2023-2024学年上海外国语大学附属外国语学校东校高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年上海外国语大学附属外国语学校东校高一（下）期中数学试卷一、填空题（3′*12）1．（3分）函数f（x）＝tan（2x−π6）的最小正周期是2．（3分）若2，x，22成等比数列，则x＝3．（3分）已知数列{an}中，a1＝3，an+1−2=12(a4．（3分）等差数列{an}中，a1＝1，S10＝100，若an＝log2bn，则b1+b2+b3+b4+b5＝．5．（3分）已知等比数列{an}的前n项和Sn=2×3n+k，则6．（3分）方程log9x＝sin2x的实数解的个数为个．7．（3分）若将函数y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为8．（3分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝时，{an}的前n项和最大．9．（3分）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…、Pn…，记纸板Pn的面积为Sn，则limn→∞10．（3分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+12(ω＞0)在区间11．（3分）数列{an}满足a1＝2，an+1=2(n+2)n+112．（3分）将正整数n分解成两个正整数k1、k2的积，即n＝k1•k2，当k1、k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如20＝1×20＝2×10＝4×5，其中4×5即为20的最优分解，当k1，k2是n的最优分解时，定义f（n）＝|k1﹣k2|，则数列{f（5n）}的前2023项和为．二、选择题（3′*4）13．（3分）若数列{an}的通项公式为anA．以2为首项，以3为公比的等比数列 B．以2为首项，以13为公比的等比数列C．以23为首项，以3为公比的等比数列D．以23为首项，以114．（3分）下面关于等差、等比数列的说法正确的是（）A．前n项和Sn=n2+2n+4B．证明数列{an}是等比数列时，只需证明an＝an﹣1q（n∈N，n≥2） C．若{an}是等差数列，则an﹣3，an﹣5，an﹣7（n∈N，n≥8）也一定成等差数列 D．a+15．（3分）已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为1，公比q＞0且q≠1，若集合{k|ak＝bk}，则集合元素最多有（）个．A．2 B．3 C．4 D．516．（3分）设数列{an}为：1，12，12，14，14，14，14，18，18，18，18，18，18，18，18，…，其中第1项为11，接下来2项均为12，再接下来4项均为A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题三、解答题（8′+8′+10′+12′+14′）17．（8分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）计算k=12018．（8分）已知函数f(x)=2sin(1（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[﹣π，π]，求f（x）的值域．19．（10分）已知函数f(x)=3cos（1）当f（x）的最小正周期为2π时，求ω的值；（2）当ω＝1时，设△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知f(A2)=3，且a=220．（12分）设Sn是数列{an}的前n项和，且an是Sn和2的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bk＝ak•（ak+ak+1+…+an）（1≤k≤n）；①求数列{bk}（1≤k≤n）的前n项和Tn；②设M(n)=2T1+22T2+⋯+2nTn(n∈N∗21．（14分）对于无穷数列{an}的某一项ak，若存在m∈N*，有ak＜ak+m（k∈N*）成立，则称ak具有性质P（m）．（1）设an＝|n﹣3|（n∈N*），若对任意的k∈N*，ak都具有性质P（m），求m的最小值；（2）设等差数列{an}的首项a1＝﹣2，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），若对任意的k∈N*，数列{Sn}中的项Sk都具有性质P（7），求实数d的取值范围；（3）设数列{an}的首项a1＝2，当n≥2（n∈N*）时，存在i（1≤i≤n﹣1，i∈N*）满足an＝2ai，且此数列中恰有一项at（2≤t≤99，t∈N*）不具有性质P（1），求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t的值．

