2023-2024学年陕西省西安市鄠邑二中高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年陕西省西安市鄠邑二中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知向量，若，则k＝（）A． B． C． D．2．（5分）某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（）A．20 B．30 C．40 D．503．（5分）投掷一枚质地均匀的骰子，则向上的点数是3的倍数的概率为（）A． B． C． D．4．（5分）已知直线l，平面α，β，若l⊥α，则“l∥β”是“α⊥β”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是（）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里6．（5分）若z＝1+2i+i2，则|z|＝（）A．0 B．1 C． D．27．（5分）已知某圆柱的轴截面是正方形，且上、下底面圆周上的所有点都在球O的表面上，则该圆柱的体积与球O的体积的比值是（）A． B． C． D．8．（5分）若向量是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在其底下的坐标．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点．已知向量分别是与向量同向的单位向量，且向量在基底下的坐标为（4，2），则在基底下的坐标是（）A．（4，3） B．（3，4） C．（4，1） D．（2，4）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则（）A．该商场有20名销售员 B．该商场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元 C．该商场这个月有30%的销售员的销售额超过7万元 D．该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元（多选）10．（6分）已知事件A，B，C两两互斥，若，则（）A． B． C．P（A∪B∪C）＝1 D．（多选）11．（6分）如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论正确的是（）A．三棱锥A﹣D1PC的体积不变 B．A1P⊥平面ACD1 C．DP⊥BC1 D．平面PDB1⊥平面ACD1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知复数，则＝．13．（5分）某圆台形花坛的上底面圆的半径是2米，下底面圆的半径是4米，高是3米，则该花坛的侧面积是平方米．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且（a+b）2＝c2+3ab，则△ABC周长的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）为了了解一片林木的生长情况，某科研机构成员随机检测了其中100棵树木的底部周长（单位：cm），所得数据都在[80，130]内，按[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）估计这片林木中树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若这片林木有10000棵树木，估计这片林木中底部周长在[90，110）内的树木的数量．16．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ACC1A1是菱形，△ABC是等边三角形．平面ACC1A1⊥平面ABC，D，E，F分别棱AA1，BB1，B1C1的中点．（1）证明：平面A1EF∥平面BC1D．（2）若∠A1AC＝60°，求直线BC1与平面ABC所成角的正弦值．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知4a＝3b，且．（1）求sinB的值；（2）若c＝3，求△ABC的周长．18．（17分）如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的．球的半径为R．正四棱柱的底面边长为2R，高为7R．正四棱台的上、下底面边长分别为4R和6R，斜高（即侧面梯形的高）为3R．（1）求这种型号的奖杯的表面积（用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；（2）已知R＝3cm，若为奖杯表面镀金所用的材料每1.6g可以涂1m2，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯鍍金约需要多少材料？（π取3.14，精确到0.01g）19．（17分）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去．若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者．根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局．（1）比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；（2）已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率．

2023-2024学年陕西省西安市鄠邑二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知向量，若，则k＝（）A． B． C． D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】D【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：，则，，，则，解得k＝．故选：D．2．（5分）某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】分层随机抽样及其适用条件．【答案】A【分析】根据分层抽样的定义求解．【解答】解：由分层抽样可得，被抽到的研发人员有600×＝＝60人，销售人员有400×＝＝40人，所以被抽到的研发人员人数比销售人员人数多60﹣40＝20人．故选：A．3．（5分）投掷一枚质地均匀的骰子，则向上的点数是3的倍数的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】B【分析】利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：投掷一枚质地均匀的骰子，则向上的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种结果，其中是3的倍数的有3，6，共2种结果，∴所求概率为＝，故选：B．4．