2023-2024学年四川省乐山市峨眉二中高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年四川省乐山市峨眉二中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z满足i•z＝6﹣8i，则|z|＝（）A．8 B．10 C．14 D．252．（5分）已知点A（1，1），B（4，2）和向量，若∥，则实数m的值为（）A． B． C． D．3．（5分）某企业利用随机数表对生产的60个太阳能面板进行抽样测试，先将60个太阳能面板进行编号，01，02，⋯，59，60．从中抽取12个样本，如表提供随机数表的第6行至第8行，若从表中第7行第9列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）122343567732211834297864540732524206443835789056422530073286234558890723189608048442125331345786073634899483753256780843678953557722535578324577892345A．07 B．18 C．23 D．084．（5分）如图，正三棱台ABC﹣A1B1C1的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（）A． B． C． D．5．（5分）如图，在圆C中，A，B是圆上不同的两点，若，则＝（）A．12 B．15 C．16 D．186．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为（）A． B．6π C． D．4π7．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积为，则＝（）A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC⊥BC，AC＝BC＝1，点D在上底面A1B1C1（包含边界）上运动，则三棱锥D﹣ABC外接球半径的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）某校为更好地支持学生的个性化发展，开设了学科拓展类、创新素质类、兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位学生从中选择一门课程学习．现对该校4000名学生的选课情况进行了统计，如图①，并用分层抽样的方法从中抽取2%的学生对其所选课程进行了满意率调查，如图②．下列说法正确的是（）A．抽取的样本容量为4000 B．该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为700 C．若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为24，则a＝70 D．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1000（多选）10．（6分）在平面中，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标，记作．若在坐标系xOy中，，向量，则下列结论正确的是（）A． B．若，则的充要条件为2x+y＝0 C．若，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（0，6）∪（6，+∞） D．若，则与的夹角为（多选）11．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱A1B1，A1D1，C1D1，CD的中点，P是线段BG上一动点，则下列结论正确的是（）A．平面FGH⊥平面AEF B．平面EGB将正方体分成的两个部分的体积比为1：3 C．∠D1GB是异面直线BG与AB所成的角 D．三棱锥A﹣PEF的体积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）设z的共轭复数是，若，则＝．13．（5分）已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，3x﹣2y＝﹣5，则样本的方差为．14．（5分）设θ为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则＝．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知与的夹角为45°．（1）求在方向上的投影向量；（2）求的值．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为BC，AP的中点，且．（1）求证：BP⊥DF；（2）求三棱锥P﹣DEF的体积；（3）求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．17．（15分）某中学为了解学生每天进行户外锻炼的时长，体育教研组在高一年级随机调查了500位学生，得到如下的样本数据的频率分布直方图．（1）求m的值，并估计抽查的学生中每天户外锻炼时长在30min∼60min的人数；（2）用样本估计总体，估计高一年级学生每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）求高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数．18．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）①②③2asinA＝（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC（1）求A的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．19．（17分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△BCD是直角三角形，点D为直角顶点．E，F，G，H分别是线段AB，AC，CD，DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形，设∠CBD＝α．（Ⅰ）求证：BC∥平面EFGH；（Ⅱ）若二面角A﹣BC﹣D的大小为60°，，则α为何值时，四边形EFGH的面积最小，并求出最小值；（Ⅲ）当平面EFGH⊥平面BCD时，求四面体ABCD体积的最大值．

2023-2024学年四川省乐山市峨眉二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z满足i•z＝6﹣8i，则|z|＝（）A．8 B．10 C．14 D．25【考点】复数的模．【答案】B【分析】利用复数的除法法则和复数的模长公式计算即可．【解答】解：由复数z满足i•z＝6﹣8i，可知，故|z|＝10．故选：B．2．（5分）已知点A（1，1），B（4，2）和向量，若∥，则实数m的值为（）A． B． C． D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】C【分析】利用向量坐标运算法则、向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵点A（1，1），B（4，2）和向量，∴，∵a∥，∴4×1﹣3m＝0，解得．故选：C．3．（5分）某企业利用随机数表对生产的60个太阳能面板进行抽样测试，先将60个太阳能面板进行编号，01，02，⋯，59，60．从中抽取12个样本，如表提供随机数表的第6行至第8行，若从表中第7行第9列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）122343567732211834297864540732524206443835789056422530073286234558890723189608048442125331345786073634899483753256780843678953557722535578324577892345A．07 B．18 C．23 D．08【考点】求随机数法抽样的样本．【答案】D【分析】根据随机数法的规则求解．【解答】解：从第7行第9列开始向右读取数据，得到的编号依次为23，45，58，07，18，08，…，所以第六个数是08．故选：D．4．（5分）如图，正三棱台ABC﹣A1B1C1的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（）A． B． C． D．