2023-2024学年上海外国语大学附属外国语学校东校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（3′*12）1．（3分）函数f（x）＝tan（2x−π6）的最小正周期是π【考点】三角函数的周期性．【答案】见试题解答内容【分析】根据给定函数，利用正切型函数的周期公式计算作答．【解答】解：函数f(x)=tan(2x−π6)故答案为：π22．（3分）若2，x，22成等比数列，则x＝【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质．【答案】见试题解答内容【分析】直接由等比中项概念可得x2=2.22【解答】解：由等比中项定义可得：x2=2.22解得x＝±2，经验证符合题意．故答案为：±2．3．（3分）已知数列{an}中，a1＝3，an+1−2=12(an−2)，则通项公式an【考点】数列递推式．【答案】（12）n﹣1【分析】推导出{an﹣2}是首项为a1﹣2＝1，公比为q=12的等比数列，由此能求出通项公式a【解答】解：∵数列{an}中，a1＝3，an+1∴{an﹣2}是首项为a1﹣2＝1，公比为q=1∴an∴通项公式an＝（12）n﹣1故答案为：（12）n﹣14．（3分）等差数列{an}中，a1＝1，S10＝100，若an＝log2bn，则b1+b2+b3+b4+b5＝682．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的前n项和．【答案】682．【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，求出d的值，可得数列{an}的通项公式，进而可得数列{bn}的通项公式，由等比数列前n项和公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，若a1＝1，S10＝100，则有S10＝10a1+10×92d＝100，解可得故an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1，又由an＝log2bn＝2n﹣1，则bn＝22n﹣1，易得数列{bn}是首项b1＝2，公比为4的等比数列，故b1+b2+b3+b4+b5=b故答案为：682．5．（3分）已知等比数列{an}的前n项和Sn=2×3n+k，则【考点】等比数列的前n项和．【答案】160．【分析】根据题意，求出数列{an}的前3项，分析可得k的值，即可得Sn＝2×3n﹣2，令n＝4，计算可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{an}的前n项和Sn当n＝1时，a1＝S1＝6+k，有a2＝S2﹣S1＝12，a3＝S3﹣S2＝36，则有（6+k）×36＝122，解可得k＝﹣2，故Sn＝2×3n﹣2，故S4＝2×34﹣2＝162﹣2＝160．故答案为：160．6．（3分）方程log9x＝sin2x的实数解的个数为5个．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】5．【分析】将问题转化为函数y＝log9x与y＝sin2x图象交点个数，作出两函数的图象，即可得答案．【解答】解：方程log9x＝sin2x的实数解的个数，即为函数y＝log9x与y＝sin2x图象交点个数，作出两函数的图象，如图所示：由此可得两函数共有5个交点，所以方程log9x＝sin2x的实数解的个数为5．故答案为：5．7．（3分）若将函数y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为y＝sin（2x+π【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】见试题解答内容【分析】利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向左平移π6个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y＝sin[2（x+π6）]＝sin（2故答案为：y＝sin（2x+π8．（3分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{an}的前n项和最大．【考点】等差数列的性质．【答案】见试题解答内容【分析】可得等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9＝3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10＝a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{an}的前8项和最大，故答案为：8．9．（3分）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…、Pn…，记纸板Pn的面积为Sn，则limn→∞Sn【考点】演绎推理；归纳推理．【答案】见试题解答内容【分析】由已知每次剪掉的半圆形面积构成一个等比数列，根据已知不难求出该数列的首项和公比，代入等比数列前n项和公式，易得剪去的所有半圆的面积和，从而得到最后纸板Pn的面积．【解答】解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以π8为首项，以1则limn→∞a1+a2+…+an故：lim故答案为：π10．（3分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+12(ω＞0)在区间(0，π【考点】正弦函数的图象．【答案】（103【分析】由题意利用正弦函数的图象特征，可得关于ω的不等式，即可求得实数ω的取值范围．【解答】解：函数f(x)=sin(ωx+π6)+即sin（ωx+π6）=−1在区间(0，π2)上，ωx+π6∈∴ωπ2+π6∈（11π6，2π即ω的取值范围是（103故答案为：（10311．（3分）数列{an}满足a1＝2，an+1=2(n+2)n+1an【考点】数列递推式；数列的求和．