2023-2024学年上海市浦东新区高桥中学高一(上)月考数学试卷(一)

2023-2024学年上海市浦东新区高桥中学高一（上）月考数学试卷（一）一、填空题（每题3分，共36分）1．（3分）设全集U＝R，若集合A＝{0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，＝．2．（3分）已知集合A＝{2，4，x2﹣x}，若6∈A，则x＝．3．（3分）设集合A＝{1，9，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则实数x的取值范围是．4．（3分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＞1，x∈R}，B＝{y|﹣1＜y＜2}，则＝．5．（3分）已知集合A＝{y|y＝x2+1}，B＝{x|y＝+2}，则A∩B＝．6．（3分）已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是．7．（3分）若集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值为．8．（3分）设全集U＝R，集合A＝（﹣3，0），集合B＝（﹣∞，﹣1），则右图阴影部分表示的集合为．（用区间表示）9．（3分）已知集合A＝{x|x≥1或x＜﹣1}，B＝{x|2a＜x≤a+1}，若B⊆A，求a的取值范围．10．（3分）已知集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值范围为．11．（3分）任意两个正整数x、y，定义某种运算⊗：，则集合M＝{（x，y）|x⊗y＝6，x，y∈N*}中元素的个数是．12．（3分）已知有限集A＝{a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），如果A中元素ai（i＝1，2，…，n）满足a1+a2+…+an＝a1×a2×…×an，就称A为“完美集”．①集合是“完美集”；②若a1、a2是两个不同的正数，且{a1，a2}是“完美集”，则a1、a2至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④若，则“完美集”A有且只有一个，且n＝3；其中正确的结论是（填上你认为正确的所有结论的序号）．二、选择题（每题3分，共12分）13．（3分）政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用价值的东西看作集合A，把有价值的东西看作集合B，那么它们的关系是（）A．A⋃B＝A B．A⋃B＝B C．A⋂B＝A D．A＝B14．（3分）由实数所组成的集合，最多含（）个元素．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个15．（3分）已知集合A＝{y|y＝x2+2x﹣2}，B＝{y|y＝﹣x2+2x+6}，则A⋂B＝（）A．{2，﹣2} B．{（﹣2，﹣2），（2，6）} C．{﹣2，﹣6} D．{y|﹣3≤y≤7}16．（3分）已知集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以（﹣1）k再求和，例如A＝{2，3，8}，则可求得和为（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）8•8＝7，对S的所有非空子集，这些和的总和为（）A．508 B．512 C．1020 D．1024三、解答题（共52分）17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|x2﹣ax+9＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．18．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|2a≤x＜3﹣a}．（1）若a＝﹣2，求；（2）若A⋃B＝A，求实数a的取值范围．19．（10分）设A＝{a|a＝3n+2，n∈Z}，B＝{b|b＝3k﹣1，k∈Z}，C＝{c|c＝6m+2，m∈Z}（1）证明：C⊂B；（2）证明：A＝B．20．（10分）已知关于x的方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的解集为非空集合M，A＝{1，3，5，7，9}，B＝{1，4，7，10}，M∩A＝∅，M∩B＝M，求a、b的值．21．（12分）已知集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{1，3}，直接写出集合S、T（无需写计算过程）；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，求证：x1+x4＝x2+x3；（3）若集合A⊆{x|0≤x≤2023，x∈N}，S⋂T＝φ，记|A|为集合A中的元素个数，求|A|的最大值．

