《公因数》：小学五年级数学核心素养导向教学设计

《公因数》：小学五年级数学核心素养导向教学设计一、教学内容与学情分析（一）教材分析【基础】本节课“公因数”是西师大版五年级下册第一单元“倍数与因数”中的核心内容，属于数论初步知识。它是在学生已经学习了因数的概念、找一个数的因数的方法以及一个数的因数特征的基础上进行教学的。公因数和最大公因数的概念，是数论知识体系中的重要节点，更是后续学习约分、计算分数乘除法以及解决现实生活中有关于“平均分”“裁剪”“铺装”等实际问题的重要基础和必备工具。本节课的内容不仅承载着知识传授的功能，更肩负着培养学生抽象概括能力、推理能力和建模能力的重任，在整个小学数学知识链中起着承上启下的关键作用1。（二）学情分析【重要】五年级的学生已经具备了一定的抽象思维能力和探究欲望。他们能够熟练地找出一个数的所有因数，并对“因数”的概念有了比较深刻的理解。这为本节课通过找两个数的公因数来建构新概念奠定了坚实的知识与经验基础。然而，学生的思维仍以具体形象思维为主向抽象逻辑思维过渡，对于“公有”这一集合概念的建立，以及为什么“公有”的因数中最大的那个具有特殊意义，理解起来可能仍存在一定的困难。此外，学生的已有经验中也存在一些模糊认识，例如容易将“公因数”与“公倍数”混淆，或者在找公因数时出现遗漏、无序等问题。因此，本课的教学设计必须紧密联系学生的生活实际，通过直观操作和具体情境，帮助学生完成从感性认识到理性认识的飞跃。二、核心素养导向目标【非常重要】基于课程改革理念和对教材学情的精准把握，本课的教学目标设定如下：（一）知识与技能学生通过解决实际问题的探索过程，理解公因数和最大公因数的意义。初步掌握求两个数公因数和最大公因数的基本方法，如列举法、筛选法等，并能在集合圈中正确表示两个数的因数和公因数。了解短除法作为求最大公因数的一般方法，并能正确运用。（二）过程与方法经历公因数概念的形成过程，体验将生活问题抽象为数学模型并进行解释与应用的全过程。在观察、比较、分析、归纳的数学活动中，发展学生的有序思考和抽象概括能力，培养数感和推理意识23。（三）情感态度与价值观通过解决实际问题，体会数学与日常生活的紧密联系，感受数学的价值。在自主探索与合作交流的活动中，获得成功的体验，树立学好数学的信心，养成乐于思考、善于倾听、勇于表达的良好学习习惯。（四）教学重难点【高频考点】教学重点：理解公因数和最大公因数的意义，掌握求两个数的公因数和最大公因数的方法。【难点】教学难点：理解公因数、最大公因数的内涵，特别是理解为什么正方形的边长是长方形长和宽的公因数。能够灵活、简洁地找出两个数的最大公因数。三、教学准备多媒体课件（PPT）、长30cm宽12cm的长方形纸片模拟图（或学生人手一张方格纸）、每个学习小组一张记录单。四、教学过程设计与实施（一）创设情境，问题驱动精彩的课堂始于引人入胜的开端。上课伊始，教师并不直接出示课题，而是利用PPT展示一个生活中的实际问题，以此激发学生的探究兴趣。课件出示：学校手工兴趣小组的李老师遇到一个难题。她有一张长30厘米、宽12厘米的长方形卡纸，想把它剪成若干个同样大小的正方形，用来做手工的零件。为了美观和方便，剪完后不能有剩余。李老师想请同学们帮忙想一想，剪出的正方形的边长可以是几厘米？其中最大的正方形的边长又是多少厘米呢？教师引导学生仔细读题，找出题目中的关键词。学生很快会找出：“同样大小”“正方形”“没有剩余”。教师顺势提问：“‘同样大小’和‘没有剩余’这两个条件，对我们要剪的正方形的边长提出了什么要求呢？”此问题的提出，直指本节课的核心，将学生的思维从单纯的操作引向数学思考，为概念的建构埋下伏笔14。（二）操作探究，建构概念本环节是课堂教学的核心，旨在通过动手操作和小组合作，让学生在“做数学”的过程中体验知识的形成过程。