中考数学总复习《圆的拓展》专项测试卷（带答案）

第页答案第=page11页，共=sectionpages22页中考数学总复习《圆的拓展》专项测试卷（带答案）1．问题探究如图，是的直径．

(1)求的度数．(2)拓展延伸如图，若，与的交点记作，AE=2．①求的半径；②如图，若是的切线，且点在的延长线上，求图中阴影部分的周长．2．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有一点E，且EF=ED．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若OF=1，求⊙O的半径和CD的长．3．问题背景：如图（1）在四边形中探究线段之间的数量关系．小明探究此问题的思路是：将绕点逆时针旋转到处点BC分别落在点AE处（如图（2））易证点CAE在同一条直线上并且是等腰直角三角形所以从而得出结论：．简单应用：（1）在图（1）中若求的长（2）如图（3）是⊙O的直径点CD在⊙O上若求的长．

4．如图四边形内接于对角线平分是的直径．(1)求证：(2)探究的值是否为一个定值？若是求出这个定值若不是请说明理由．(提示：将转化到同一个三角形中)5．问题背景：已知点A是半径为r的圆O上的定点连接将线段绕点O逆时针方向旋转得到连接过点A作圆O的切线l在直线l上取点C使得为锐角．初步感知：（1）如图1当时________问题探究：（2）以线段为对角线作矩形使得边过点E连接对角线相交于点F．①如图2当时求证：不论在给定的范围内如何变化总是成立．②如图3当时请补全图形并求出及的值．6．在人教版九年级上册数学课本页的实验与探究提及到了圆与圆位置关系其中内切是指一个圆在另一个圆的内部且两圆有且只有一个公共点且过该公共点关于两圆的切线为两个圆的公切线．如图与内切于点的半径为的半径为为与的公切线连接交与于两点连接．(1)求证：(2)若求的长．7．阅读材料某个学习小组成员发现：在等腰中AD平分∵∴他们猜想：在任意中一个内角角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两边对应成比例．【证明猜想】如图1所示在中AD平分求证：．丹丹认为可以通过构造相似三角形的方法来证明思思认为可以通过比较和面积的角度来证明．(1)请你从上面的方法中选择一种进行证明．(2)【尝试应用】如图2是的外接圆点E是上一点（与B不重合且连结并延长AEBC交于点DH为AE的中点连结BH交AC于点G求的值．(3)【拓展提高】如图3在（2）的条件下延长交于点F若求的直径（用x的代数式表示）．8．定义：如果三角形的两个内角与满足那么称这样的三角形为“类直角三角形”．【尝试运用】（1）如图1在中是的平分线．①求证：是“类直角三角形”②求出此时的长③请在边上找一点（异于点使得也是“类直角三角形”并求出此时的长．【类比拓展】（2）如图2内接于直径弦点是弧上一动点（不包括端点延长至点连接且当是“类直角三角形”时求的长．9．【问题背景】定义：若两个三角形有一对公共边且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等那么这两个三角形称为邻等三角形．例如：如图1是公共边则与是邻等三角形．(1)【探究发现】如图2四边形是的内接四边形点是的中点那么请判断与是否为邻等三角形并说明理由．(2)【拓展探究】以点为圆心为半径的交轴于点交轴于点是的内接三角形．①如图3求的度数和的长②如图4点为上一点（点不与点和点重合）连接若判断与是否为邻等三角形（如果是请写出证明过程如果不是请说明理由）并求点A到线段的距离．10．综合与探究如图1内接于点D在上连接交于点E．猜想证明：（1）请判断的形状并说明理由．拓展延伸：（2）如图2过点O作于点M延长交于点N．若求的长．（3）在（2）的条件下P为平面内的一点且连接请直接写出的最大值．11．问题探究：(1)如图1在中点是优弧上一点点在外且在直线的同侧则与的大小关系为______（填“”“”或“”）(2)如图2在中点是的中点．若点是边上一点试求的最小值(3)如图3社区便民步道与主干道相交于点步道入口到的距离为到主干道的距离为．步道上有一休息椅它到点的距离为．现需要在主干道上设置一段长的便民服务宣传栏为节约成本需使步道入口到休息椅到的路程和最短（即最小）且居民在步道上散步时希望在点处能以最佳视角（即最大）看清宣传栏上的内容求点到路口的距离.12．【问题情境】如图矩形中作分别交边于点E交边于点F作的外接．【特殊体会】当时如图1判断与之间的数量关系是_______【初步探究】当经过点D时如图2试探究之间的数量关系并加以证明【深入探究】当与相切时如图3解决下列问题：①判断与的位置关系并说明理由②若求（直接写出结果）．参考答案1．(1)(2)①②．【分析】（1）连接先根据圆周角定理得到进而结合题意进行角的运算即可求解（2）①连接先根据圆周角定理结合等腰三角形的性质得到进而得到的度数设的半径为则再根据题意解直角三角形即可求解②连接进而根据圆周角定理得到由①可得的半径为进而根据弧长的计算公式得到的长再根据切线的性质得到再解直角三角形得到和从而根据“阴影部分的周长为”即可求解．【详解】（1）解：如图连接是的直径．．