2023-2024学年上海市浦东新区高桥中学高一（上）月考数学试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共36分）1．（3分）设全集U＝R，若集合A＝{0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，＝{2}．【考点】补集及其运算．【答案】{2}．【分析】先求解，再求即可．【解答】解：，又集合A＝{0，1，2}，则＝{2}．故答案为：{2}．2．（3分）已知集合A＝{2，4，x2﹣x}，若6∈A，则x＝3或﹣2．【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【答案】见试题解答内容【分析】根据6∈A，所以6＝x2﹣x，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可．【解答】解：因为6∈A，所以6＝x2﹣x．解得x＝3或﹣2．符合题意．故x的值为3或﹣2．故答案为：3或﹣2．3．（3分）设集合A＝{1，9，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则实数x的取值范围是{3，﹣3，0}．【考点】交集及其运算．【答案】{3，﹣3，0}．【分析】根据A∩B＝B，根据集合的性质，列方程即可求得x的值、【解答】解：A∩B＝B，则B⊆A，根据集合的性质，当9＝x2，解得：x＝3或﹣3，当x＝x2时，解得x＝1或0，根据集合的互异性可知，x≠1，故x＝0，3或﹣3．故答案为：{3，﹣3，0}．4．（3分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＞1，x∈R}，B＝{y|﹣1＜y＜2}，则＝{x|x≥2}．【考点】补集及其运算．【答案】{x|x≥2}．【分析】先求得，再求解即可．【解答】解：，又A＝{x|x＞1，x∈R}，则＝{x|x≥2}．故答案为：{x|x≥2}．5．（3分）已知集合A＝{y|y＝x2+1}，B＝{x|y＝+2}，则A∩B＝[1，+∞）．【考点】交集及其运算．【答案】[1，+∞）．【分析】化简集合A，B，再进行交集运算即可．【解答】解：集合A＝{y|y＝x2+1}＝[1，+∞），B＝{x|y＝+2}＝[0，+∞），则A∩B＝[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．6．（3分）已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是5＜k≤6．【考点】元素与集合关系的判断．【答案】见试题解答内容【分析】化简集合P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}＝{3，4，5}，从而求得．【解答】解：∵集合P中恰有3个元素，∴P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}＝{3，4，5}，∴5＜k≤6，故答案为：5＜k≤6．7．（3分）若集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值为1或﹣1或0．【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】见试题解答内容【分析】由已知中集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，我们易得到集合A是集合B的子集，结合子集的定义，我们分A＝∅与A≠∅两种情况讨论，即可求出满足条件的m的值．【解答】解：∵A∪B＝A，∴B⊆A当m＝0时，B＝∅满足条件当m≠∅时，B＝{1}，或B＝{﹣1}即m＝1，或m＝﹣1故m的值为：1或﹣1或0故答案为：1或﹣1或08．（3分）设全集U＝R，集合A＝（﹣3，0），集合B＝（﹣∞，﹣1），则右图阴影部分表示的集合为[﹣1，0）．（用区间表示）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【答案】[﹣1，0）．【分析】阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），由此计算即可．【解答】解：U＝R，集合A＝（﹣3，0），集合B＝（﹣∞，﹣1），右图阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），∁UB＝[﹣1，+∞），A∩（∁UB）＝[﹣1，0）．故答案为：[﹣1，0）．9．（3分）已知集合A＝{x|x≥1或x＜﹣1}，B＝{x|2a＜x≤a+1}，若B⊆A，求a的取值范围（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【分析】当B＝∅时，2a≥a+1；当B≠∅时，或，由此能求出a的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|x≥1或x＜﹣1}，B＝{x|2a＜x≤a+1}，B⊆A，当B＝∅时，2a≥a+1，解得a≥1；当B≠∅时，或，解得a＜﹣2或．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．10．（3分）已知集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值范围为{0}∪（，+∞）．【考点】元素与集合关系的判断．【答案】{0}∪（，+∞）．【分析】利用分类讨论的思想，①当a＝0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1；②当f（x）＝x2﹣x+a没有零点，即方程x2﹣x+a＝0没有实根，故Δ＜0，进一步求出结果．