（5分）已知直线l，平面α，β，若l⊥α，则“l∥β”是“α⊥β”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面与平面垂直；充分条件必要条件的判断．【答案】C【分析】当l∥β时，可推出α⊥β；由α⊥β，则l⊂β或l∥β，进而判断出结论．【解答】解：l⊥α时，当l∥β时，可得α⊥β，“l∥β”是“α⊥β”充分体条件，当α⊥β时，则l⊂β或l∥β，可得l∥β是α⊥β的不必要条件，所以“l∥β”是“α⊥β”充分不必要条件．故选：C．5．（5分）在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是（）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【考点】解三角形．【答案】D【分析】作出示意图，由正弦定理解三角形即可求解．【解答】解：设该船的初始位置为B，2小时后的位置为C，过A作AD⊥BC，垂足为D，则AD为所求的最短距离．由题意可知∠ABC＝15°，∠ACB＝135°，BC＝60海里，则∠BAC＝30°．在△ABC中，由正弦定理可得，则海里．在Rt△ABD中，海里，sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝，，所以海里．故选：D．6．（5分）若z＝1+2i+i2，则|z|＝（）A．0 B．1 C． D．2【考点】复数的模．【答案】D【分析】利用复数代数形式的四则运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z＝1+2i+i2＝1+2i﹣1＝2i，∴|z|＝|2i|＝2．故选：D．7．（5分）已知某圆柱的轴截面是正方形，且上、下底面圆周上的所有点都在球O的表面上，则该圆柱的体积与球O的体积的比值是（）A． B． C． D．【考点】球的体积和表面积．【答案】D【分析】由已知先求出圆柱底面半径及高的关系，然后结合圆柱及球的体积公式即可求解．【解答】解：设该圆柱的底面圆半径为r，高为h，则h＝2r．设球O的半径为R，则2R＝＝2，即，由圆柱的体积公式可得，由球的体积公式可得，则．故选：D．8．（5分）若向量是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在其底下的坐标．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点．已知向量分别是与向量同向的单位向量，且向量在基底下的坐标为（4，2），则在基底下的坐标是（）A．（4，3） B．（3，4） C．（4，1） D．（2，4）【考点】平面向量的线性运算．【答案】B【分析】根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解．【解答】解：因为EFGH是平行四边形，所以，＝，所以．因为向量在基底下的坐标为（4，2），所以，．因为，所以在基底下的坐标是（3，4）．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则（）A．该商场有20名销售员 B．该商场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元 C．该商场这个月有30%的销售员的销售额超过7万元 D．该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元【考点】频率分布直方图的应用．【答案】ACD【分析】根据统计图，统计即可求解AC，根据平均数的计算即可求解B，根据百分位数的计算即可求解D．【解答】由统计图可知该商场有1+2+4+7+3+2+1＝20名销售员，则A正确；该商场这个月所有销售员销售额的平均数为万元，则B错误；该商场这个月销售额超过7万元的销售员有6人，占总人数的百分比为，则C正确；因为20×85%＝17，所以该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是万元，则D正确．故选：ACD．（多选）10．（6分）已知事件A，B，C两两互斥，若，则（）A． B． C．P（A∪B∪C）＝1 D．【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件．【答案】ABD【分析】P（C）＝P（A∪C）﹣P（A），由此判断A；P（A∪B）＝P（A）+P（B），由此判断B；P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C），由此判断C；P（B∪C）＝P（B）+P（C），由此判断D．【解答】解：事件A，B，C两两互斥，若，则P（C）＝P（A∪C）﹣P（A）＝＝，故A正确；P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝＝，故B正确；P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）＝＝，故C错误；P（B∪C）＝P（B）+P（C）＝＝，故D正确．故选：ABD．（多选）11．（6分）如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论正确的是（）A．三棱锥A﹣D1PC的体积不变 B．A1P⊥平面ACD1 C．DP⊥BC1 D．平面PDB1⊥平面ACD1【考点】平面与平面垂直；棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】AD【分析】对于A：点P到平面AD1C的距离为定值，且三角形AD1C的面积不变得到三棱锥A﹣CD1P的体积不变；对于B：连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1面ACD1，从而由线面平行的定义可得；对于C：根据DC⊥平面BCC1B1即可判断；对于D：连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1，从而可以证明面面垂直．【解答】解：对于A：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1知AB∥A1B1∥C1D1，且|AB|＝|A1B1|＝|C1D1|，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，又BC1⊂平面AD1C，AD1⊂平面AD1C，∴BC1∥平面AD1C，又∵点P在线段BC1上运动，∴点P到平面AD1C的距离为定值，又∵△AD1C的面积为定值，∴三棱锥P﹣CD1A的体积不变，∴三棱锥A﹣CD1P的体积不变，故A正确；对于B：连接A1B，A1C1，A1C1∥AD1且相等，由A知：AD1∥BC1，∴BA1C1∥面ACD1，从而由面面平行的性质可得A1P∥平面ACD1，故B错误；对于C，由于DC⊥平面BCB1C1∴DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故C错误；对于D：连接DB1，由AC⊥对角面BDD1B1知DB1⊥AC，由AD1⊥对角面A1B1CD知DB1⊥AD1，由此可得DB1⊥面ACD1，又DB1⊂平面PDB1，从而平面PDB1⊥平面ACD1，故D正确；故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知复数，则＝﹣1+2i．