【答案】10091008【分析】结合已知递推关系及等比数列的通项公式先求出an，然后结合错位相减求和可求出前n项和Sn，即可求解．【解答】解：∵数列{an}满足a1＝2，an+1∴an+1∴ann+1=设其前n项和为Sn，则S∴2S∴−S∴Sn则a2017故答案为：1009100812．（3分）将正整数n分解成两个正整数k1、k2的积，即n＝k1•k2，当k1、k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如20＝1×20＝2×10＝4×5，其中4×5即为20的最优分解，当k1，k2是n的最优分解时，定义f（n）＝|k1﹣k2|，则数列{f（5n）}的前2023项和为51012﹣1．【考点】数列的求和．【答案】51012﹣1．【分析】讨论n为奇数或偶数时，f（5n）的表达式，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：当n＝2k（k∈N*）时，52k＝5k×5k，则f（52k）＝|5k﹣5k|＝0，当n＝2k﹣1（k∈N*）时，52k﹣1＝5k﹣1×5k，则f（52k﹣1）＝|5k﹣5k﹣1|＝5k﹣5k﹣1，故数列{f（5n）}的前2023项和为（5﹣1）+0+（52﹣5）+0+（53﹣52）+⋯+（51011﹣51010）+0+（51012﹣51011）＝51012﹣1．故答案为：51012﹣1．二、选择题（3′*4）13．（3分）若数列{an}的通项公式为anA．以2为首项，以3为公比的等比数列 B．以2为首项，以13为公比的等比数列C．以23为首项，以3为公比的等比数列D．以23为首项，以1【考点】等比数列的性质．【答案】D【分析】根据题意，由等比数列的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，数列{an}的通项公式为an有a1＝2×3﹣1=2当n≥2时，an故数列{an}是以23为首项，以1故选：D．14．（3分）下面关于等差、等比数列的说法正确的是（）A．前n项和Sn=n2+2n+4B．证明数列{an}是等比数列时，只需证明an＝an﹣1q（n∈N，n≥2） C．若{an}是等差数列，则an﹣3，an﹣5，an﹣7（n∈N，n≥8）也一定成等差数列 D．a+【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【答案】C【分析】根据题意，由等差数列的定义分析A，由等比数列的定义分析B，由等差数列的性质分析C，举出反例可得D错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，数列{an}的前n项和Sn则有a1＝7，a2＝S2﹣S1＝5，a3＝S3﹣S2＝7，数列{an}不是等差数列，A错误；对于B，证明数列{an}是等比数列时，还需要考虑an是否为0，B错误；对于C，由等差数列的性质，若{an}是等差数列，则an﹣3，an﹣5，an﹣7（n∈N，n≥8）也一定成等差数列，C正确；对于D，当a＝1时，该等式不成立，D错误．故选：C．15．（3分）已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为1，公比q＞0且q≠1，若集合{k|ak＝bk}，则集合元素最多有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等差数列与等比数列的综合．【答案】A【分析】由等差数列的图象为直线上的一些点，而数列{bn}的图象是指数函数图象上的一些点，它们最多有两个交点，可得结论．【解答】解：等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为1，公比q＞0且q≠1，可得an＝1+d（n﹣1），bn＝qn﹣1，由数列{an}的图象为直线上的一些点，而数列{bn}的图象是指数函数图象上的一些点，它们最多有两个交点，即集合元素最多有2个．故选：A．16．（3分）设数列{an}为：1，12，12，14，14，14，14，18，18，18，18，18，18，18，18，…，其中第1项为11，接下来2项均为12，再接下来4项均为A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【考点】归纳推理．【答案】D【分析】通过判定命题①的否定，进一步说明命题①的真假，对于命题②通过验证前8项，进一步说明第9项以后的数列都符合递减数列．【解答】解：对于数列{an}为：1，12，12，14，14，14，14，18，18，18，1首先判断命题：①存在正整数k，使得ak命题①的否定为：对∀正整数k，都有ak≥1k恒成立，通过验证k＝1，2，3，4，5，6，7，为真命题，当k≥8时，对于②数列{Snn}满足a11=1，a1+a22=34故选：D．三、解答题（8′+8′+10′+12′+14′）17．（8分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）计算k=120【考点】等差数列与等比数列的综合．【答案】（1）an＝27﹣2n；（2）﹣640．【分析】（1）设出公差，利用题干条件列出方程，求出公差，进而写成通项公式；（2）在（1）的基础上，得到a3（n+1）﹣2﹣a3n﹣2＝﹣6，即数列{a3n+1}（n正整数）为等差数列，利用等差数列求和公式进行求解．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则a11＝a1+10d，a13＝a1+12d．