2023-2024学年上海市长宁区延安中学高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年上海市长宁区延安中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）1．（3分）（a+b）（m+n）（x+y+z）展开式共有项．2．（3分）函数f（x）＝lnx的图象在点（e，f（e））处的切线方程是．3．（3分）5个学生排成一排照相，甲、乙相邻的排法共有种．4．（3分）若，则正整数n＝．5．（3分）6件产品中有4件正品，2件次品，现一次取三件产品，至少有2件正品的概率为．6．（3分）学校的高三年级共有500名学生，一次考试后数学成绩与ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，σ2），已知P（90≤ξ≤110）＝0.68，估计高三年级学生数学成绩在110分以上的人数为．7．（3分）若x9＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9，则a1+a2+…+a9＝．8．（3分）已知x1，x2，x3，x4的平均数为5，方差为15．现加入新数据4、6，此时这六个数的方差为．9．（3分）830除以49的余数是．10．（3分）连续抛掷一颗均匀的正六面体骰子三次，在第一次抛出6点的条件下，三次的点数和不小于10的概率为．11．（3分）高三年级毕业活动中，要求A，B，C三个班级各出三人，组成3×3小方阵，A班的三位同学既不在同一行，也不在同一列的排法有种．12．（3分）已知函数f（x）＝，若存在x1≤0，x2＞0，使得f（x1）＝f（x2），则x1f（x2）的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．13．（3分）“a＝0”是“函数f（x）＝x3﹣ax是增函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．（3分）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r315．（3分）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行n次后小虫所在位置对应的数为随机变量ξn，则下列说法错误的是（）A．E（ξn）＝0 B．D（ξn）＝n C．P（ξ100＝0）＜P（ξ100＝2） D．P（ξ102＝0）＜P（ξ100＝0）16．（3分）已知函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点M，函数y＝﹣x2+a的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是（）A．[0，1+] B．[0，e2﹣3] C．[1+，e2﹣3] D．[1+，+∞）三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤．17．（8分）从0，1，2，3，4，5中选三个数字，组成无重复数字的三位整数，求分别满足下列的数有多少个？（1）三位奇数；（2）比351大的三位数．18．（9分）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64．（1）求二项展开式的中间项；（2）求展开式中的常数项．19．（9分）治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈．（1）补全2×2列联表（单位：人），并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好；药物疗效合计治愈未治愈创新药传统药合计（2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用X表示回访中治愈者的人数，求X的分布列及均值．附：，α0.10.050.01xα2.7063.8416.63520．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对一切0＜x1＜x2都成立，求实数a的取值范围．21．（14分）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复．（1）求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率；（2）记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X，求X的分布、期望与方差；（3）求丙在3月份第n（n＝1，2，…，31）天选择“共享单车”的概率Pn，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数．

