2027届新高考数学一轮热点复习：函数与方程

2027届新高考数学一轮热点复习函数与方程知识清单1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有________⇔函数y＝f(x)的图象与________有公共点．f(x)＝0零点x轴剖析函数f(x)的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．剖析函数f(x)在[a，b]上连续且单调，f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．f(a)f(b)<0f(c)＝02．二分法：对于在区间上图象连续不断且________的函数，通过不断地把它的零点所在区间__________，使所得区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)f(b)<0一分为二零点【常用结论】若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．特别地，当y＝f(x)在[a，b]上单调时，它仅有一个零点．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(

)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．(

)(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(

)(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(

)×√××2．(多选)(人教A版必修一P155T1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是(

)答案：AC解析：题图A，C中不存在区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.故选AC.3．(人教A版必修一P144T2改编)函数f(x)＝x－5＋3x的零点所在的区间为(

)A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，5)答案：A解析：因为y＝x和y＝3x是R上的单调递增函数，所以f(x)＝x－5＋3x是R上的单调递增函数，且其图象是连续不断的一条曲线，又f(1)＝1－5＋31＝－1<0，f(2)＝2－5＋32＝6>0，故函数f(x)＝x－5＋3x的零点所在的区间为(1，2)．4．(人教A版必修一P143例1改编)函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数为(

)A．0 B．1C．2 D．3答案：B解析：由于函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0，故函数f(x)在(1，3)内有唯一零点，即也在(0，＋∞)内有唯一零点．故选B.

答案：B

答案：C

学霸笔记：(1)定理法：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

答案：D

(2)(衔接·必修一P160T5(3))已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(

)A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．b>a>c答案：B解析：由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，所以c＝0.由f(x)＝0得2x＝－x，由g(x)＝0得log2x＝－x.在同一平面直角坐标系中画出y＝2x，y＝log2

x，y＝－x的图象如图所示．由图象知a<0，b>0，所以a<c<b.故选B.

答案：B

答案：C

学霸笔记：(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练

(1)设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2]＝2，[2.3]＝2，[－2.3]＝－3，则方程x－|log6x|＝[x]解的个数为(

)A．4 B．5C．6 D．7答案：B

解析：方程x－|log6x|＝[x]解的个数等价于函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象交点个数，作函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象如图所示．由图可知函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象的交点个数为5.方程x－|log6x|＝[x]解的个数为5.故选B.

答案：3解析：当x＝0时，g(0)＝2f(0)＝0，所以0是g(x)的零点，当x>0时，g(x)＝x3－1＋x＝x3＋x－1.因为y＝x3，y＝x－1均在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(0)＝－1<0，g(1)＝1>0，则g(0)·g(1)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上有且仅有1个零点．当x<0时，g(x)＝－x＋(－x)3－1＝－x3－x－1，易知g(x)在(－∞，0)上单调递减．又g(－1)＝1>0，g(0)＝－1<0，则g(－1)·g(0)<0，所以g(x)在(－∞，0)上有且仅有1个零点．综上，g(x)的零点个数为3.

答案：D

由函数g(x)有2个零点，即y＝f(x)和y＝x＋a有两个交点，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，结合函数的图象，要使函数g(x)有2个零点，则a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．故选D.学霸笔记：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．

答案：D解析：由题意，函数g(x)＝f(x)－b有三个不同的零点，即方程f(x)＝b有3个解，即函数y＝f(x)与y＝b有3个交点，画出函数f(x)的大致图象．由图可知，要使函数y＝f(x)与y＝b有3个交点，则b>1，所以实数b的取值范围为(1，＋∞)．故选D.考向2根据零点所在区间求参数范围例4

(2026·抚顺模拟)函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(

)A．[－4，1)B．(－4，1]C．[－1，4)D．(－1，4]答案：D

学霸笔记：根据零点所在区间求参数范围问题的常用方法：首先判断函数的单调性，再利用零点存在定理构建不等式组求解．

答案：B

1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表：则函数f(x)在区间[1，6]上的零点(

)A.只有2个

B．至多3个C.只有3个

D．至少3个x123456y122.521.4－7.44.5－53.1－125.5答案：D解析：因为函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，且f(2)>0，f(3)<0，所以根据零点存在定理，函数y＝f(x)在区间(2，3)上至少存在一个零点；同理，由f(3)<0，f(4)>0，得函数y＝f(x)在区间(3，4)上至少存在一个零点；由f(4)>0，f(5)<0，得函数y＝f(x)在区间(4，5)上至少存在一个零点．但不能判断函数y＝f(x)在其他区间上是否有零点．因此，函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少存在3个零点．故选D.2．函数f(x)＝4x－log3(－x)的零点个数是(

)A.3 B．2C.1 D．0答案：C解析：令f(x)＝0，则4x＝log3(－x)，所以y＝4x与y＝log3(－x)的交点个数即为函数f(x)＝4x－log3(－x)的零点个数．画出图象．由图象可知交点有1个．故选C.

答案：A

答案：B

答案：C

答案：C

函数g(x)的零点有两个，即直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有两个交点，观察图象，当且仅当0<m<1时，直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有两个交点，所以m的取值范围是(0，1)．故选C.7．函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是(

)A.(－∞，－18) B．(5，＋∞)C.(5，18) D．(－18，－5)答案：D解析：若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，由函数f(x)在(2，4)的图象连续不断，且为增函数，则根据零点存在定理可知，只需满足f(2)·f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－18<m<－5，所以实数m的取值范围是(－18，－5)．故选D.8．已知方程2x＋x＝0的实根为a，log2x＝2－x的实根为b，log1,2x＝x的实根为c，则a，b，c的大小关系是(

)A.b>c>a B．c>b>aC.a>b>c D．b>a>c答案：A

9．已知函数f(x)＝lnx－2x＋x2，下列区间中存在函数f(x)零点的是(

)A.(1，2) B．(2，3)C.(3，4) D．(4，5)答案：AD解析：f(1)＝ln1－21＋1＝－1<0，f(2)＝ln2－22＋22＝ln2>0，可得f(1)·f(2)＜0，由函数零点存在定理可得存在函数f(x)零点的区间是(1，2)，f(3)＝ln3－23＋9＝ln3＋1>0，可得f(2)f(3)>0，f(4)＝ln4－24＋42＝2ln2>0，可得f(3)f(4)>0，f(5)＝ln5－25＋52＝ln5－7<0，可得f(4)·f(5)<0，由函数零点存在定理可得存在函数f(x)零点的区间是(4，5)．故选AD.10．已知函数f(x)＝x2－2|x|(x<a)，若函数F(x)＝f(x)－x存在两个零点，则a的取值可能是(

)A.－1

B．1C.2

D．3答案：BCD

则F(x)在R上共有3个零点，即F(x)＝0在R上有3个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝3.又因为函数F(x)＝f(x)－x在x∈(－∞，a)上存在两个零点，故a∈(0，3].故选BCD.

答案：CD解析：设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝t，作出函数y＝f(x)与y＝t的图象，如图．

答案：－2，e解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋x－2＝0，即(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x