2023-2024学年上海市虹口区复兴高级中学高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年上海市虹口区复兴高级中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知等差数列{an}（n∈N*）满足，则a5＝．2．（4分）设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则|z|＝．3．（4分）已知，，则角α是第象限角．4．（4分）已知复数z满足z2+2z+3＝0，则z•＝．5．（4分）已知tanα＝2，tan（α+β）＝﹣1，则tanβ＝．6．（4分）记f（n）＝1+2+3+⋯+（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了项．7．（5分）已知，则向量在向量方向上的数量投影为．8．（5分）在数列{an}中，a1＝2，an＝2an+1（n≥1），则a1a3+a2a4+⋯+a10a12＝．9．（5分）已知两点P1（2，﹣1），P2（﹣1，3），点P在直线P1P2上，且满足，则点P的坐标为．10．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝2，且∠B＝30°，则△ABC的面积等于．11．（5分）若正项等比数列{an}满足：a3+a5＝4，则a4的最大值为．12．（5分）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），∠DCB＝，且DC＝CB，若|AB|＝2，则•的取值范围为．二、选择题（本大题共4题，满分18分，其中第13-14题4分，第15-16题5分）13．（4分）“”是“实系数一元二次方程x2+2xsinα+1＝0有虚根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件14．（4分）下列四个函数中，以π为最小正周期的奇函数是（）A．y＝sinx B．y＝cos2x C．y＝|sinx| D．y＝sin2x15．（5分）等差数列{an}中，已知3a5＝7a10，且a1＜0，则数列{an}前n项和Sn（n∈N*）中最小的是（）A．S7或S8 B．S12 C．S13 D．S1416．（5分）如图，已知△ABC与△AMN有一个公共顶点A，且MN与BC的交点O平分BC，若＝m，＝n，则+的最小值为（）A．4 B． C．+ D．6三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（15分）已知，且与的夹角为45°，设．（1）求|+2|的值；（2）若，求实数λ的值．18．（15分）已知i为虚数单位，z1、z2是实系数一元二次方程的两个虚根．（1）设z1、z2满足方程4z1+（1﹣i）z2＝9﹣5i，求z1、z2；（2）设z1＝1+2i，复数z1、z2所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围．19．（15分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn＝an+（﹣1）nbn（n∈N*），求数列{cn}的前2n项和．20．（15分）设向量，（n∈N*），函数在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足b1＝1，．（1）求证：an＝n+1；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）设cn＝﹣an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知函数，其中ω＞0．（1）若f（x1）≤f（x）≤f（x2），，求ω的值；（2）若2＜ω＜4，函数f（x）图像向右平移个单位，得到函数g（x）的图像，是g（x）的一个零点，若函数g（x）在[m，n]（m，n∈R且m＜n）上恰好有4个零点，求n﹣m的最小值；（3）令h（x）＝sin（2x+φ）（φ∈[0，2π）），对任意实数x1，x2．当x1≠x2时，有成立．将函数为h（x）的图像向左平移φ0（φ0＞0）个单位得到函数u（x），已知函数y＝10u（x）+lgh（x）的最大值为10，求满足条件的φ0的最小值．

2023-2024学年上海市虹口区复兴高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知等差数列{an}（n∈N*）满足，则a5＝1．【考点】等差数列的通项公式．【答案】1．【分析】利用等差中项的性质可得2a5＝+1≥0，进而可求结果．【解答】解：∵等差数列{an}（n∈N*）满足，∴（a5﹣1）2＝0，解得a5＝1．故答案为：1．2．（4分）设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则|z|＝．【考点】复数的模；复数的运算．【答案】．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），根据已知列方程求出a，b，进而得出z的模长．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，即a2﹣b2＝3且2ab＝4，解得a＝2，b＝1或者a＝﹣2，b＝﹣1，∵z＝2+i或者z＝﹣2﹣i，∴|z|＝＝．故答案为：．3．（4分）已知，，则角α是第第三象限角．【考点】象限角、轴线角；三角函数值的符号．【答案】第三．【分析】由sin的值利用二倍角公式得sinα，及cosα，再根据其符号判断象限．【解答】解：∵，∴，即α在第三、四象限；cosα＝2cos2﹣1＝2×﹣1＝﹣＜0，即α在第二、三象限．∴角α所在的象限是第三象限，故答案为：第三．4．（4分）已知复数z满足z2+2z+3＝0，则z•＝3．【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】3．