湘教版数学八年级下册 1.2.2 平行四边形的判定 第二课时 同步分层练习

湘教版数学八年级下册1.2.2平行四边形的判定第二课时同步分层练习一、夯实基础1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AB=CDC．OA=OC，OB=OD D．AB∥CD，AD=BC2．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形3．下列命题中，正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，下列结论不一定成立的是（）A．AB∥DC B．AD=BC C．∠ABC=∠ADC D．∠DBC=∠BAD5．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是．6．已知四边形ABCD，点O是对角线AC与BD的交点，且OA=OC，请再添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，那么添加的条件可以是．（用数学符号语言表达）7．若AC=10，BD=8，AC与BD相交于点O，那么当AO=，DO=时，四边形ABCD是平行四边形.8．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图1，△ABC及AC边的中点O，求作：平行四边形ABCD．小静的作法如下：在数学课上，老师提出如下问题：①连接BO并延长，在延长线上截取OD=BO；②连接DA、DC．所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形．老师说：“小静的作法正确”．请回答：小静的作法正确的理由是．9．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形．10．如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，连接DE，BF．求证：DE∥BF．二、能力提升11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，则下列结论中不一定成立的是（）A．AB∥CD B．BC∥AD C．AB=AD D．BC=AD12．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD//BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A．6种 B．5种 C．4种 D．3种13．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要在对角线BD上找点E，F，分别连接AE，CE，CF，AF，使四边形AECF为平行四边形.现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（）​​甲方案：只需要满足BF=DE；乙方案：只需要满足AE∥CF.A．只有甲方案正确 B．只有乙方案正确C．甲、乙方案都正确 D．甲、乙方案都不正确14．某人设计地砖图案，拟以长为22cmA．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD,AD∥BC；②AB=BC，AD=CD；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，A．4组 B．3组 C．2组 D．1组16．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB⊥BF,AB=8,BF=6,AC=16．求线段EF长．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BO=DO．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．（2）若CD=12，BD=26，AC⊥AB，求四边形ABCD的面积．三、解答题18．【问题背景】（1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5，AD=2，AC=3，求BC的长．”经过小组合作交流，有同学提出以下思路：延长AD至E，使AD=DE，连接BE，请在此基础上完成求解过程．【迁移应用】（2）如图2，△ABC是等边三角形，点D是平面上一点，连接BD、CD，将BD绕点D沿逆时针方向旋转120°得到DF，连接AF，点E是AF中点，连接DE、CE．判断DE与CE的数量关系与位置关系，并证明．【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，若CD=2，点M、N分别是DE、CE上的动点，且满足DM=CN，连接MN，点P为MN中点，连接DP，求线段DP的最小值．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；B、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；D、由AB∥CD，AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意，故选：D．【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵O是AC、BD的中点，∴OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)；故答案为：A.【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论.3．【答案】C【解析】【解答】解：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故A选项不正确；对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形；故B选项不正确；对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项正确；对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故D选项不正确；故答案为：C．【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得答案.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD=BC，∠ABC=∠ADC，∴A、B、C选项结论成立，不符合题意，∵∠DBC=∠BAD无法证明，∴D选项不一定成立，符合题意，故答案为：D．【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案.5．【答案】如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.【解析】【解答】解：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.原命题中的条件“一个四边形是平行四边形”变为逆命题中的结论，原命题中的结论“它的对角线互相平分”变为逆命题中的条件。

因此，逆命题为：“如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形”。故答案为：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.【分析】

根据逆命题的定义，交换原命题中的条件和结论即可得出答案。6．【答案】OB=OD【解析】【解答】解：如图所示：∵OA=OC，由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴可以是OB=OD（答案不唯一）．故答案为：OB=OD（答案不唯一）．【分析】由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案．7．【答案】5；4【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AO=12AC，DO=12BD，

∵AC=10，BD=8，

8．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形【解析】【解答】解：∵点O是AC的中点，

∴OA=OC，

又由作图知：OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形。

【分析】由作图知道OB=OD，又知道OA=OC，故而根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定得到的四边形ABCD是平行四边形。9．【答案】证明：如图所示，连接AC交BD于O，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵BE=DF，

∴OB−BE=OD−DF，

∴OE=OF，

∴四边形AECF为平行四边形．【解析】【分析】首先在平行四边形ABCD中，得出OA=OC，OB=OD，进而得出OE=OF，再根据平行四边形的判定得出四边形10．【答案】解：连接BE、DF和BD，BD与AC交于点O

∵四边形ABCD为平行四边形

∴BO=DO，AO=CO

∵AF=CE，

∴AF－AO=CE－CO

∴OF=OE

∴四边形DEBF为平行四边形

∴DE∥BF．【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质（对角线互相平分）、平行四边形的判定（对角线互相平分的四边形是平行四边形）以及平行线的判定.首先连接BE、DF和BD，BD与AC交于点O，根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，从而可证OF=OE，从而判定四边形DEBF为平行四边形，进而得到平行关系．11．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC.故选项A，B，D正确，选项C不确定.

