，AO=CO，16．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得，①平行四边形具有四边形的所有性质，

∴此命题正确；②平行四边形不是轴对称图形，

∴此命题错误；③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，

∴此命题正确；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，

∴此命题正确；

∴正确说法的序号为：①③④.故答案为：C．

【分析】根据平行四边形的性质依次判断即可求解.17．【答案】2.5【解析】【解答】解：∵▱ABCD的周长为12，∴AB+AD=6，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多1，∴(OA+OD+AD)−(OA+OB+AB)=AD−AB=1，∴AB=2.5，AD=3.5．故答案为：2.5．

【分析】根据平行四边形的性质及题意可得AB+AD的长度，AD−AB的长度，即可求出AB的长．18．【答案】6【解析】【解答】解：如图，连接OE，，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=6，∴OA=12AC=3∴S∵AB⊥AC，∴∠OAB=90°，∴OB=A∴OD=5，∵点E是AD中点，∴S∵EF⊥BD，∴S∴OD⋅EF=6，即5EF=6，∴EF=6故答案为：65．

【分析】由平行四边形的对角线互相平分可求得OA、OB的长度，用三角形面积公式求得S19．【答案】12cm【解析】【解答】解：在▱ABCD中，∵AC，BD相交于点O，∴O为BD的中点，∵OE⊥BD，∴OE是BD的垂直平分线，∴BE=DE，∵▱ABCD的周长是24cm，∴AB+AD=12cm，∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AD=1故答案为：12cm．【分析】因为平行四边形的对角线互相平分，即O为BD中点，又EO垂直BD，则EO垂直平分BD，由线段垂直平分线的性质知ED等于EB，则△ABE的周长等于AB与AD的和，又平行四边形的对边分别相等，即△ABE的周长等于平行四边形ABCD周长的一半．20．【答案】2【解析】【解答】解：如图，AB=22，BC=4，AC⊥AB，

∴∠BAC=90°，

∴AC=BC2−AB2=22，

∵四边形ABCD是平行四边形，故答案为：210【分析】由勾股定理可得AC=2221．【答案】证明：连接BD，与AC交于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，∴四边形DEBF是平行四边形．【解析】【分析】连接BD，与AC交于点O，根据平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，从而得OE=OF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，OA=OC，AB∥CD，

∴∠BAE=∠DCF，

∵点E，F分别为OA、OC的中点，

∴AE=12OA，CF=12OC，

∴AE=CF，

在△ABE和△CDF中，（2）39【解析】【解答】

（2）解：∵BD=2AB，AB=8，

∴BD=16，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD=12BD=8，

∵AB=CD=8

∴OD=DC，

∵点F是CO的中点，

∴DF⊥AC，

∵CF=5，CD=8，

∴在Rt△DCF中，DF=CD2−CF（2）根据BD=2AB和AB=8，等量代换得：BD=16；再根据平行四边形性质：对角线互相平分可知：OD=12（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD，OA=OC，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，∵点E，F分别为OA，∴AE=12OA∴AE=CF，在△ABE和△CDF中，AE=CF∠BAE=∠DCF∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵BD=2AB，∴BD=16，∵平行四边形ABCD，∴OD=1∴△DCO为等腰三角形，∵点F是CO的中点，∴DF⊥AC，在Rt△CDF中，CF=5，CD=8，∴DF=C23．【答案】（1）证明：∵在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴OA=OC,OB=OD，

∵点E,F分别为BO,OD的中点，

∴OE=12OB,OF=12OD，

∴OE=OF，

又∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COFSAS，

∴AE=CF；

（2）解：∵∠BAC=90°,AE=132，点E为OB的中点，

∴OB=2AE=13，

∵AB=3，

∴AO=OB2−AB2=2【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用SAS得到△AOE≌△COF，即可证明结论；（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得到OB的长，然后根据勾股定理得到OA的长，进而求出AC和BC的长解题．（1）解：∵在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴OA=OC,OB=OD，∵点E,F分别为BO,OD的中点，∴OE=