湘教版数学八年级下册 1.2.1 平行四边形的性质 第一课时 同步分层练习

湘教版数学八年级下册1.2.1平行四边形的性质第一课时同步分层练习一、夯实基础1．在▱ABCD中，∠A=30°，则A．30° B．40° C．2．已知□ABCD的周长为10，其中AB=3，则BC=（）A．1 B．2 C．3 D．53．在▱ABCD中，AB=3，AD=5，则▱ABCD的周长为（）A．8 B．10 C．12 D．164．如图，在平行四边形ABCD中，若∠B=2∠A，则∠C的度数为（）A．60° B．45° C．120° D．135°5．已知，在▱ABCD中，∠A=110°，则∠C=6．已知平行四边形的周长是20，相邻两边的长度相差2，则该四边形的较长边的长度为．7．如图，在▱ABCD中，AE是∠BAD的平分线，AB=6，AD=4，则CE=．8．已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF9．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE=BF．求证：∠1=∠2．二、能力提升10．在▱ABCD中，若∠A=4∠D，则∠B的度数是（）.A．20° B．36° C．11．如图，在▱ABCD中，∠ADC的角平分线交AB于点E．若平行四边形的周长为16，且BE=2，则AE的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．612．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是（）A．23 B．43 C．3+313．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB=2,AE=3，则DE的长为（）A．5 B．7 C．6 D．2.514．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=6，AD=8，则EF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．415．已知平行四边形中的两个内角度数分别为α和β，且满足α=2β−30°，则β=16．如图，在平行四边形ABCD中，以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、BC边于M、N两点；分别以点M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧交于点P；画射线BP交AD于点E，BC=9，DE=4，则平行四边形ABCD的周长为．17．如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC交AB于点E，交CB的延长线于点F，AD=5,CD=12，则BF的长为．18．在▱ABCD中，∠DAB、∠ABC的平分线分别与边CD交于点E、F，若点C、D、E、F相邻两点间的距离相等，则ADAB的值为19．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF，①求证：AB＝DE；②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．20．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF．（1）求证：AE=CF；（2）若AD=AE，∠DFC=140°，求∠DAE的度数．三、拓展提升21．如图，在等边三角形ABC中，边长为12cm，点D为AC中点，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度是3cm/s；同时点Q由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点Q的直线OE∥AC，交BC于点E，设运动时间为t（s）（0<t<4），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AC？（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C=3故答案为：A.【分析】利用平行四边形的对角相等求解.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵2（AB+BC）=10，AB=3，

∴BC=2.故答案为：B.【分析】根据平行四边形的性质可知平行四边形的周长等于一组邻边之和的2倍，可得出等式2（AB+BC）=10，进一步即可求得BC的长度.3．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，AD=5

∴C平行四边形ABCD=2(AB+AD)=2×(3+5)=2×8=16

即：平行四边形ABCD的周长为16

故答案为：D.

【分析】4．【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠B=2∠A，

∴3∠A=180°，

∴∠A=60°，

∴∠C=∠A=60°.

故答案为：A．

【分析】根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，∠A+∠B=180°，将∠B=2∠A代入求出∠A，即可解决问题．5．【答案】110【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C=∠A=110°故答案为：110.【分析】利用平行四边形的对角相等性质直接求解.6．【答案】6【解析】【解答】解：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD=BC，AB>BC，∵相邻两边的长度相差2，∴AB=BC+2，∴2BC+2BC+2解得，BC=4，∴AB=BC+2=4+2=6，故答案为：6．【分析】先利用平行四边形的性质结合已知列出方程，再求解即可．7．【答案】2【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠BAE=∠AED，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE，∵AB=6，AD=4，∴EC=6−4=2，故答案为：2．

【分析】先利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，再证出∠BAE=∠AED，利用角平分线定义及等量代换可得∠DAE=∠AED，利用等角对等边的性质可得AD=DE，最后利用线段的和差求出EC的长即可.8．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠B=∠D，

又∵BE=DF，

∴△ABE≌△CDF，

∴AE=CF.【解析】【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可以证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，即可得到AE=CF．9．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=CB，AD∥CB，

∴∠ADE=∠CBF，

又∵DE=BF，

∴△ADE≌△CBFSAS，

【解析】【分析】先由平行四边形的性质得到AD=CB，AD∥CB，再利用平行线的性质得到∠ADE=∠CBF，即可利用SAS证明△ADE≌△CBF，即可利用全等三角形的性质证明得到10．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=4∠D，

∴AD∥BC，∠D=∠B，

∴∠A+∠B=180°，∠A=4∠B，

∴4∠B+∠B=180°，

∴∠B=36°，故答案为：B.【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，∠D=∠B，则∠A+∠B=180°，而∠A=4∠D=4∠B，所以4∠B+∠B=180°，求得∠B=36°，于是得到问题的答案．11．【答案】A【解析】【解答】解：∵在▱ABCD中，

∴AB∥CD，∠AED=∠EDC

∴AE=AD，

设AE=AD=a，则AB=AE+BE=a+2，

∵平行四边形的周长为16，即（AB+AD）×2=（a+2+a）×2=16，

解得a=3，

∴AE的长度为3.故答案为：A.【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边等相关知识。

首先根据“平行四边形的两组对边分别平行且相等”以及“两直线平行、内错角相等”，可以推出∠AED=∠EDC，继而得出AE=AD，然后可以用未知数表示AB的长，此时根据平行四边形的周长可以列出一元一次方程（a+2+a）×2=16，求解即可。12．【答案】A【解析】【解答】解：∵▱ABCD，∴AD=BC=4，AB=CD=3，AB∥CD，AB=CD=3，∵BC的中点E，∴BE=CE=2，∵∠ABC=60°，∴∠EFB=90°，∴∠FEB=30°，∴BF=1∴EF=2∵AB∥CD，∴∠B=∠ECH，在△BFE和△CHE中，∠B=∠ECHBE=CH∴△BFE≌△CHE(ASA)，∴EF=EH=3，CH=BF=1，∠EHC=∠BFE=90°∴DH⊥EF，∴S△DEF故答案为：A．

