安徽蚌埠博雅培文实验学校等校2025-2026学年下学期高一年级5月月考数学试卷（1卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽蚌埠博雅培文实验学校等校2025-2026学年下学期高一年级5月月考数学试卷（1卷）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数在复平面内对应点的坐标为（

）A. B. C. D.2.已知样本数据的方差为3，若（），则的方差为()A.31 B.27 C.13 D.93.已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（

）A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则4.已知a∈R，则“a＝0”是“复数z＝a2+a+(a2-1)i为纯虚数”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.一物体在力的作用下,由点移动到点.已知力=(3,4),则力​​​​​​​对该物体所做的功为（）A. B. C. D.6.如图，在正方形纸片ABCD上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为A，圆与BC，CD和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则AB＝

A. B. C. D.7.在△ABC中，BC边上的中线为AD，AD的中点为E，过点E的一条直线与AB，AC分别交于点F，G．若，，则A.λ+μ＝1 B. C. D.λ＝μ8.已知棱长为1的正四面体ABCD的中心为O，若球O的球面与正四面体ABCD的棱有公共点，则球O的半径的取值范围为A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知一组数据，则()A.该组数据的众数为3 B.该组数据的60%分位数是3

C.该组数据中大于3的数的占比大于50% D.去掉7和8后，该组数据的方差变大10.在长方体中,,,,为棱上一点,则（）A.

B.长方体的外接球的表面积为

C.四棱锥的体积恒为

D.的最小值为11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P在△ABC内，且满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，称点P为△ABC的布洛卡点，角α为△ABC的布洛卡角，则下列说法正确的是A.sin∠APB＝sin∠ABC

B.若△ABC为等边三角形，则其布洛卡角

C.若PA＝λPB，则b2＝λac

D.若a+c＝2，PA＝3PB，则cos∠ABC的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数满足，则

.13.如图，直角梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知，，，，，则原图形的面积是

.

14.已知是的重心，若，则的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量．(1)求向量与的夹角的余弦值；(2)当为何值时，与垂直？16.(本小题15分)在中，角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求．17.(本小题15分)如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．(1)求证：平面．(2)已知．（i）若，求证：平面平面；（ii）若，求异面直线与所成角的余弦值．18.(本小题17分)为点燃同学们对数学的热爱,使其探寻数字背后的文化密码,某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛.为了解参赛者的成绩情况,从所有参赛者中随机抽取100人的成绩(百分制)作为样本,并按,,,分组,作出频率分布直方图如图所示.(1)求的值,并估计样本中成绩不低于60分的人数;(2)估计样本中成绩的上四分位数;(3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级,已知样本中成绩在内的平均数为88,方差为7,成绩在内的平均数为96,方差为7,求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差.19.(本小题17分)如图，四棱锥的顶点在半球的表面上，四边形为圆的内接四边形，且．(1)求四棱锥体积的最大值．(2)当四棱锥的体积最大时：（i）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（ii）求直线与平面所成角的正弦值．

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】ABC

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）因为，所以．所以．设与的夹角为，则．（2）因为，所以．因为与垂直，所以，即，解得．

16.【答案】解：（1）因为，所以由正弦定理可得，则，又因为，所以，所以，即，所以．（2）因为，所以点在直线上．因为，所以，即为边上的高．由余弦定理可得，所以．由面积法可得，即，解得．

17.【答案】解：(1)证明：设，如图，连接.因为是中点，是中点，所以为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面.(2)（i）证明：当时，四边形为正方形，所以，因为平面平面，所以，又平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（ii）由（1）得，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角．在中，，由余弦定理得，即异面直线与所成角的余弦值为．

18.【答案】解：(1)在频率分布直方图中,所有小矩形的面积之和为1,

则(++++m+)10=1,解得m=,

估计样本中成绩不低于60分的人数为100-(+)10100=90.

(2)前四个小矩形的面积之和为(0.005+0.005+0.020+0.030)10=,

前五个小矩形的面积之和为+10=0.85,

所以成绩的上四分位数落在[80,90)内,设其为a,

则0.60+(a-80)0.025=,解得a=86,

即估计样本中成绩的上四分位数为86.

(3)样本中成绩在[80,90)内占成绩在[80,100]内的比例为=,

样本中成绩在[90,100]内占成绩在[80,100]内的比例为=.

设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为,,

由分层随机抽样的平均数公式可得=88+96=91,

由分层随机抽样的方差公式可得=[7+]+[7+]=22,

故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91,方差为22.

19.【答案】解：（1）设直线与的夹角为，点到平面的距离为．则，如图，连接，则当平面时，，当时，最大，为1，所以，即四棱锥的体积的最大值为．（2）由（1）知，当四棱锥的体积最大时，平面，四边形为正方形，所以四棱锥为正四棱锥，其底面边长，高，侧棱长．所以其侧面是边长为的等边三角形．（i）因为是正方形，所以．又平面平面，所以平面．设平面平面，又平面，则由线面平