（2）解：①如图连接．是的直径．设的半径为则．在中即解得．

②如图连接．．由①可得的半径为的长为．是的切线．在中阴影部分的周长为

【点睛】本题考查了圆周角定理切线的性质弧长的计算以及解直角三角形等解题的关键在于正确画出辅助线．2．(1)证明：如图连接OC⊥AB即是的半径是的切线(2)理由如下：如图连接是的直径即是的切线即在中设(3)⊙O的半径为3【分析】（1）根据等边对等角可得根据OC⊥AB可得进而根据等量代换可得根据切线的判定定理即可证明DE是⊙O的切线（2）证明在中可得设分别表示出即可得到（3）过点作于点设则在中根据求得进而求得过点作根据解直角三角形即可求得的长进而求得的长．【详解】（1）略（2）略（3）如图过点作于点是等腰直角三角形设则在中即解得过点作在中在中3．（1）3（2）．【分析】（1）本题主要考查对上述结论的理解与应用代入上述结论：直接计算即可．（2）本题主要考查在圆内利用已知结论求解线段长作辅助线根据直径所对的圆周角是直角得：由弧相等可知所对的弦相等得到满足图1的条件所以代入可得CD的长解答本题的关键在于作出合适的辅助线．【详解】解：（1）由题意知：∴∴故答案为3（2）如图3连接∵是⊙O的直径∴∵∴∵∴由勾股定理得：由图1得：