【分析】通过方程解出z，再求出即可求解．【解答】解：因为z2+2z+3＝0，由求根公式可得，，所以．故答案为：3．5．（4分）已知tanα＝2，tan（α+β）＝﹣1，则tanβ＝3．【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的三角函数．【答案】见试题解答内容【分析】已知第二个等式左边利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanα的值代入即可求出tanβ的值．【解答】解：∵tan（α+β）＝＝﹣1，tanα＝2，∴＝﹣1，整理得：2+tanβ＝﹣1+2tanβ，解得：tanβ＝3．故答案为：36．（4分）记f（n）＝1+2+3+⋯+（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了3项．【考点】数学归纳法．【答案】3．【分析】根据给定条件，分析从n＝k到n＝k+1时式子的变化即可作答．【解答】解：因为f（k）＝1+2+3+⋯+（3k﹣1）+3k，f（k+1）＝1+2+3+⋯+（3k﹣1）+3k+（3k+1）+（3k+2）+3（k+1），所以不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了3k+1，3k+2，3（k+1），共3项．故答案为：3．7．（5分）已知，则向量在向量方向上的数量投影为1．【考点】平面向量数量积的坐标运算．【答案】1．【分析】先求出两向量的夹角，然后算出各自的模长，再套用公式求解．【解答】解：由题知，，故＝＝，故在向量方向上的数量投影为＝．故答案为：1．8．（5分）在数列{an}中，a1＝2，an＝2an+1（n≥1），则a1a3+a2a4+⋯+a10a12＝[1﹣（）10]．【考点】数列递推式．【答案】[1﹣（）10]．【分析】由等比数列的定义和通项公式、求和公式，计算可得所求和．【解答】解：由a1＝2，an＝2an+1（n≥1），可得数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，则an＝2×（）n﹣1＝（）n﹣2，anan+2＝（）n﹣2×（）n＝（）2n﹣2，则a1a3+a2a4+⋯+a10a12＝1+++...+（）18＝＝[1﹣（）10]．故答案为：[1﹣（）10]．9．（5分）已知两点P1（2，﹣1），P2（﹣1，3），点P在直线P1P2上，且满足，则点P的坐标为（，）或（8，﹣9）．【考点】线段的定比分点．【答案】（，）或（8，﹣9）．【分析】由题意先求得点P分有向线段P1P2成的比，再利用线段的定比分点坐标公式，计算求得结果．【解答】解：∵两点P1（2，﹣1），P2（﹣1，3），点P在直线P1P2上，且满足，若点P在线段P1P2上，则点P（x，y）分线段所成的比λ＝，∴x＝＝，y＝＝，则点P的坐标为（，）．若点P在线段P2P1上的延长线上，则点P（x，y）分线段所成的比λ＝﹣，∴x＝＝8，y＝＝﹣9，则点P的坐标为（8，﹣9），故答案为：（，）或（8，﹣9）．10．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝2，且∠B＝30°，则△ABC的面积等于或2．【考点】三角形中的几何计算．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积求出结果．【解答】解：设BC＝x，利用余弦定理：AC2＝CB2+AB2﹣2•BC•AB•cos30°，整理得：，即：x2﹣6x+8＝0，解得：x＝2或4．①当BC＝2时，②BC＝4时，．故答案为：或2．11．（5分）若正项等比数列{an}满足：a3+a5＝4，则a4的最大值为2．【考点】等比数列的性质．【答案】见试题解答内容【分析】利用数列{an}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5＝a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5＝a42，∵等比数列{an}各项均为正数，∴a3+a5≥2，当且仅当a3＝a5＝2时，取等号，∴a3＝a5＝2时，a4的最大值为2．故答案是：2．12．（5分）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），∠DCB＝，且DC＝CB，若|AB|＝2，则•的取值范围为（1，2]．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（1，2]【分析】利用∠BOC＝2θ，把向量内积通过投影转化为三角函数问题进行求解即可．【解答】解：设∠BOC＝2θ，则，作DE⊥OE交OC的延长线于点E，由余弦定理BC2＝1+1﹣2cos2θ＝2﹣2cos2θ＝4sin2θ，所以BC＝2sinθ，即DC＝2sinθ，，因为，所以∠DCE＝θ，所以CE＝DC•cosθ＝2sinθcosθ＝sin2θ∈（0，1]，所以，故答案为：（1，2]．二、选择题（本大题共4题，满分18分，其中第13-14题4分，第15-16题5分）13．（4分）“”是“实系数一元二次方程x2+2xsinα+1＝0有虚根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件【考点】复数的运算；充分条件与必要条件．【答案】C【分析】根据已知条件，结合判别式法，以及三角函数的有界性，即可求解．【解答】解：实系数一元二次方程x2+2xsinα+1＝0有虚根则4sin2α﹣4＜0，解得，故“”是“实系数一元二次方程x2+2xsinα+1＝0有虚根”的充分必要条件．故选：C．14．（4分）下列四个函数中，以π为最小正周期的奇函数是（）A．y＝sinx B．y＝cos2x C．y＝|sinx| D．y＝sin2x【考点】三角函数的周期性；函数的奇偶性．【答案】D【分析】结合三角函数的周期性及奇偶性检验各选项即可判断．