2023-2024学年上海市长宁区延安中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）1．（3分）（a+b）（m+n）（x+y+z）展开式共有12项．【考点】二项式定理．【答案】12．【分析】由题意知，需分析每个括号中的取法数目，利用步乘法计数原理可得结果．【解答】解：（a+b）（m+n）（x+y+z）展开后的每一项是在（a+b）、（m+n）、（x+y+z）这3个式子中任取一项后的乘积，而在（a+b）中任取一项有2种取法，在（m+n）中任取一项有2种取法，在（x+y+z）中任取一项有3种取法，由分步乘法计数原理可得共有2×2×3＝12项．故答案为：12．2．（3分）函数f（x）＝lnx的图象在点（e，f（e））处的切线方程是x﹣ey＝0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数的导数．【答案】见试题解答内容【分析】因为曲线f（x）＝lnx在点（e，f（e））处的切线的斜率为f′（e），又f（e）＝1，所以函数f（x）＝lnx的图象在点（e，1）处切线方程可以用点斜式求得．【解答】解：∵f′（x）＝，∴曲线f（x）＝lnx在点（e，f（e））处的切线的斜率为f′（e）＝，又f（e）＝1，所以y﹣1＝（x﹣e），整理得x﹣ey＝0．故答案为：x﹣ey＝03．（3分）5个学生排成一排照相，甲、乙相邻的排法共有48种．【考点】排列组合的综合应用．【答案】48．【分析】由甲、乙两人相邻，故可先对甲、乙进行捆绑后，再进行计算．【解答】解：因为甲、乙两人相邻，所以先将甲、乙两人进行捆绑，方法共有种，再将甲、乙两人看成整体进行排序共有种排法，所以共有＝48种，故答案为：48．4．（3分）若，则正整数n＝5．【考点】排列及排列数公式．【答案】5．【分析】根据已知条件，结合排列数公式，即可求解．【解答】解：，则2n（2n﹣1）（2n﹣2）＝36n（n﹣1），n≥2，解得n＝5．故答案为：5．5．（3分）6件产品中有4件正品，2件次品，现一次取三件产品，至少有2件正品的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】．【分析】根据古典概型的概率公式，即可求得答案．【解答】解：由题意6件产品中有4件正品，2件次品，一次取三件产品，共有（种）取法，其中至少有2件正品的取法有（种），故至少有2件正品的概率为．故答案为：．6．（3分）学校的高三年级共有500名学生，一次考试后数学成绩与ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，σ2），已知P（90≤ξ≤110）＝0.68，估计高三年级学生数学成绩在110分以上的人数为80．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】80．【分析】根据正态分布的性质结合条件即得．【解答】解：因为该次考试的成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，σ2），且P（90≤ξ≤110）＝0.68，所以P（100≤ξ≤110）＝0.34，所以P（ξ＞110）＝0.5﹣0.34＝0.16，因此该年级数学成绩在110分以上的人数约为500×0.16＝80．故答案为：80．7．（3分）若x9＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9，则a1+a2+…+a9＝511．【考点】二项式定理．【答案】511．【分析】分别赋值x＝2与1，即可求得答案．【解答】解：∵x9＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9，∴当x＝2时，a0+a1+a2+…+a9＝29；又当x＝1时，a0＝1，∴a1+a2+…+a9＝29﹣1＝511．故答案为：511．8．（3分）已知x1，x2，x3，x4的平均数为5，方差为15．现加入新数据4、6，此时这六个数的方差为．【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】．【分析】根据题意，由数据的平均数、方差公式变形分析可得x1+x2+x3+x4＝20和+++＝160，加入数据后，结合平均数、方差计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，x1，x2，x3，x4的平均数为5，则有（x1+x2+x3+x4）＝5，变形可得x1+x2+x3+x4＝20，又由其方差为15，则有（+++）﹣52＝15，变形可得+++＝160，加入新数据4、6后，其平均数＝（x1+x2+x3+x4+4+6）＝5，新数据的方差S2＝（++++16+36）﹣52＝（160+16+36）﹣25＝，即所得新数据的方差为．故答案为：．9．（3分）830除以49的余数是15．【考点】整除的概念和性质．【答案】15．【分析】利用二项式展开式化简，根据整除的概念可得余数．【解答】解：830＝（7+1）30＝730+729+...+72+71+70，∵730+729+...+72能被49整除，71+70＝211＝49×4+15，∴830除以49的余数是15．故答案为：15．10．（3分）连续抛掷一颗均匀的正六面体骰子三次，在第一次抛出6点的条件下，三次的点数和不小于10的概率为．【考点】条件概率．【答案】．【分析】根据已知条件，结合对立事件概率和为1，即可求解．【解答】解：在第一次抛出6点的条件下，三次的点数和不小于10，即后两次的点数和小于4，故所求概率为：1﹣．故答案为：．11．（3分）高三年级毕业活动中，要求A，B，C三个班级各出三人，组成3×3小方阵，A班的三位同学既不在同一行，也不在同一列的排法有36种．【考点】排列组合的综合应用．【答案】36．【分析】A，B，C三个班级各出三人，组成3×3小方阵，来自A班级的同学既不在同一行，也不在同一列的排法可得答案．【解答】解：根据题意，A，B，C三个班级各出三人，组成3×3小方阵，来自A班的同学既不在同一行，也不在同一列，排法有＝36．