2023-2024学年上海师大附中高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年上海师大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）向量（3，﹣4）的单位向量是．2．（4分）△ABC中，已知A＝120°，B＝45°，AC＝2，则边BC的长为．3．（4分）已知向量a→=(1，1)，b→=(3，5)，则b→4．（4分）设e1→，e2→是不共线向量，e1→−4e25．（4分）已知△ABC三边上的高分别为hA、hB、hC，且hA：hB：hC＝4：5：6，则此三角形最大角的余弦值为．6．（4分）函数y＝tan2x，x∈[−π6，7．（5分）在△ABC中，若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→•AC→=−3，则S8．（5分）已知函数f（x）＝cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）＝tanx的图象交于M，N两点，则|OM→+ON9．（5分）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则AP→⋅AB10．（5分）设函数f（x）＝sinx，若对于任意α∈[2π3，π]，都存在β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）＝0，则m11．（5分）若存在实数φ，使函数f（x）＝cos（ωx+φ）−12(ω＞0)在x∈[π，3π]上有且仅有2个零点，则ω12．（5分）已知平面向量a→，b→，且|a→|=|b→|=2，a二、选择题（13～14每题4分，15～16每题5分，共18分，每题有且仅有一个答案正确）13．（4分）函数y＝tanx是（）A．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为π2的偶函数C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数14．（4分）已知e1→、A．12e1→C．34e115．（5分）设集合A={x|x=sin2π2023+sinA．1011 B．1012 C．2022 D．202316．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0）、B（0，1）、C（﹣1，1）、D（﹣1，0）、E（0，﹣1）、F（l，﹣1）．有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA．角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，α的终边与该封闭图形ABCDEF交于点P，点P的纵坐标y关于α的函数记为y＝f（α），则有关函数y＝f（α）图像的说法正确的是（）A．关于直线α=π4B．关于直线α=3π4成轴对称，且以2πC．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心 D．夹在y＝±1之间，且关于点（π，0）成中心对称三、解答题（共78分）17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，﹣1），B（﹣2，1），C（m，2）．（1）若m＝2，求△ABC的面积S；（2）是否存在实数m，使得A、B、C三点能构成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，请说明理由．18．（14分）已知函数f(x)=2sin(2x+π（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）若不等式|f（x）+t|＜1在x∈[0，π4]19．（15分）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为2π3，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ∥OA（1）当OQ＝50米时，求PQ的长；（2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区△OPQ的面积尽可能的大．设∠AOP＝θ，求△OPQ面积的最大值．20．（18分）在△ABC中，∠CAB＝120°．（1）如图1，若点P为△ABC的重心，试用AB→、AC→表示（2）如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动（包含B、C两个端点），且AB＝AC＝1，设AP→=λAB→+μAC→（（3）如图3，若点P为△ABC外接圆的圆心，设AP→=mAB→+nAC→（m，n∈R21．（18分）已知向量a→=(cos3x2，sin3x2)，（1）若m＝0，求f(π（2）用x表示|a→+b→|，若x∈[−π（3）设n为正整数，函数y＝f（x）在区间（0，nπ）上恰有2024个零点，请求出所有满足条件的n的值及相应m的取值范围．