【解答】解：y＝sinx的最小正周期T＝2π，A不符合题意；y＝cos2x为偶函数，B不符合题意；y＝|sinx|为偶函数，C不符合题意；y＝sin2x为奇函数，且最小正周期T＝π，D符合题意．故选：D．15．（5分）等差数列{an}中，已知3a5＝7a10，且a1＜0，则数列{an}前n项和Sn（n∈N*）中最小的是（）A．S7或S8 B．S12 C．S13 D．S14【考点】等差数列的性质．【答案】C【分析】设公差为d，则3由题意可得（a1+4d）＝7（a1+9d），解得d＝﹣，可得an＝．令＜0，可得当n≥14时，an＞0，当n≤13时，an＜0，由此可得数列{an}前n项和Sn（n∈N*）中最小的．【解答】解：等差数列{an}中，已知3a5＝7a10，且a1＜0，设公差为d，则3（a1+4d）＝7（a1+9d），解得d＝﹣．∴an＝a1+（n﹣1）d＝．令＜0，可得n＞，故当n≥14时，an＞0，当n≤13时，an＜0，故数列{an}前n项和Sn（n∈N*）中最小的是S13，故选：C．16．（5分）如图，已知△ABC与△AMN有一个公共顶点A，且MN与BC的交点O平分BC，若＝m，＝n，则+的最小值为（）A．4 B． C．+ D．6【考点】平面向量的基本定理．【答案】C【分析】由平面向量的线性运算计算可得，再由基本不等式即可求得．【解答】解：因为O为BC的中点，且＝m，＝n，所以＝＝，因为M，O，N三点共线，所以，由图可知，m＞0，n＞0，所以+＝（+）•（）＝＝，当且仅当时等号成立，所以+的最小值为．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（15分）已知，且与的夹角为45°，设．（1）求|+2|的值；（2）若，求实数λ的值．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）结合向量模公式，即可求解；（2）结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：（1），则，故；（2），则＝（2，0）+（λ，λ）＝（2+λ，λ），＝（2λ，0）+（1，1）＝（2λ+1，1），，则（2+λ）（2λ+1）+λ＝0，即λ2+3λ+1＝0，解得．18．（15分）已知i为虚数单位，z1、z2是实系数一元二次方程的两个虚根．（1）设z1、z2满足方程4z1+（1﹣i）z2＝9﹣5i，求z1、z2；（2）设z1＝1+2i，复数z1、z2所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围．【考点】复数的运算．【答案】（1）或（2）．【分析】（1）根据共轭复数的性质代入条件得方程组解得a、b．（2）根据复数平面坐标系特点得所需向量坐标，根据条件夹角为钝角翻译即可求解．【解答】解：（1）因为z1、z2是实系数一元二次方程的两个虚根，所以设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi．则4（a+bi）+（1﹣i）（a﹣bi）＝9﹣5i，即（5a﹣b）+（3b﹣a）i＝9﹣5i，所以5a﹣b＝9，3b﹣a＝﹣5，解得a＝，b＝，所以或．（2）由题意：z1＝1+2i，z2＝1﹣2i，故，故．由于向量与的夹角为钝角，设两向量夹角为θ，故，解得，故t∈．19．（15分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn＝an+（﹣1）nbn（n∈N*），求数列{cn}的前2n项和．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）．【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可．（2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则，，a14＝b4＝b3q＝27，又a14＝a1+13d＝1+13d＝27，可得d＝2，∴an＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）由（1）可得，∴，以它为通项的数列是以﹣1为首项、公比为﹣3的等比数列，∴，∴数列{cn}的前2n项和为：＝．20．（15分）设向量，（n∈N*），函数在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足b1＝1，．（1）求证：an＝n+1；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）设cn＝﹣an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．【考点】数列与向量的综合．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用函数在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为an，结合向量数量积公式，可得结论；（2）再写一式，两式相减，即可求数列{bn}的通项公式；（3）由题意，ck为{cn}的最大项，则k≥2，要使ck为最大值，则，解不等式，即可求得k的取值．【解答】（1）证明：由已知，y＝x（x+n）+2（2x﹣1）＝x2+（4+n）x﹣2…（2分）而函数y在x∈[0，1]上是增函数，…（3分）所以an＝﹣2+1+4+n﹣2＝n+1．…（4分）（2）解：因为，所以（n≥2），…（6分）两式相减，得bn＝（n≥2）．…（8分）所以，数列{bn}的通项公式为bn＝…（10分）（3）解：因为c1＝﹣a1•b1＝﹣2＜0，cn＝﹣an•bn＝＞0（n≥2），…（12分）由题意，ck为{cn}的最大项，则k≥2，要使ck为最大值，则…（13分）即…（14分）解得k＝9或k＝8．…（15分）所以存在k＝8或9，使得cn≤ck成立．…（16分）21．（18分）已知函数，其中ω＞0．（1）若f（x1）≤f（x）≤f（x2），，求ω的值；（2）若2＜ω＜4，函数f（x）图像向右平移个单位，得到函数g（x）的图像