1.动手操作，初步感知教师给每个小组下发一张画有长30格、宽12格的长方形方格图（每个小方格代表1平方厘米），并提出探究任务：“请同学们在方格纸上画一画，或者用小正方形纸片摆一摆，看看哪些边长的正方形能满足‘同样大小’且‘没有剩余’的条件？你们能找出几种？”学生们立刻投入到热火朝天的探究活动中。有的小组通过画线尝试，有的小组用学具小正方形进行拼摆。教师在巡视过程中，重点关注学生是否有序思考，并引导有困难的小组从最小的边长1厘米开始尝试。学生在操作中会发现，边长1厘米、2厘米、3厘米、6厘米的正方形都能正好铺满这个长方形，没有剩余。而边长4厘米、5厘米、7厘米等则不行。这一直观操作的结果，为学生理解抽象的数学概念提供了有力的支撑16。2.汇报交流，揭示本质在充分的动手操作之后，教师组织各小组进行汇报。学生展示他们的探究成果：可以剪成边长是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米的正方形。教师追问一个关键性问题：“为什么偏偏是这几种边长？它们与原来长方形的长和宽之间有什么不可告人的秘密呢？”这一追问将学生的思维引向深入。学生在小组内讨论后逐渐发现：30÷1=30（块），12÷1=12（块），刚好铺满；30÷2=15（块），12÷2=6（块），也刚好铺满；30÷3=10（块），12÷3=4（块），同样刚好铺满；30÷6=5（块），12÷6=2（块），还是刚好铺满。而对于边长4厘米，30÷4=7.5，不是整数，所以不行。至此，结论呼之欲出。教师引导学生概括：要使剪出的正方形没有剩余，正方形的边长必须既能整除30，又能整除12。也就是说，正方形的边长既是30的因数，又是12的因数14。3.抽象概念，命名定义在得出结论的基础上，教师引导学生复习回顾如何找一个数的因数。请同学们分别写出30和12的所有因数。30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。12的因数有：1，2，3，4，6，12。教师指着黑板上列出的两排数字提问：“仔细观察这两组因数，你发现了什么？”学生立刻发现：1、2、3、6既在30的因数里，也在12的因数里。教师利用PPT动态演示集合圈的形成过程：左边一个圈表示30的因数，右边一个圈表示12的因数，两个圈慢慢靠近并产生重叠部分。课件清晰地展示出：左边圈里单独的部分是30独有的因数（5，10，15，30），右边圈里单独的部分是12独有的因数（4，12），中间重叠的部分则是它们公有的因数（1，2，3，6）12。教师适时讲解：“同学们，像1，2，3，6这样，既是30的因数，又是12的因数，我们就说它们是30和12的公因数。”（板书：公因数）接着，教师指着集合圈中最大的数字6提问：“在公因数中，谁最大？”学生答：“6。”教师顺势讲解：“6是其中最大的一个，我们就叫它30和12的最大公因数。”（板书：最大公因数）至此，学生经历了从具体操作到表象操作，再到抽象概括的全过程，对公因数和最大公因数的内涵有了深刻的理解。教师随后点明课题并板书，一切水到渠成19。（三）方法探究，优化策略理解了概念，学生最关心的是“怎么求”。本环节旨在引导学生掌握求最大公因数的方法，并在对比中实现算法的优化。1.回顾与反思教师引导学生回顾刚才找30和12公因数的过程，总结出第一种方法——列举法。即先分别列出两个数的因数，再找出公有的因数，最后找出最大的一个。这种方法虽然基础，但对于理解概念至关重要。2.探索与发现教师出示两组数：8和12，18和27。学生尝试用列举法求出每组数的最大公因数。在交流反馈后，教师提问：“除了这种通用的方法，有没有更快捷的途径呢？特别是对于较大的数？”教师引导学生观察18和27的特点。