【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC=4，AB=CD=3，AB∥CD，AB=CD=3，继而利用勾股定理得EF=22−12=3，结合已知，用角边角可证△BFE≌△CHE13．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2，∴CD=AB=2,AD∥BC,AD=BC,∠BAD+∠ADC=180°，∴∠AEB=∠DAE,∠CED=∠ADE，∵∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，∴∠BAE=∠DAE=1∴∠AEB=∠BAE,∠CED=∠CDE，∴AB=BE=2,CE=CD=2，∴AD=BC=BE+CE=4，∴∠DAE+∠ADE=1∴∠AED=180°−∠DAE−∠ADE=90°，∵AE=3，∴DE=A故答案为：B．【分析】根据平行四边形的对边相等且平行得CD=AB=2，AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠BAE=∠BEA，由等角对等边得BE=AB=2，同理可得CE=CD=2，则AD=BC=BE+CE=4；由平行四边形的邻角互补及角平分线的定义可得∠EAD+∠ADE=90°，由三角形的内角和定理得∠AED=90°，从而根据勾股定理算出DE即可.14．【答案】D【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD=6，AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠FCB，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC=6，同理可证：AE=AB=6，∵AD=8，∴AF=AD−DF=8−6=2，∴EF=AE−AF=6−2=4．故答案为：D．

【分析】根据平行四边形的性质可知AB=CD=6，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠DFC=∠FCD，由等角对等边得DF=CD=6，同理AE=AB=6，然后根据线段和差计算即可.15．【答案】30或70【解析】【解答】解：①这两个内角相等，则α=β，

∴β=2β−30°，

解得：β=30，

②这两个内角互补，则α=180°−β，

∴180°−β=2β−30°，

解得：β=70，

综上所述，β＝30或70故答案为：30或70.【分析】根据平行四边形的性质可知需分两种情况讨论，①这两个内角相等，则α=β，②这两个内角互补，则α=180°−β，然后代入计算即可．16．【答案】28【解析】【解答】解：由题意可得：BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC=9，∴∠AEB=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，设AB=AE=x，

∴AD=AE+DE=x+4，∵AD=9，∴x+4=9

∴x=5，即AE=5∴AB=CD=5，∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=5+9×2=28故答案为：28．【分析】本题考查作图——基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题干中作图方法可知：BE平分∠ABC，再根据角平分线的定义可知：∠ABE=∠CBE，根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AD∥BC，AB=CD，AD=BC=9，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠AEB=∠EBC，等量代换得：∠AEB=∠ABE，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：AB=AE，设AB=AE=x，根据线段AD的长度列出关于x的方程，解得x的值，即可得到AB的长，再利用平行四边形周长公式，代入数据求出周长，即可得到答案.17．【答案】7【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=5，∴∠F=∠ADE，∵DF平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDF，∴∠F=∠CDF，∴CF=CD=12，∴BF=CF−BC=12−5=7，故答案为：7．

【分析】根据平行四边形性质“平行四边形的对边平行且相等”以及角平分线定义可得∠F=∠CDF，再由等腰三角形的等角对等边可得CF=CD=12，然后根据线段的和差BF=CF-CB计算即可求解．18．【答案】13或【解析】【解答】解：如图1，当点E在点F左边时，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=∥CD，

∴∠DEA=∠EAB，

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠EAB，

∴∠DAE=∠DEA，

∴AD=DE，

∵点C、D、E、F相邻两点间的距离相等，

∴DE=13CD，

∴ADAB=DECD=13；故答案为：13或2【分析】由平行四边形的性质可得∠DEA=∠EAB，再利用角平分线的定义证得∠DAE=∠DEA，进而得到AD=DE，对点E、F的位置进行分类讨论，即可求得ADAB19．【答案】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，

∵AF＝DF，

∴△ABF≌△DEF，

∴AB＝DE；

②∵BE平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵AD∥BC，

∴∠CBF＝∠AFB，

∴∠ABF＝∠AFB，

∴AF＝AB＝3，

∴AD＝2AF＝6

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，

∵△ABF≌△DEF，

∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，

∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，

∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．【解析】【分析】①利用平行四边形的性质∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，结合AF＝DF，可判定△ABF≌△DEF，即可得出AB=DE；②利用角平分线以及平行线的性质，即可得到AF=AB=3，进而得出BC=AD=6，CD=AB=3，依据△ABF≌△DEF，可得DE=AB=3，EF=BF=5，进而得到△BCE的周长.20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥ＤＣ，AB＝CD

∴∠ABE＝∠CDF

在△ABE△CDF中AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

（2）解：由（1）知：△ABE≌△CDF

∴∠AEB＝∠DFC＝140°

∴∠AED＝180°－∠AEB＝40°

∵AD＝AE

∴∠AED＝∠ADE＝40°

∴∠DAE＝180°－∠AED－∠ADE＝100°．【解析】【分析】

本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，灵活运用相关性质是解题关键．（1）由平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AB∥DC，AB＝CD，再由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠ABE＝∠CDF，再根据全等三角形的判定定SAS可证得：△ABE≌△CDF，最后由全等三角形的性质：对应边相等可知：AE＝CF，