2023-2024学年上海师大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）向量（3，﹣4）的单位向量是（35，−4【考点】平面向量的概念与平面向量的模．【答案】（35，−【分析】设a→=（3，﹣4），求出|a→|，再由a【解答】解：设a→则|a→|=故向量（3，﹣4）的单位向量是a→|a→|故答案为：（35，−2．（4分）△ABC中，已知A＝120°，B＝45°，AC＝2，则边BC的长为6．【考点】正弦定理．【答案】6．【分析】由题意利用正弦定理即可求解．【解答】解：因为A＝120°，B＝45°，AC＝2，所以由正弦定理ACsinB=BC解得BC=6故答案为：6．3．（4分）已知向量a→=(1，1)，b→=(3，5)，则b→【考点】平面向量的数量投影．【答案】（4，4）．【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：a→=(1，1)，则a→⋅b故b→在a→方向上的投影向量为：故答案为：（4，4）．4．（4分）设e1→，e2→是不共线向量，e1→−4e2→与【考点】平面向量的相等与共线．【答案】见试题解答内容【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线，则存在实数λ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，∴e1∴λk＝1，λ＝﹣4，∴k=−1故答案为−15．（4分）已知△ABC三边上的高分别为hA、hB、hC，且hA：hB：hC＝4：5：6，则此三角形最大角的余弦值为19240【考点】余弦定理．【答案】19240【分析】根据题意，利用三角形的面积公式算出a：b：c＝15：12：10，从而设a＝15t，b＝12t，c＝10t，t＞0，可得A为三角形最大角，然后利用余弦定理算出最大角的余弦值．【解答】解：因为△ABC三边上的高分别为hA、hB、hC，且hA：hB：hC＝4：5：6，所以由S△ABC=12ahA=12bhB=12chC，得4a＝5b＝6c，可得设a＝15t，b＝12t，c＝10t，t＞0，可知A为三角形最大角，因为cosA=b2+c2故答案为：192406．（4分）函数y＝tan2x，x∈[−π6，π6【考点】正切函数的图象．【答案】3．【分析】利用正切函数的单调性即可求最值．【解答】解：当x∈[−π6，π6]时，2x∈[−π又tan(−π3)=−3，tanπ3=故答案为：3．7．（5分）在△ABC中，若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→•AC→=−3，则S△ABC【考点】三角形的面积公式．【答案】见试题解答内容【分析】利用向量的数量积求出两个向量的夹角，然后通过三角形的面积公式求解即可．【解答】解：在△ABC中，若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→所以|AB→|•|AC→|cos可得cosA=−1∴sinA=3则S△ABC=12|AB→|•|AC→故答案为：338．（5分）已知函数f（x）＝cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）＝tanx的图象交于M，N两点，则|OM→+ON→|＝【考点】余弦函数的图象；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】由题意，M，N关于点（π2，0）对称，即可求出|OM【解答】解：由题意，M，N关于点（π2∴|OM→+ON→故答案为π．9．（5分）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则AP→⋅AB【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】[﹣8，24]．【分析】向量a→、b→的数量积，等于向量a→的模乘以向量b→在向量a→上的投影，因此观察点P【解答】解：根据题意，当P运动到半圆弧AD的中点（图中的P1位置）时，AP→在向量AB→上的投影等于故AP→⋅AB→的最小值为AP1→当P运动到半圆弧BC的中点（图中的P2位置）时，AP→在向量AB→上的投影等于此时AP2→•AB→=|AB综上所述，AP→故答案为：[﹣8，24]．10．（5分）设函数f（x）＝sinx，若对于任意α∈[2π3，π]，都存在β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）＝0，则m的最小值为【考点】三角函数的最值．【答案】4π3【分析】由已知可得f（α）∈[0，32]，将已知转化为存在β∈[0，m]，使得f（β）＝﹣f（α）∈[−32，0]，再结合正弦函数的图象与性质即可得m【解答】解：函数f（x）＝sinx，因为x∈[2π所以f（x）＝sinx∈[0，32]，即f（α）∈[0，3又因为存在β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）＝0，即存在β∈[0，m]，使得f（β）＝﹣f（α）∈[−3由正弦函数的性质可得m≥4π所以m的最小值为4π3故答案为：4π311．（5分）若存在实数φ，使函数f（x）＝cos（ωx+φ）−12(ω＞0)在x∈[π，3π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为[13【考点】余弦函数的图象．