故答案为：C.【分析】证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质对4个选项注意判断即可.12．【答案】C【解析】【解答】解：如图，

条件1：①AD//BC；②AD=BC，

∵AD∥BC，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

条件2：③OA=OC；④OB=OD，

∵OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形；

条件3：①AD//BC；③OA=OC，

∵AD∥BC，

∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，

∵OA=OC，

∴△OAD≅△OCBAAS，

∴AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

条件4：①AD//BC；④OB=OD，

∵AD∥BC，

∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，

∵OB=OD，

∴△OAD≅△OCBAAS，

∴AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形.

故答案为：C.

【分析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.

13．【答案】C【解析】【解答】解：甲方案：在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD．

∵BF=DE，

∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF．

∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF．

在四边形AECF中，∵OA=OC，OE=OF，

∴四边形AECF为平行四边形．

故该方案符合题意．

乙方案：在▱ABCD中，OA=OC，∠AOE=∠COF．

∵AE∥CF，

∴∠EAO=∠FCO．

在△AOE与△COF中，

∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA）．

∴AE=CF．

在四边形AECF中，∵AE∥CF、AE=CF，

∴四边形AECF为平行四边形．

故该方案符合题意．

观察选项，选项C符合题意．

故答案为：C．

【分析】甲方案：根据平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC，OB=OD；结合BF=DE推知OE=OF；在四边形AECF中，对角线互相平分，则该四边形是平行四边形；

乙方案：首先证明△AOE≌△COF，然后由该全等三角形的对应边相等推知AE=CF，则由“AE14．【答案】B【解析】【解答】解：根据平行四边形的对角线互相平分，且根据三角形三边之间的关系可知，分三种情况讨论：

①可用22cm，16cm的两条线段为对角线，18cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是11cm和8cm，11＋8＞18，因而能构成平行四边形；

②可用22cm，18cm的两条线段为对角线，16cm的线段为边作一平行四边形，根据11＋9＞16，能构成；

③可用16cm，18cm的两条线段为对角线，22cm的线段为边作一平行四边形，根据8＋9＜22，故不能构成．

∴可以画出形状不同的平行四边形个数为2个．

故答案为：B．

【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，可以知道这样的三角形的数量，再确定平行四边形的个数即可.15．【答案】C【解析】【解答】：

①AB∥CD,AD∥BC，根据平行四边形的定义判定这个四边形是平行四边形，故①符合题意；

②AB=BC，AD=CD不能判定这个四边形为平行四边形，故②不符合题意；

③AO=CO，BO=DO可判定这个四边形为平行四边形，故③符合题意；

④AB∥CD，AD=BC，不能判定这个四边形为平行四边形，故④不符合题意；

∴符合题意的有①③，总共2个，

故答案为：C.16．【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O，如下图：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC,OB=OD，

∵AE=CF，

∴OE=OF，

∵OB=OD，

∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵AB⊥BF

∴∠ABF=90°

∵AB=8，BF=6

∴AF=AB2+BF2=82+62=10，

∵AC=16【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．（1）连接BD，根据平行四边形的性质可得OA=OC,OB=OD，根据已知AE=CF证得OE=OF，从而证得结论；（2）根据勾股定理求出AF，然后求得CF，进而求出EF．（1）证明：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∵OB=OD，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵AB⊥BF,AB=8,BF=6，∴在Rt△ABF中，AF=A∵AC=16，∴CF=AC−AF=16−10=6，∵AE=CF，∴EF=AF−AE=10−6=4．17．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OBA=∠ODC，

在△OBA和△ODC中，

∠OBA=∠ODCBO=DO∠AOB=∠COD，

∴△OBA≌△ODCASA，

∴OA=OC，

∵BO=DO

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=12，OB=12BD=13，OA=12AC，

∵AC⊥AB，

∴∠BAC=90°，

∴OA=OB2【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，利用ASA得到△OBA≌△ODC，即可得到OA=OC，进而证明结论即可；（2）根据平行四边形性质可得AB=CD=12，OB=12BD=13，OA=12（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OBA=∠ODC，在△OBA和△ODC中，∠OBA=∠ODCBO=DO∴△OBA≌△ODCASA∴OA=OC，∵BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=12，OB=12BD=13∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∴OA=O∴AC=10，∴四边形ABCD的面积为AB×AC=12×10=120．18．【答案】（1）解：延长AD至E，使AD=DE，连接BE．

在△ADC和△EDB中

CD=BD∠ADC=∠EDBAD=DE

∴△ADC≌△EDBSAS，

∴AC=EB=3，AE=2AD=4，

∵AE2+BE2=32+42=25，AB2=52=25，

∴AE2+BE2=AB2，

∴∠E=90°（勾股定理逆定理）

∴BD=BE2+DE2=32+22=13，

∴BC=2BD=213．

（2）CE=3DE，且CE⊥DE．

证明：延长DE到G，令DE=GE，连接AG、CG、FG、AD，延长GA与DB相交于点H，与BC交于点T．

∵DE=GE，AE=FE，

∴四边形ADFG是平行四边形，

∴AG=DF，AG∥DF（也可证△DEF≌△GEA得AG=DF，AG∥DF），

∵BD=DF，∠BDF=120°，

∴BD=AG，∠H=180°−120°=60°，

∴∠H=∠ACB=60°，

∵∠ATC=∠BTH，

∴∠HBT=∠TAC，

∴∠DBC=∠GAC，

在△DBC与△GAC中，

AG=BD∠GAC=∠DBCAC=BC，

∴△DBC≌△GACSAS，

∴CD=CG，∠DCB=∠GCA，