因为a1，a11，a13成等比数列，所以a11即(a1+10d)2=a1所以an＝a1+（n﹣1）d＝25+（n﹣1）（﹣2）＝27﹣2n，所以{an}的通项公式为an＝27﹣2n；（2）因为a3（n+1）﹣2﹣a3n﹣2＝a3n+1﹣a3n﹣2＝[27﹣2（3n+1）]﹣[27﹣2（3n﹣2）]＝﹣6，所以数列{a3n+1}（n正整数）是以25为首项，﹣6为公差的等差数列，所以k=12018．（8分）已知函数f(x)=2sin(1（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[﹣π，π]，求f（x）的值域．【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．【答案】（1）[4kπ−4π（2）[−3【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．【解答】解：（1）函数f(x)=2sin(1令2kπ−π2≤12x可得4kπ−4π3≤x≤4kπ+2π3故函数的单调递增区间为：[4kπ−4π（2）x∈[﹣π，π]，可得12x+π6∈[−结合正弦函数的性质可得，当12x+π6=−π3，即x＝﹣π时，当12x+π6=π2，即x=即函数的值域为[−319．（10分）已知函数f(x)=3cos（1）当f（x）的最小正周期为2π时，求ω的值；（2）当ω＝1时，设△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知f(A2)=3，且a=2【考点】余弦定理；三角函数的周期性；两角和与差的三角函数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得f（x）=3sin（2ωx+π3）+32，根据f（x（2）当ω＝1时，f(A2)=3，代入可得3sin（2×A2+π3）+32=3，解得A．利用余弦定理可得：a2＝b2+c2【解答】解：（1）函数f(x)=3cos∴f（x）＝3×1+cos2ωx2+=3sin（2ωx+π3当f（x）的最小正周期为2π时，2π2ω=2π，解得ω（2）当ω＝1时，f(A∴3sin（2×A2+解得A=π且a=27由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴c2﹣6c+8＝0，解得c＝2或4．∴△ABC的面积S=12bcsinA＝33或620．（12分）设Sn是数列{an}的前n项和，且an是Sn和2的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bk＝ak•（ak+ak+1+…+an）（1≤k≤n）；①求数列{bk}（1≤k≤n）的前n项和Tn；②设M(n)=2T1+22T2+⋯+2nTn(n∈N∗【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【答案】（1）an（2）①Tn②存在常数c，使M（n）＜c对n∈N*恒成立，c的最小值为34【分析】（1）由an是Sn和2的等差中项，可得Sn+2＝2an，当n≥2时，Sn﹣1+2＝2an﹣1，相减可得an＝2an﹣1，n＝1时，可得a1，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）①利用等比数列的求和公式可得：bk＝ak•（ak+ak+1+…+an）＝2k（2k+2k+1+……+2n）＝2n+k+1﹣4k．（1≤k≤n），进而得出Tn．②由①可得：2nTn=34（12n−1−12【解答】解：（1）∵an是Sn和2的等差中项，∴Sn+2＝2an①，当n＝1时，S1+2＝2a1，∴a1＝2，当n⩾2时，Sn﹣1+2＝2an﹣1②，①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1，∴an＝2an﹣1，∴an∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an（2）①bk＝ak•（ak+ak+1+…+an）＝2k（2k+2k+1+……+2n）=2k⋅2k∴Tn=2n(=2②由①可得：2nTn∴M（n）=34（12−1−122−1+由于f（n）单调递增，可得f（1）≤M（n）＜3即12≤M（n）则存在常数c，使M（n）＜c对n∈N*恒成立，可得c≥34，即c的最小值为21．（14分）对于无穷数列{an}的某一项ak，若存在m∈N*，有ak＜ak+m（k∈N*）成立，则称ak具有性质P（m）．（1）设an＝|n﹣3|（n∈N*），若对任意的k∈N*，ak都具有性质P（m），求m的最小值；（2）设等差数列{an}的首项a1＝﹣2，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），若对任意的k∈N*，数列{Sn}中的项Sk都具有性质P（7），求实数d的取值范围；（3）设数列{an}的首项a1＝2，当n≥2（n∈N*）时，存在i（1≤i≤n﹣1，i∈N*）满足an＝2ai，且此数列中恰有一项at（2≤t≤99，t∈N*）不具有性质P（1），求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t的值．【考点】数列的应用；等差数列的前n项和．【答案】（1）5；（2）d＞1（3）3•251﹣6．【分析】（1）计算an的值，即可得出正确的结论；（2）根据题意，求出{an}的