【答案】[13，5【分析】利用y＝cosx的图像与性质，直接求出函数f（x）的零点，再利用题设条件建立不等关系π3−φ+2kπω【解答】解：因为f(x)=cos(ωx+φ)−12(ω＞0)，由f（x所以ωx+φ=π3+2kπ(k∈Z)所以x=π又因为存在实数φ，使函数f（x）在x∈[π，3π]上有且仅有2个零点，所以7π3−φ+2kπω−5π3−φ+2kπ故答案为：[13，512．（5分）已知平面向量a→，b→，且|a→|=|b→|=2，a【考点】两个平面向量的和或差的模的最值．【答案】3．【分析】先根据平面向量数量积的定义求出a→，b→夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出|a→−b→|和【解答】解：∵|a→|=|b→|=2，a→⋅b→=2，而∴cos＜a→，b→＞=12，＜a→∴|a→−b|a→+b→|=(a→∵向量c→满足|c→−2a→−2b→|＝|a→如图所示，若OA→=a→，OB→=b则BA→=a∴|EC→|＝|c→−2（a→+若OD→=λb由图象可得当且仅当E，C，D三点共线且ED⊥OD时，|DC→|最小，即|c→−λ此时∠EOD=π6，又|b→|=2，OD故答案为：3．二、选择题（13～14每题4分，15～16每题5分，共18分，每题有且仅有一个答案正确）13．（4分）函数y＝tanx是（）A．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为π2的偶函数C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数【考点】三角函数的周期性．【答案】C【分析】直接利用正切函数的图像和性质的应用求出结果．【解答】解：函数y＝tanx是最小正周期为π的奇函数．故选：C．14．（4分）已知e1→、A．12e1→C．34e1【考点】平面向量的概念与平面向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】D【分析】根据向量长度的求法及向量数量积的运算即可求出每个选项的向量的长度，然后即可得出正确的选项．【解答】解：∵e1∴e1→2∴|12e1→+1显然375故选：D．15．（5分）设集合A={x|x=sin2π2023+sinA．1011 B．1012 C．2022 D．2023【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；集合中元素个数的最值．【答案】B【分析】依题意由表达式中角的特征可知当0＜k≤1011，k∈Z时，sin2kπ2023的取值各不相同，当【解答】解：根据题意可知，当0＜k≤1011，k∈Z时，2kπ2023∈(0，π)，此时又因为2023为奇数，2k为偶数，且2kπ2023中的任意两组角都不关于π所以sin2kπ2023的取值各不相同，因此当0＜k≤1011，k∈Z时集合A中x的取值会随着所以当k＝1011时，集合A中有1011个元素；当k＝1012时，易知x=sin2π=sin2π=sin2π又易知sin2022π所以可得x=sin2π即k＝1012时x的取值与k＝1010时的取值相同，与k＝0时的取值不相同，根据集合元素的互异性可知，k＝1012时并没有增加集合中的元素个数，以此类推可得当k≥1012时，集合A中的元素个数并没有随着k的增大而增加，所以可得集合A的元素个数为1012个．故选：B．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0）、B（0，1）、C（﹣1，1）、D（﹣1，0）、E（0，﹣1）、F（l，﹣1）．有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA．角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，α的终边与该封闭图形ABCDEF交于点P，点P的纵坐标y关于α的函数记为y＝f（α），则有关函数y＝f（α）图像的说法正确的是（）A．关于直线α=π4B．关于直线α=3π4成轴对称，且以2πC．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心 D．夹在y＝±1之间，且关于点（π，0）成中心对称【考点】分段函数的应用；命题的真假判断与应用．【答案】C【分析】分段求出函数y＝f（α）的解析式，再作出图像，即可得答案．【解答】解：由题意可知，y＝f（α）的最小正周期为2π，且当0≤α≤π2时，f（α）＝sin当π2＜α≤3π4时，当3π4＜α≤π时，f（α）＝﹣tan当π＜α≤3π2时，f（α）＝sin当3π2＜α≤7π4时，当7π4＜α≤2π时，f（α）＝tan作出f（α）的图像，如图所示：由图像要知，函数y＝f（α）的图像既没有对称轴，也没有对称中心．故选：C．三、解答题（共78分）17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，﹣1），B（﹣2，1），C（m，2）．（1）若m＝2，求△ABC的面积S；（2）是否存在实数m，使得A、B、C三点能构成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，请说明理由．