【考点】共轭复数．【答案】﹣1+2i．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由共轭复数的定义得答案．【解答】解：∵＝，∴．故答案为：﹣1+2i．13．（5分）某圆台形花坛的上底面圆的半径是2米，下底面圆的半径是4米，高是3米，则该花坛的侧面积是6π平方米．【考点】圆台的侧面积和表面积．【答案】6π．【分析】先利用勾股定理求出圆台的母线长，再结合圆台的侧面积公式求解即可．【解答】解：由题意可知，圆台的母线长为l＝＝，所以该花坛的侧面积是π×（2+4）×＝6π．故答案为：6π．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且（a+b）2＝c2+3ab，则△ABC周长的最大值为3．【考点】解三角形．【答案】3．【分析】由题意利用基本不等式即可求△ABC周长的最大值．【解答】解：因为（a+b）2＝c2+3ab，c＝，所以（a+b）2﹣3＝3ab≤，当且仅当a＝b时取等号，所以（a+b）2≤3，即a+b≤2，当且仅当a＝b时取等号，所以a+b+c，即△ABC周长的最大值为3．故答案为：3．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）为了了解一片林木的生长情况，某科研机构成员随机检测了其中100棵树木的底部周长（单位：cm），所得数据都在[80，130]内，按[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）估计这片林木中树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若这片林木有10000棵树木，估计这片林木中底部周长在[90，110）内的树木的数量．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）0.025．（2）102.5cm．（3）2500棵．【分析】（1）根据频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1，列出方程，求得a的值；（2）利用频率分布直方图求出数据的平均值即可；（3）由频率估计概率，求解即可．【解答】解：（1）由图象可知（a+0.035+0.02+0.015+0.005）×10＝1，解得a＝0.025．（2）平均值为0.15×8.5+0.25×9.5+0.35×10.5+0.20×115+0.05×125＝102.5（cm）．（3）底部周长在[90，110）内树木数量约为0.25×10000＝2500（棵）．16．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ACC1A1是菱形，△ABC是等边三角形．平面ACC1A1⊥平面ABC，D，E，F分别棱AA1，BB1，B1C1的中点．（1）证明：平面A1EF∥平面BC1D．（2）若∠A1AC＝60°，求直线BC1与平面ABC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面平行．【答案】（1）证明过程见详解；（2）．【分析】（1）由题意易证得EF∥BC1，A1E∥BD，再由面面平行的判定定理可证得结论；（2）作C1H⊥AC的延长线于点H，连接BH，由题意可得∠C1BH是直线BC1与平面ABC所成的角，在△BC1H中，分别求出BH及BC1的大小，可得∠C1BH的正弦值．【解答】（1）证明：由题意可知AA1∥BB1，AA1＝BB1，因为D，E分别是棱AA1，BB1的中点，所以A1D∥BE，A1D＝BE，所以四边形A1DBE是平行四边形，则A1E∥BD，因为BD⊂平面BC1D，A1E⊄平面BC1D，所以A1E∥平面BC1D，因为E，F分别是棱BB1，B1C1的中点，所以EF∥BC1，因为BC1⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，所以EF∥平面BC1D，且A1E∩EF＝E，所以平面A1EF∥平面BC1D；（2）解：作C1H⊥AC的延长线于点H，连接BH，因为平面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，所以C1H⊥平面ABC，则∠C1BH是直线BC1与平面ABC所成的角，设AB＝2，则CC1＝2，因为∠A1AC＝60°，所以∠C1CH＝60°，则CH＝1，C1H＝，因为△ABC是等边三角形，所以BC＝2，∠ACB＝60°，所以∠BCH＝120°，由余弦定理可得BH＝＝＝，因为C1H⊥平面ABC，BH⊂平面ABC，所以C1H⊥BH，则，所以tan∠C1BH＝＝，所以sin∠C1BH＝＝，即直线BC1与平面ABC所成角的正弦值为．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知4a＝3b，且．（1）求sinB的值；（2）若c＝3，求△ABC的周长．【考点】解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而利用正弦定理可得sinB的值；（2）由余弦定理可得（7a﹣27）（a﹣3）＝0，解方程可求a，b的值，即可得解△ABC的周长．【解答】解：（1）因为在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，4a＝3b，，所以sinA＝＝，又4a＝3b，可得b＝a，所以由正弦定理可得sinB＝sinA＝×＝；（2）若c＝3，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得a2＝（a）2+32﹣，整理可得7a2﹣48b+81＝0，即（7a﹣27）（a﹣3）＝0，解得或，所以△ABC的周长L＝a+b+c＝10或12．18．（17分）如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的．球的半径为R．正四棱柱的底面边长为2R，高为7R．正四棱台的上、下底面边长分别为4R和6R，斜高（即侧面梯形的高）为3R．（1）求这种型号的奖杯的表面积（用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；（2）已知R＝3cm，若为奖杯表面镀金所用的材料每1.6g可以涂1m2，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯鍍金约需要多少材料？（π取3.14，精确到0.01g）【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【答案】见试题解答内容【分析】（1）分别求得棱台、棱柱、球的表面积后相加即可得出该奖杯的表面积；（2）求出奖杯需要镀金的表面积，再根据镀金材料的每平方米的重量可求得为100个这种型号的奖杯镀金所需要的材料【解答】解：（1）正四棱台的表面积为．正四棱柱的表面积为（2R）2×2+2R×7R×4＝64R2cm2．球的表面积为4πR2cm2．故这种型号的奖杯的表面积为112R2+64R2+4πR2﹣2×（2R）2＝（168R2+4πR2