2023-2024学年上海交大附中高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年上海交大附中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知A＝{x|x﹣2＜0}，则A∩N＝．2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝4，S9＝18，则公差d＝．3．复数z1＝a+4i，z2＝3+bi（a、b∈R），若它们的和z1+z2为实数，差z1﹣z2为纯虚数，则|a+bi|＝．4．已知||＝，||＝1，与的夹角为45°，则使向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角是锐角的实数λ的取值范围为．5．已知f（x）＝xcosx+cos（x+φ）（0＜φ＜π），函数y＝f（x）的定义域为（﹣2π，2π）．若y＝f（x）为奇函数，则y＝f（x）的严格增区间为．6．已知函数f（x）＝2f′（3）x﹣2x2+3lnx（f′（x）是f（x）的导函数），则f（1）．7．有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．8．已知直角坐标平面内有三个定点A（1，0），F1（﹣2，0），F2（2，0），动点P满足．若，则点P横坐标的取值范围是．9．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线l的倾斜角为．10．若不等式xlnx+（k﹣ln4）x+k＜0的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是．11．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6，集合M＝{＝（i，j＝1，2，3，4，5，6，i≠j）}，在M中任取两个元素、，则的概率为．12．已知、、为空间中三组单位向量，且⊥、⊥，与夹角为60°，点P为空间任意一点，且||＝1，满足|•|≤|•|≤|•|，则|•|最大值为．二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．“n＝6”是“的二项展开式中存在常数项”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件14．若a＞b＞0且a、b均不为1，0＜m＜1，则（）A．am＜bm B．ma＜mb C．logma＞logmb D．logam＞logbm15．等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，，则＝（）A．﹣2 B． C． D．216．已知点A（a，sina）在函数y＝sinx的图像上，若y＝sinx过点A的切线与函数y＝sinx的图像有n个公共点（含切点），称a是y＝sinx的“n关键点”．研究归纳得到了下面的命题：①M全体“1关键点”构成的集合是{kπ|k∈Z}．②集合{kπ+2|k∈Z}中的元素都是2关键点．③若a0是“n0关键点”，则kπ±a0（k∈Z）也是“n0关键点”④若tana0＝a0，则a0一定是“关键点”．（其中[x]表示不超过x的最大整数）其中，真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30分钟从该生产线上随机抽取一个零件并测量其尺寸（单位：毫米）下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸99.5101.299.699.5100.199.299.8100.4抽取次序910111213141516零件尺寸102.6991101.3100.298.2100.4100.599.5（1）绘制此次抽样测量的零件尺寸茎叶图；（2）监控手册规定，如果抽样的产品的尺寸均落在区间中，则判定当日产品全部合格；否则需从当日的全部产品中重新抽取16件产品进行检验，根据检验员抽样测量的数据，计算抽样零件的平均数与标准差s．并根据监控手册判断当日检验员是否需要重新检验？（所有答案均按四舍五入精确到0.001毫米）18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2A+4cos（B+C）+3＝0．（1）求角A的大小；（2）若a＝，b+c＝3，求b和c的值．19．高三新教学楼启用后，从一些教室窗口就能看到殷高路对面居民房平改坡后的屋顶（如图）．其中AB是屋脊线，MN是屋檐线，ABMN是屋顶坡面，CDE是一个与水平面垂直的带气窗的竖直面，EF是气窗屋顶的屋脊线且EF与竖直面CDE垂直．小张和小王对屋顶进行研究，提出了下面一些假设：①两条屋脊线AB与EF互相垂直且都与水平面平行；②气窗屋顶的两个坡面EFC与EFGD互相垂直且与水平面的所成角相等；③屋顶坡面ABMN与水平面所成角为30°．（1）小张认为还需假设屋脊线AB与带气窗的竖直面CDE是平行关系．而小李认为前面的假设已经够了，不需要再提出这个假设．请你判断哪位同学正确？证明你的判断．（2）根据小张和小王的假设，试求气窗屋顶的一个坡面DEFG与屋顶坡面ABMN构成的阴脊线FG（是平面ABMN与平面EFGD的交线）与水平面所成角的大小．（用反三角函数表示）20．在平面直角坐标系xOy中，已知E（﹣2，0），F（2，0），A（﹣1，0），动点P满足|PE|﹣|PF|＝2，动点P的轨迹记为Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）若点Q也在曲线Γ上，且，求△APQ的面