故答案为：36．12．（3分）已知函数f（x）＝，若存在x1≤0，x2＞0，使得f（x1）＝f（x2），则x1f（x2）的取值范围是[﹣4e2，0]．【考点】分段函数的应用．【答案】[﹣4e2，0]．【分析】由f（x1）＝f（x2），得到，再研究函数f（x）的单调性，得到e≤，将x1f（x2）表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可．【解答】解：因为f（x1）＝f（x2），所以，所以，因为x1≤0，，当x＞0时，，则，令f′（x）＝0，解得x＝1，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故函数f（x）在x＝1处取得最小值e，所以e≤，所以x1f（x2）＝，令t＝，则e≤t≤4e，所以y＝t2﹣4et＝（t﹣2e）2﹣4e2，故当t＝2e时，y取得最小值﹣4e2，当t＝4e时，y取得最大值0，所以x1f（x2）的取值范围是[﹣4e2，0]．故答案为：[﹣4e2，0]．二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．13．（3分）“a＝0”是“函数f（x）＝x3﹣ax是增函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】利用导数研究函数的单调性；充分条件与必要条件．【答案】A【分析】利用导数，求出f（x）＝x3﹣ax是增函数的a的取值范围，再用充分性和必要性知识来进行判别即可．【解答】解：f（x）＝x3﹣ax是增函数，求导，即f′（x）＝3x2﹣a≥0恒成立，参变分离即a≤3x2恒成立，则a≤0．则“a＝0”是“函数f（x）＝x3﹣ax是增函数”的充分不必要条件．故选：A．14．（3分）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3【考点】样本相关系数．【答案】A【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．【解答】解：由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于﹣1，由此可得r2＜r4＜r3＜r1．故选：A．15．（3分）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行n次后小虫所在位置对应的数为随机变量ξn，则下列说法错误的是（）A．E（ξn）＝0 B．D（ξn）＝n C．P（ξ100＝0）＜P（ξ100＝2） D．P（ξ102＝0）＜P（ξ100＝0）【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】C【分析】由题意可知ξn∈[﹣n，n]，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可．【解答】解：由题意可知，爬行n次后小虫所在位置对应的数为随机变量ξn∈[﹣n，n]，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，所以设爬行n后小虫一共向前爬行r次，则向后爬行n﹣r，所以ξn＝r﹣[﹣（n﹣r）]＝2r﹣n，所以，对于AB，ξn的分布列为：ξn﹣n2﹣n4﹣n…2k﹣n…nP……，所以A正确；因为（2k﹣n）2＝4k2﹣4kn+n2＝4kn﹣4kn+n2＝4kn（）+n2＝﹣4kn+＝﹣4n（n﹣1）+，所以＝＝，所以B正确；对于C，因为，，所以，所以P（ξ100＝0）＞P（ξ100＝2），所以C错误；对于D，因为，，所以，所以P（ξ102＝0）＜P（ξ100＝0），所以D正确．故选：C．16．（3分）已知函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点M，函数y＝﹣x2+a的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是（）A．[0，1+] B．[0，e2﹣3] C．[1+，e2﹣3] D．[1+，+∞）【考点】函数与方程的综合运用．【答案】B【分析】求出函数y＝﹣x2+a关于原点对称的函数y＝x2﹣a，已知函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点M，函数y＝﹣x2+a的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，等价为y＝1+2lnx（x∈[，e]）与y＝x2+a，有交点，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和最值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：函数y＝﹣x2+a的图象与函数y＝x2﹣a关于原点对称，则原题等价于函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）与函数y＝x2﹣a的图象有交点，即方程1+2lnx＝x2﹣a（x∈[，e]）有解，即a＝x2﹣1﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2﹣1﹣2lnx（x∈[，e]）f′（x）＝2x﹣＝，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．