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理．【答案】（1）112（2）{3，−4【分析】（1）由平面向量的坐标运算，结合三角形的面积公式及余弦定理求解；（2）结合向量垂直的坐标运算求解．【解答】解：（1）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，﹣1），B（﹣2，1），C（m，2），则AB→=(−3，2)，AC→又m＝2，则BC→=(4，1)，设△ABC的边为a，b，c，则a=|BC→|=17，则cosA=b则sinA=1−co则S△ABC（2）设存在实数m，使得A、B、C三点能构成直角三角形，又AB→=(−3，2)，AC→则AB→⋅AC→=0即（﹣3）×（m﹣1）+2×3＝0或（﹣3）×（m+2）+2×1＝0或（m﹣1）（m+2）+3×1＝0，即m＝3或m=−43或即m的取值集合为{3，−418．（14分）已知函数f(x)=2sin(2x+π（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）若不等式|f（x）+t|＜1在x∈[0，π4]【考点】函数恒成立问题；三角函数的周期性；正弦函数的单调性．【答案】（1）T＝π，单调递增区间为[kπ−π12，kπ+π12]，（2）t∈（﹣1，0）．【分析】（1）根据周期公式及正弦函数的单调性求解即可；（2）由题意可得﹣1﹣t＜f（x）＜1﹣t，求出函数y＝f（x）在x∈[0，π【解答】解：（1）因为f(x)=2sin(2x+π所以T=2π2由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ解得：kπ−π12≤x≤kπ+π12所以函数的单调递增区间为[kπ−π12，kπ+π12]，（2）由|f（x）+t|＜1，可得﹣1＜f（x）+t＜1，所以﹣1﹣t＜f（x）＜1﹣t，因为x∈[0，π所以2x+π3∈[π3所以sin（2x+π3）∈[所以2sin（2x+π3）﹣1即f（x）∈[0，1]，所以−1−t＜01−t＞1，解得﹣1＜t所以实数t的取值范围为（﹣1，0）．19．（15分）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为2π3，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ∥OA（1）当OQ＝50米时，求PQ的长；（2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区△OPQ的面积尽可能的大．设∠AOP＝θ，求△OPQ面积的最大值．【考点】根据实际问题选择函数类型；扇形面积公式．【答案】（1）80；（2）12253【分析】（1）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得；（2）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得．【解答】解：（1）因为PQ∥OA，所以∠PQO=π−2π由余弦定理可得OP2＝OQ2+PQ2﹣2×OQ×PQ×cos∠PQO，即4900＝2500+PQ2﹣50PQ，即有PQ2﹣50PQ﹣2400＝0，即（PQ+30）（PQ﹣80）＝0，故PQ＝﹣30（负值舍去）或PQ＝80，即PQ＝80；（3）由PQ∥OA，故∠OPQ＝∠AOP＝θ，又∠PQO=π由正弦定理可得OPsin即OQ=140则，令f(θ)=sinθsin(2π则f(θ)=sinθsin(=1所以f（θ）有最大值12此时2θ−π即θ=π3，此时S△OPQ=4900320．（18分）在△ABC中，∠CAB＝120°．（1）如图1，若点P为△ABC的重心，试用AB→、AC→表示（2）如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动（包含B、C两个端点），且AB＝AC＝1，设AP→=λAB→+μAC→（（3）如图3，若点P为△ABC外接圆的圆心，设AP→=mAB→+nAC→（m，n∈R【考点】用平面向量的基底表示平面向量．【答案】见试题解答内容【分析】（1）延长AO交BC于D，利用重心性质及向量加减表示即可；（2）以A为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量坐标表示求得λ，μ，再用三角函数性质求得最值即可；（3）表示出AP→=m（AP→+PC→）+n（AP→+PB→），即（1﹣m﹣n）AP→【解答】解：（1）延长AO交BC于D，则D是BC中点，所以AP→=23AD→=（2）以A为原点，建立如图所示坐标系，则B（1，0），C（−12，设P（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π3因为AP→=λAB→+μAC→，所以（cosθ，sinθ）＝λ所以λ=cosθ+3所以λμ=233sinθ（cosθ+33θ）=33sin2θ+23=13（3sin2θ﹣cos2θ+1）=23sin（2θ因为θ∈[0，2π3所以2θ−π6∈[−π6，7π6]，则λμ=23（3）因为∠CAB＝120°，所以∠CPB＝120°，由AP→=mAB→+nAC→（m，n∈R）可得AP→=m即（1﹣m﹣n）AP→=mPC