有的学生可能会想到先找出18的因数：1，2，3，6，9，18，然后从中筛选哪些也是27的因数，从而找出9。这种方法被称为“筛选法”，即先找一个数的因数，再从中筛选出另一个数的因数，缩小了考虑范围，比完整列举稍显快捷29。3.介绍短除法【高频考点】教师向学生系统介绍求最大公因数的通用且高效的方法——短除法。教师边板书边讲解：“我们以前学过用除法竖式求商，现在我们可以用一种类似但格式不同的除法来求最大公因数，叫做短除法。”教师示范：用公有的质因数3去除18和27，得到商6和9；再用公有的质因数3去除6和9，得到商2和3。注意，除到2和3只有公因数1为止（即互质）。教师指着左边的除数讲解：“把所有的除数乘起来，得到的积就是这两个数的最大公因数。3×3=9。”教师强调短除法的书写格式和注意事项：除数必须是两个数的公因数；除到两个商只有公因数1为止；最大公因数就是所有除数的乘积19。4.总结与优化教师组织学生讨论：“在什么情况下用列举法或筛选法比较方便？在什么情况下用短除法更有优势？”学生通过交流达成共识：对于较小的数，列举法直观明了；对于较大的数或找多个数的最大公因数，短除法更具优势，是通用且高效的方法。（四）分层练习，巩固提升练习的设计遵循由浅入深、由模仿到创造的原则，旨在帮助学生巩固所学，并能在不同情境中灵活应用。1.基础练习【基础】求下面每组数的最大公因数，并说说你是怎么想的。6和127和918和30学生独立完成，指名板演，并汇报思考过程。此环节旨在巩固基本方法。在交流中，教师引导学生注意特殊情况：当两个数成倍数关系时（如6和12），较小的数就是它们的最大公因数；当两个数只有公因数1时（如7和9），它们的最大公因数是129。2.变式练习【重要】教材第13页课堂活动第1题：写出下面各分数的分子和分母的最大公因数。（图片略，实际教学中可出示如8/12，15/20，21/28等分数）这一练习巧妙地将公因数知识与后续的约分知识联系起来。学生需要分别找出分子和分母的因数，再求最大公因数。这不仅巩固了新知，更为后续学习分数的约分奠定了坚实的基础，让学生体会到今天所学的知识是大有用处的14。3.综合应用【难点】【热点】回到课初的情境，但问题稍作改变：“如果老师想剪出的正方形边长尽可能大，应该选边长几厘米的？最多可以剪成多少个这样的正方形？”学生需先求出30和12的最大公因数（6厘米），再分别用长和宽除以边长，得到长边可以剪5个，宽边可以剪2个，总共5×2=10（个）。这一问不仅加深了对最大公因数意义的理解，更将新知与旧知（长方形面积或包含除）进行了整合，提升了学生综合解决问题的能力4。（五）课堂总结，拓展延伸1.回顾梳理教师引导学生回顾本节课的探究历程：“我们是怎样一步步发现公因数和最大公因数的？我们学会了哪些求最大公因数的方法？你最大的收获是什么？”学生在畅所欲言中，将本节课的知识纳入自己已有的认知结构，完成知识的系统化构建1。2.拓展延伸教师布置一个开放性的探究任务：“请同学们课后调查一下，生活中还有哪些问题可以用公因数的知识来解决？例如，学校要给一个长45分米、宽30分米的舞蹈教室铺正方形地砖，要求地砖必须是整块且要铺满，地砖的边长可以是多少分米？最大是多少分米？如果地砖的价钱是每块20元，铺满这个教室最少需要多少钱？”将数学学习由课内延伸到课外，让学生带着问题走出课堂，在生活中继续发现数学、应用数学49。五、教学反思与建议本节课的设计，始终贯穿着一条主线：以生活情境为载体，以动手操作为路径，以概念建构为核心，以方法优化为手段。最大程度地体现了“做中学”和“问题驱动”的教学理念。学生在解决“剪正方形”这一真实问题的驱动下，主动地去探索、发现、归纳，最终水到渠成地理解了公因数与最大公因数的本质。这种设计既尊重了学生的认知规律，又凸显了数学知识的形成过程。在教学中，应特别注意以下几点：一是要给予学生充