f（x）min＝f（1）＝0，f（）＝＝1+，f（e）＝e2﹣3，所以实数a的取值范围是[0，e2﹣3]，故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤．17．（8分）从0，1，2，3，4，5中选三个数字，组成无重复数字的三位整数，求分别满足下列的数有多少个？（1）三位奇数；（2）比351大的三位数．【考点】排列组合的综合应用．【答案】（1）48．（2）26．【分析】（1）根据题意，分3步依次分析个位、百位、十位数学的情况，由分步计数原理计算可得答案；（2）组成三位数，按百位数字的可能情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分3步分析：个位必须为1或3或5，有3种情况，百位数字不能为0，有4种情况，十位有4种情况，则有3×4×4＝48个三位奇数；（2）组成三位数，百位数字为4或5时，有2×＝24种情况，百位数字为3时，十位只能是5，个位有2种情况，则一共有24+2＝26个无重复数字且大于351的数．18．（9分）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64．（1）求二项展开式的中间项；（2）求展开式中的常数项．【考点】二项展开式的通项与项的系数．【答案】（1）T4＝﹣20x3；（2）24．【分析】（1）由二项式系数的性质可求得n＝6，进而可求得二项展开式的中间项；（2）利用的二项展开式中的通项公式求得常数项及含x﹣3项，进而可求得（2+x3）的二项展开式的常数项．【解答】解：（1）∵2n＝64，∴n＝6，∴的二项展开式中共7项，中间项为第四项，T4＝x6•＝﹣x3＝﹣20x3；（2）∵的二项展开式中的通项Tr+1＝（﹣1）rx12﹣3r（r＝0，1，2，…，6），令12﹣3r＝0，得r＝4；令12﹣3r＝﹣3，得r＝5；∴（2+x3）的二项展开式的常数项为2×（﹣1）4+1×（﹣1）5＝30﹣6＝24．19．（9分）治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈．（1）补全2×2列联表（单位：人），并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好；药物疗效合计治愈未治愈创新药传统药合计（2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用X表示回访中治愈者的人数，求X的分布列及均值．附：，α0.10.050.01xα2.7063.8416.635【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；独立性检验．【答案】（1）列联表见解析，创新药的疗效没有比传统药的疗效好；（2）分布列见解析，．【分析】（1）根据已知条件补充2×2列联表；利用公式计算出χ2的值，即可作出判断；（2）按疗效比例分层随机抽取10名，则有7名治愈者和3名未治愈者，故X＝5，6，7，且服从超几何分布，利用超几何概率计算公式进而可求出分布列与期望．【解答】解：（1）根据已知数据补全2×2列联表如下所示：药物疗效合计治愈未治愈创新药401050传统药280120400合计320130450零假设H0：创新药的疗效比传统药的疗效好，则，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们没有充分的证据说明创新药的疗效比传统药的疗效好，所以我们认为创新药的疗效没有比传统药的疗效好；（2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，相当于每40名患者抽取1名，所以治愈者中抽7名和未治愈者中抽3名，现在这10人中随机抽取8人进行回访，所以X的可能取值有5，6，7，则，故X分布列为：X567P则．20．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对一切0＜x1＜x2都成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）；（2）[0，8]．【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与极值的关系，即可求得答案；（2）将化为f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2，由此令m（x）＝f（x）+2x，则m（x）＝ax2﹣ax+lnx，则原问题转化为m（x）在（0，+∞）上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣3x+lnx，定义域为（0，+∞），则，令f′（x）＞0，则或x＞1；令f′（x）＜0，则；则f（x）在，（1，+∞）上单调递增，在上单调递减，故函数f（x）的极大值为．（2）因为对一切0＜x1＜x2都成立，所以f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2对一切0＜x1＜x2都成立，令m（x）＝f（x）+2x，则m（x）＝ax2﹣ax+lnx，定义域为（0，+∞），则原问题转化为m（x）在（0，+∞）上单调递增；又，当a＝0时，，m（x）在（0，+∞）上单调递增；当a≠0时，需m′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，对于y＝2ax2﹣ax