【解答】解：集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为1，则：①当a＝0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1；②当f（x）＝x2﹣x+a没有零点，即方程x2﹣x+a＝0没有实根，满足题意，故有Δ＝1﹣4a＜0，解得：a；综合①②得：．故答案为：{0}∪（，+∞）．11．（3分）任意两个正整数x、y，定义某种运算⊗：，则集合M＝{（x，y）|x⊗y＝6，x，y∈N*}中元素的个数是9．【考点】集合中元素个数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】根据新定义，对x，y的奇偶性分三种情况讨论，分别求出符合题意的点即可．【解答】解：①当x与y都为奇数时，有1+5＝6，3+3＝6，据此可得出（1，5），（5，1），（3，3），3个点符合题意，②当x与y都为偶数时，有2+4＝6，据此可得出（2，4），（4，2），2个点符合题意，③当x与y一奇一偶时，1×6＝6，2×3＝6，据此可得出（1，6），（6，1），（2，3），（3，2），4个点符合题意，所以共有9个点符合题意，故答案为：9．12．（3分）已知有限集A＝{a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），如果A中元素ai（i＝1，2，…，n）满足a1+a2+…+an＝a1×a2×…×an，就称A为“完美集”．①集合是“完美集”；②若a1、a2是两个不同的正数，且{a1，a2}是“完美集”，则a1、a2至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④若，则“完美集”A有且只有一个，且n＝3；其中正确的结论是②③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用信息的应用进一步对①②③④进行推理，验证最后确定结果．【解答】解：对于有限集A＝{a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），如果A中元素ai（i＝1，2，…，n）满足a1+a2+…+an＝a1×a2×…×an，就称A为“完美集”．故对于①集合是“完美集”；由于≠，故错误．对于②若a1、a2是两个不同的正数，且{a1，a2}是“完美集”，则设a1+a2＝a1•a2＝t，根据根和系数的关系a1和a2相当于x2﹣tx+t＝0的两根，所以Δ＝t2﹣4t＞0，解得t＞4或t＜0，由于t为整数，所以a1、a2至少有一个大于2；故正确．③二元“完美集”有无穷多个；根据②一元二次方程根和系数的关系a1和a2相当于x2﹣tx+t＝0的两根，所以Δ＝t2﹣4t＞0，解得t＞4或t＜0，由于t为整数，所以有无穷多个，故正确．④若，则“完美集”A有且只有一个，且n＝3；设a1＜a2＜a3＜…＜an，则满足a1+a2+…+an＝a1×a2×…×an，故a1a2a3…an＜nan，整理得a1a2a3…an﹣1＜n，当n＝3时，a1a2＜3，由于，所以a1＝1，a2＝2，由于a1+a2+a3＝a1a2a3，解得：a3＝3．所以此时的完美集只有一个{1，2，3}，故正确．故答案为：②③④．二、选择题（每题3分，共12分）13．（3分）政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用价值的东西看作集合A，把有价值的东西看作集合B，那么它们的关系是（）A．A⋃B＝A B．A⋃B＝B C．A⋂B＝A D．A＝B【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】A【分析】推导出B⊆A，A∪B＝A，A∩B＝B．【解答】解：政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，把有使用价值的东西看作集合A，把有价值的东西看作集合B，则B⊆A，A∪B＝A，A∩B＝B．故选：A．14．（3分）由实数所组成的集合，最多含（）个元素．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【答案】A【分析】根据绝对值的定义和开平方、立方的方法，应对对x分x＞0，x＝0，x＜0三种情况分类讨论，根据讨论结果可得答案．【解答】解：当x＞0时，x＝|x|＝，＝﹣x＜0，此时集合共有2个元素，当x＝0时，x＝|x|＝＝＝﹣x＝0，此时集合共有1个元素，当x＜0时，＝|x|＝﹣x，＝﹣x，此时集合共有2个元素，综上的，此集合最多有2个元素，故选：A．15．（3分）已知集合A＝{y|y＝x2+2x﹣2}，B＝{y|y＝﹣x2+2x+6}，则A⋂B＝（）A．{2，﹣2} B．{（﹣2，﹣2），（2，6）} C．{﹣2，﹣6} D．{y|﹣3≤y≤7}【考点】二次函数的性质与图象；交集及其运算．【答案】D【分析】由已知结合二次函数的性质先确定A，B，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：因为A＝{y|y＝x2+2x﹣2}＝{y|y≥﹣3}，B＝{y|y＝﹣x2+2x+6}＝{y|y≤7}，则A∩B＝{y|﹣3≤y≤7}．故选：D．16．（3分）已知集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以（﹣1）k再求和，例如A＝{2，3，8}，则可求得和为（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）8•8＝7，对S的所有非空子集，这些和的总和为（）A．