2023-2024学年上海市杨浦区同济大学一附中高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年上海市杨浦区同济大学一附中高三（上）期中数学试卷一、填空题（1-6题每小题4分，7-12每小题4分，满分54分）1．关于x的不等式的解集是．2．已知函数f（x）＝tan2x，则函数f（x）的最小正周期是．3．二项式的展开式中，常数项为．4．双曲线两条渐近线的夹角大小是．5．已知角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点．则cos2α＝．6．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平行平面A1BD与CD1B1间的距离为．7．设，是两个单位向量，向量，且，则＝．8．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x+y＝．9．若|z1﹣z2|＝1，则称z1与z2互为“邻位复数”．已知复数z1＝a+i与z2＝1+bi（a，b∈R）互为“邻位复数”，则a2+b2的最大值＝．10．若函数f（x）＝+x﹣5无极值点，则实数a的取值范围是．11．在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，则cos∠ACB＝．12．已知函数f（x）＝，若对任意的x1∈[2，+∞），都存在唯一的x2∈（﹣∞，2），满足f（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围是．二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分）13．已知a＞b＞c＞d，下列选项中正确的是（）A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ad＞bc D．ac＜bd14．下列问题中是古典概型的是（）A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率 C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率 D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率15．从圆C1：x2+y2＝4上的一点向圆C2：x2+y2＝1引两条切线，连接两切点间的线段称为切点弦，则圆C2内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A． B． C． D．16．数列{an}中，a1＝1，an+1＝，使an≤2021对任意的n≤k（k∈N*）恒成立的最大k值为（）A．1209 B．1211 C．1213 D．1215三、解答题（满分78分）17．如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'内接于高为的圆柱中，已知∠ACB＝90°，，BC＝AC＝1，O为AB的中点．（1）求圆柱的表面积；（2）求二面角A'﹣BC﹣A的大小．18．已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足b1＝80，bn＝64bn+1．（1）证明{an}是等差数列；（2）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有an＝logabn+b成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．19．2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB＝θ（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ＝45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过A（1，0），B（0，b）两点．O为坐标原点，且△AOB的面积为，过点P（0，1）且斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N．且直线AM，AN分别与y轴交于点S，T．（1）求椭圆C的方程；（2）若以MN为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程；（3）设，，求λ+μ的取值范围．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，g（x）＝（a+1）x2﹣1，（a∈R）．（1）当a＝2时