2025~2026学年北京市丰台区第二中学高三下学期4月质检数学试卷

2025~2026学年北京市丰台区第二中学高三下学期4月质检数学试卷一、单选题1.已知全集，集合，则（）

A．B．C．D．2.复数的虚部为（）

A．1B．iC．D．3.函数的值域为（）

A．B．C．D．4.已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（）

A．B．C．D．5.已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）

A．B．C．D．6.已知，则（）

A．35B．70C．210D．4207.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．2D．8.已知函数，则下列结论不正确的是（）

A．的周期为B．的图象关于对称C．的最大值为D．在区间上单调递增9.已知函数是定义域为的函数，，对任意、，均有，已知、为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为（）

A．B．C．D．10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：①曲线有四条对称轴；②曲线上的点到原点的最大距离为；③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；④四叶草面积小于.其中，所有正确结论的序号是

A．①②B．①③C．①③④D．①②④二、填空题11.不等式的解集为_____.12.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，则这个数列的第1项是___________．13.已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．14.在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，则当时，三角形区域的个数为___________；若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，则至少需要___________种不同的颜色．15.已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________．三、解答题16.在中，，.(1)求的值；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高.条件①：；条件②：；条件③：的面积为6.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分）17.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，其中，，，.点E、F、G分别为线段AD、DC、PB的中点.(1)证明：平面平面GAC；(2)求直线GC与平面PCD所成角的正弦值.18.某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同.(1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率；(2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望.19.已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，.(1)求的方程；(2)求证：的值为定值；(3)设，的中点分别为，，求证：直线过定点.20.已知函数，其中．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求实数a的取值范围；(3)若存在不等实数和，满足，且，求的取值范围．21.如果无穷正实数数列满足：①对于任意的正整数，都有；②对于任意的，存在正整数，使得．则称数列为数列．(1