2025~2026学年上海市实验学校东滩高级中学第二学期期中考试高二数学

2025~2026学年上海市实验学校东滩高级中学第二学期期中考试高二数学一、填空题1.已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的方程为______.2.若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______．3.某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________．4.已知双曲线的渐近线方程为，则__________.5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______．6.现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第1个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为________.（以下随机数表第7行）.3983227639918535325911314046923504982212206712637.已知直线：，：，若两直线垂直，则______.8.已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是__________．9.已知直线过，圆，直线与圆相交于两点，则长度的最小值为______．10.已知圆与圆内切，则实数的值为________.11.已知点，，若直线始终与线段AB有交点，则直线斜率的取值范围是__________.12.如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____．二、单选题13.经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（）

A．3B．C．2D．14.某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：（单位：万元）与销售利润（单位：万元）的相关数据，根据下表中数据，得到经验回归方程，则下列结论中错误的是（）.

广告费用3458销售利润4578

A．B．C．直线必过点D．直线必过点15.以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（）

A．B．C．D．16.在平面直角坐标系xOy中，已知点和点的坐标分别为，，P为平面上的动点，直线l经过点P，记点，到直线l的距离分别为，，若，则称直线l为P的“Q直线”．给出以下两个命题：①存在点P，有且仅有两条“Q直线”；②存在点P，有且仅有三条“Q直线”．则下列说法正确的是（）．

A．①②均正确B．①②均不正确C．①正确②不正确D．①不正确②正确三、解答题17.为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人.(1)学校高中三个年级一共有多少个学生?(2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中，n是正整数）

日均睡眠时间（小时）8.599.510学生数量3213114求该样本的第40百分位数.18.利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下：

数学成绩总评优秀人数数学成绩总评非优秀人数合计每天都整理数学错题人数2010不是每天都整理数学错题人数22合计60(1)完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率；(2)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联?附：，其中；

0.100.010.0012.7066.63510.82819.已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.(1)求圆的标准方程；(2)过点作圆的切线，求切线的方程；20.在研究复杂的平面曲线时，有时会把曲线上的点投影到直线上，我们引入以下两个定义：【定义1】给定平面内一曲线和曲线上一点，以及一条不经过的直线.对于上某一点（），若直线与有且只有一个交点，则称为点关于中心在上的投影点.【定义2】给定平面内一曲线，点不在上，以及一条直线（不经过）.对于上任意一点，直线与曲线的交点个数称为关于中心和曲线的覆盖度，记为.若上存在一点，对于以为中心的任意开区间内（以为中心的开区间是指，其中），都存在点使得，则称为在上的分歧投影点.(1)已知圆，点在上，投影直线.若上有一点，求点关于中心在上的投影点的坐标.(2)已知椭圆，左顶点为，投影直线.设是上异于点的两个不同动点，它们关于中心在上的投影点分别为和证明：直线经过定点的充