508 B．512 C．1020 D．1024【考点】子集与真子集．【答案】B【分析】根据集合S，求出它的非空子集A的个数，在所有子集中，求出各个元素出现的次数，即可解答．【解答】解：S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，它的非空子集A共有255个，其中1，2，3，4，5，6，7，8都出现了27次依题意得：27[（﹣1）1•1+（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）4•4+（﹣1）5•5+（﹣1）6•6+（﹣1）7•7+（﹣1）8•8]＝512．故选：B．三、解答题（共52分）17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|x2﹣ax+9＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题．【答案】见试题解答内容【分析】由A∪B＝A，可得B⫋A，或B＝A．分类讨论即可．【解答】解：由x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，∴A＝{1，3}．∵A∪B＝A，∴B⫋A，或B＝A．①若B＝A，则必有，无解，应舍去；②若B⫋A，则B可能为∅，{1}，{3}．当B＝∅时，Δ＝a2﹣36＜0，解得﹣6＜a＜6；当B＝{1}或{3}时，要求Δ＝a2﹣36＝0，即a＝±6，且1或3必是方程x2﹣ax+9＝0，的重根．只有a＝6时，B＝{3}适合，而a＝﹣6时不适合，应舍去．综上可知：实数a的取值范围是（﹣6，6]．故答案为（﹣6，6]．18．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|2a≤x＜3﹣a}．（1）若a＝﹣2，求；（2）若A⋃B＝A，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】（1）B∩A＝{x|1≤x＜4}，B∩＝{x|﹣4≤x＜1或4≤x＜5}；（2）{a|}．【分析】（1）利用已知条件求出A的补集，然后根据集合运算求解即可．（2）由A∪B＝A可得B⊆A，分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解即可．【解答】解：（1）由A＝{x|1≤x＜4}，可得＝{x|x＜1或x≥4}，当a＝﹣2时，B＝{x|﹣4≤x＜5}，所以B∩A＝{x|1≤x＜4}，B∩＝{x|﹣4≤x＜1或4≤x＜5}；（2）由A∪B＝A，可得B⊆A，分以下两种情形：①B＝∅时，则有2a≥3﹣a，所以a≥1满足题意，②B≠∅时，由B⊆A，可得，解得，综上所述，所求a的取值范围为{a|}．19．（10分）设A＝{a|a＝3n+2，n∈Z}，B＝{b|b＝3k﹣1，k∈Z}，C＝{c|c＝6m+2，m∈Z}（1）证明：C⊂B；（2）证明：A＝B．【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答．【分析】（1）根据集合中元素的性质，利用真子集的定义证明；（2）由集合A，B都表示被3除余2的整数构成的集合能证明集合相等．【解答】证明：（1）令k＝s+1，s∈Z，则B＝{b|b＝3k﹣1，k∈Z}＝{b|b＝3s+2，s∈Z}，∴B为被3整除余2的整数构成的集合，C＝{c|c＝6m+2，m∈Z}＝{c|c＝3（2m）+2，2m∈Z}，即C中元素都可以表示为3s+2，s∈Z的形式，其中s＝2m，∴C中任意元素都属于B，又B中存在不属于C的元素，例：5∈B，但5∉C，∴C⊂B；（2）由（1）知B＝{b|b＝3k﹣1，k∈Z}＝{b|b＝3s﹣2，s∈Z}，A＝{a|3n+2，n∈Z}，∴A＝B．20．（10分）已知关于x的方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的解集为非空集合M，A＝{1，3，5，7，9}，B＝{1，4，7，10}，M∩A＝∅，M∩B＝M，求a、b的值．【考点】交集及其运算．【答案】当M＝{4}时，a＝﹣8，b＝16；当M＝{10}时，a＝﹣20，b＝100；当M＝{4，10}时，a＝﹣14，b＝40．【分析】利用交集定义推导出M的可能取值为{4}，{10}，{4，10}，由此列出方程组，能求出a、b的值．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的解集为非空集合M，A＝{1，3，5，7，9}，B＝{1，4，7，10}，M∩A＝∅，M∩B＝M，∴M的可能取值为{4}，{10}，{4，10}，当M＝{4}时，，解得a＝﹣8，b＝16；当M＝{10}时，，解得a＝﹣20，b＝100；当M＝{4，10}时，，解得a＝﹣14，b＝40．21．（12分）已知集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{1，3}，直接写出集合S、T（无需写计算过程）；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，求证：x1+x4＝x2+x3；（3）若集合A⊆{x|0≤x≤2023，x∈N}，S⋂T＝φ，记|A|为集合A中的元素个数，求|A|的最大值．【考点】元素与集合关