∴．4．(1)证明见详解(2)是定值值为【分析】（1）根据角平分线得到相等的圆周角利用“相等的圆周角所对的弧相等”推出再由“等弧对等弦”证明（2）采用截长补短法构造全等三角形将转化为线段结合直径所对圆周角为直角角平分线的性质证明是等腰直角三角形从而建立与的数量关系求出比值．【详解】（1）证明：∵平分∴∴∴．（2）解：是定值定值为理由如下：延长到点使得连接如图∵四边形内接于∴又∵∴由（1）知在和中∴∴∵是的直径∴即∴又∵平分∴由得在中∴是等腰直角三角形∴又∵∴∴．5．（1）（2）见解析（3）①见解析②图见解析【分析】本题主要考查了圆的综合题以及切线的性质锐角三角函数全等的判定和性质相似的判定和性质等熟练掌握相关知识点是解题关键．（1）根据等腰的角度和切线的性质即可求出（2）因为且要证实际要证根据我们证线段相等的思路：（1）同一个三角形证等腰（2）不同三角形证全等可证即可（3）由得再作证得到通过设边长再利用勾股定理建立勾股方程即可找到线段之间的关系．【详解】（1）且是等边三角形直线是圆的切线为切点即故答案为：（2）证明：四边形是矩形在和中．即无论在给定的范围内如何变化总成立．（3）①补全图形如图是切线设则即点在线段上．②：由得又．6．(1)见解析(2)．【分析】根据切线的性质和圆周角定理可证根据可证从而可证由可知又有可证根据相似三角形的性质可得设则利用勾股定理可得设则利用勾股定理可得再利用相似三角形的性质可得从而可求．【详解】（1）证明：如图延长交于点连接连接为与的公切线为的半径与内切三点共线又为的直径又（2）解：设则在中解得：设则在中解得：．【点睛】本题主要考查了圆周角定理圆与圆的位置关系相似三角形的判定与性质勾股定理本题的综合性较强解决本题的关键需要熟练地掌握图形的性质并综合运用这些性质．7．(1)见解析(2)(3)的直径为【分析】（1）选丹丹延长AD交过点C与AB平行的直线交于EAD平分∠BAC得出∠BAD=∠CAD根据CE∥AB可得AC=EC再证△ABD∽△ECD即可选思思过点D作于点PQ根据角平分线性质得出根据三角形高等得出再根据即可（2）连接CE先证∠AEC=90°再证Rt△ABC≌Rt△AEC（HL）得出即AC为的角平分线得出根据H为AE的中点可得AH=即可（3）作交AE于点N设BE交AC于M先证得出根据AB=AE得出BH=BE根据可求得出求得可得根据勾股定理BN=利用三角函数得出在中即可．【详解】（1）选丹丹方法丹丹认为可以通过构造相似三角形的方法来证明证明：延长AD交过点C与AB平行的直线交于E∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∵CE∥AB∴∠BAD=∠CED=∠CAD∴AC=EC∵AB∥CE∴△ABD∽△ECD∴∴选择思思方法：思思认为可以通过比较和面积的角度来证明．证明：过点D作于点PQ∵AD平分∴∴又∵∴（2）解：连接CE∵是的外接圆∠ABC=90°∴AC为的直径∴∠AEC=90°在Rt△ABC和Rt△AEC中∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL）∴即AC为的角平分线∴又∵H为AE的中点∴AH=∴（3）作交AE于点N设BE交AC于M∵BE=EF∴∵∠BAE=∠BFE∴∠HBE=∠BAE∵∠HEB=∠BEA∴∴∵AB=AE∴BH=BE又∵由（2）知BG=2GH=2x∴∴∴∴∴∵BN⊥ADBH=BE∴HN=NE=∠EBN=∴BN=在中在中即的直径为．【点睛】本题考查角平分线定义平行线性质等腰三角形判定与性质相似三角形判定与性质三角形面积三角形全等判定与性质角平分线性质线段中点勾股定理一元二次方程锐角三角函数圆的直径掌握以上知识是解题关键．8．（1）①见解析②③（2）【分析】（1）①证明即可解决问题②由勾股定理得再由角平分线的性质得然后由面积法求出的长即可解决问题③如图假设在边设上存在点（异于点使得是“类直角三角形”．证明可得由此构建方程即可解决问题．（2）分两种情形：①如图当时作点关于直线的对称点连接．则点在上且．②如图由①可知点共线当点与共线时由对称性可知平分可证利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【详解】（1）①证明：是的角平分线为“类直角三角形”．②解：如图过点作于点平分即解得：③解：如图假设在边设上存在点（异于点使得是“类直角三角形”．∴（2）解：是直径①如图当时作点关于直线的对称点连接．则点在上且且共线即（不合题意舍去）．②如图由①可知点共线当点与共线时由对称性可知平分即在中（舍去负值）综上所述当是“类直角三角形”时的长为．【点睛】本题通过“类直角三角形”为背景考查角平分线的性质勾股定理相似三角形的判定和性质对称性和共线的性质解题的关键是熟悉相似三角形的判定和性质以及分类讨论思想的应用．9．(1)与是邻等三角形理由理由见解析(2)①②点A到线段的距离为【分析】（1）根据点D是的中点又符合邻等三角形的定义（2）①作连接作在中进而求得,在中根据即可求解②先证再证即可证出结论作轴垂足为点F先求出所在直线与x轴间的距离是再求出结论即可．【详解】（1）解：与是邻等三角形理由如下：∵点D是的中点∴∵∴与是邻等三角形（2）①如图2作连接∵∴∵点A的坐标是∴∴∴作在中∴在中∴∴②与是邻等三角形理由如下：由①知四点都在上即四边形为圆内接四边形为公共边与是邻等三角形作轴垂足为点F轴在中即所在直线与x轴间的距离是由①知点A到x轴距离点A到线段的距离为．【点睛】本题考查了圆与三角形综合考查圆周角定理圆内接四边形性质及勾股定理解直角三角形等知识牢记相关性质是解题的关键．10．（1）是等边三角形（2）（3）【分析】（1）先证明是等边三角形从而可得再利用圆周角定理得出从而可得是等边三角形（2）先根据等边三角形的性质得出再利用含有度角的直角三角形的性质求得从而可求得利用垂径定理求得从而可结合等边三角形的性质求得（3）先根据题意得出P在以为直径的圆上并确定直线交圆于点P如图此时为最大分别求出相加即可．【详解】（1）解：连接如图∵交于点E∴∵∴是等边三角形∴∴∴是等边三角形（2）∵是等边三角形∴∵∴又∴∵∴∵∴∴∴（3）∵P为平面内的一点∴P在以为直径的圆上作于点如图∵是等边三角形∴∴就是以为直径的圆的圆心∴垂直平分直线交圆于点P如图此时为最大∴在中∴∴(负值舍去)∵∴∴的最大值为．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质含度角的直角三角形用勾股定理解三角形利用垂径定理求值圆周角定理等知识解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解11．(1)(2)(3)点到路口的距离为【分析】（1）令与的交点为连接根据同弧所对的圆周角相等得出根据外角的性质可得即可得出（2）作关于直线的对称点连接交于根据对称的性质得出推得当点三点共线时的值最小最小值为的长度根据等腰直角三角形的性质得出根据中点的定义得出结合对称的性质和勾股定理求得即可求解（3）根据勾股定理求出过点作且过点作的对称点交于点过点作交于点过点作的延长线于点连接与交于点连接结合三角形中位线的定义求出根据三角形的三边关系得出推得当点三点共线时取最小值结合相似三角形的判定和性质求出结合（1）得出满足最大则需要点三点在同一个圆上据此过弦确定圆与相切于点连接过点作交于点结合垂直平分线的性质求出根据勾股定理推得即可求出符合条件时点到路口的距离．【详解】（1）理由如下：令与的交点为连接如图：∵∴在中即∴．（2）作关于直线的对称点连接交于如图：∵关于直线对称∴∴当点三点共线时的值最小最小值为的长度∵∴∵点是的中点∴∵关于直线对称∴∴在中∴的最小值为．（3）根据题意可得故点是的中点过点作且过点作的对称点交于点过点作交于点过点作的延长线于点连接与交于点连接．如图：则四边形是矩形四边形是平行四边形∵∴∴又∵点是的中点∴故是的中位线∴∴∵在中∴故当点三点共线时取最小值．∵∴∴∴．由第小问可得满足最大则需要点三点在同一个圆上过弦确定圆与相切于点连接