【考点】棱台的侧面积和表面积．【答案】C【分析】把棱台还原为棱锥，再利用三角形相似比求解．【解答】解：如图1，将正三棱台还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥P﹣A1B1C1的棱长均为6，如图2，点P在底面A1B1C1的射影是底面三角形的中心，所以A1O＝＝2，所以，所以根据相似关系可知，三棱台的高也为．故选：C．5．（5分）如图，在圆C中，A，B是圆上不同的两点，若，则＝（）A．12 B．15 C．16 D．18【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】由平面向量数量积的几何意义计算即可求得．【解答】解：因为在圆C中，A，B是圆上不同的两点，且，所以由平面向量的数量积的几何意义可得：．故选：D．6．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为（）A． B．6π C． D．4π【考点】圆柱的侧面积和表面积．【答案】B【分析】利用轴截面为正方形可得底面半径和母线长，易得表面积．【解答】解：圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，底面半径为1，母线长为2，所以该圆柱的表面积为2×π×12+2π×2＝6π．故选：B．7．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积为，则＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】利用正弦定理解三角形；余弦定理；正弦定理．【答案】C【分析】由已知结合三角形面积公式先求出c，然后结合余弦定理求出a，再由正弦定理即可求．【解答】解：由题意得，因为b＝1，A＝60°，所以c＝2，由余弦定理得，解得，所以．故选：C．8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC⊥BC，AC＝BC＝1，点D在上底面A1B1C1（包含边界）上运动，则三棱锥D﹣ABC外接球半径的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】球的体积和表面积．【答案】B【分析】作出图形，设AB的中点O1，设A1B1的中点为E，设三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为O，半径为R，连接O1E，则O1E∥AA1，O1E⊥平面ABC，由球的性质可得点O在O1E上，设OO1＝x，，外接球的半径为R，再根据题意建立方程与不等式，即可求解．【解答】解：根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，且AC＝BC＝1，∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1，且，设A1B1的中点为E，连接O1E，则O1E∥AA1，从而可得O1E⊥平面ABC，设三棱锥D﹣ABC外接球的球心为O，半径为R，由球的性质可得点O在O1E上，设OO1＝x，DE＝t，t∈[0，]，∵OA＝OD＝R，∴，即，又，∴，∵，∴，∴．故选：B．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）某校为更好地支持学生的个性化发展，开设了学科拓展类、创新素质类、兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位学生从中选择一门课程学习．现对该校4000名学生的选课情况进行了统计，如图①，并用分层抽样的方法从中抽取2%的学生对其所选课程进行了满意率调查，如图②．下列说法正确的是（）A．抽取的样本容量为4000 B．该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为700 C．若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为24，则a＝70 D．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1000【考点】扇形统计图；条形统计图．【答案】BD【分析】根据统计图中信息逐项判断即可．【解答】解：对于选项A，抽取的样本容量为4000×2%＝80人，故A错误；对于选项B，该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为4000×35%×50%＝700人，故B正确；对于选项C，抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为24，则120×40%×a%＝24，得a＝75，故C错误；对于选项D，由扇形图知1﹣35%﹣40%＝25%，则4000×25%＝1000人，故D正确．故选：BD．（多选）10．（6分）在平面中，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标，记作．若在坐标系xOy中，，向量，则下列结论正确的是（）A． B．若，则的充要条件为2x+y＝0 C．若，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（0，6）∪（6，+∞） D．若，则与的夹角为【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】ACD【分析】由向量模长公式进行计算可判定A；由向量垂直得数量积为0，再根据数量积运算求解可判定B；由向量夹角为锐角可得数量积大于0，再根据向量共线得出结论进行判定即可；由向量夹角公式即可求解进而判定D．【解答】解：选项A，＝＝，故A正确；选项B，∵，∴，即，所以，即x＝0，所以的充要条件为x＝0，故B错误；选项C，，故x＞0，若与共线，则x＝6，所以实数x的取值范围为（0，6）∪（6，+∞），故C正确；选项D，因为，，所以，因为，所以，故D正确．故选：ACD．（多选）11．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱A1B1，A1D1，C1D1，CD的中点，P是线段BG上一动点，则下列结论正确的是（）A．平面FGH⊥平面AEF B．平面EGB将正方体分成的两个部分的体积比为1：3 C．∠D1GB是异面直线BG与AB所成的角 D．三棱锥A﹣PEF的体积为定值【考点】棱柱的体积；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直．【答案】ABD【分析】根据正方体的性质，面面垂直的判定定理，异面直线所成角的求法，三棱锥的体积公式，即可分别求解．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱A1B1，A1D1，C1D1，CD的中点，且P是线段BG上一动点，∴易得到EF⊥AC，EF⊥AA1，进而得到EF⊥平面ACC1A1，又易证平面ACC1A1∥平面FGH，∴EF⊥平面FGH，∴平面FGH⊥平面AEF，∴A选项正确；∵EG∥BC，∴平面EGB即为平面EGCB，且平面EGCB将正方体分成等高的三棱锥EBB1﹣GCC1和四棱柱ABEA1﹣DCGD1，易得其底面积之比为1：3，∴其体积比为1：3，∴B选项正确；设正方体棱长为2，则D1G＝1，D1B＝，BG＝＝3，∴cos∠D1GB＝＜0，∴∠D1GB为钝角，而异面直线BG与AB所成的角小于等于90°，∴C选项错误；如图，取B1C1中点M，连接GM，BM，易证GM∥EF，BM∥AF，则两条线都平行于平面AEF，∴平面BGM∥平面AEF，∴BG∥平面AEF，又P是线段BG上一动点，∴P到平面AEF的距离为定值，又△AEF的面积也为定值，∴三棱锥A﹣PEF的体积为定值，∴D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）设z的共轭复数是，若，则＝﹣2i．【考点】共轭复数；复数的乘法及乘方运算．【答案】﹣2i．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，即可求解．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），，则，解得a＝0，b＝2，故z＝2i，．故答案为：﹣2i．13．（5分）已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，3x﹣2y＝﹣5，则样本的方差为4．【考点】方差．【答案】4．【分析】根据已知条件，结合平均数、方差公式，即可求解．【解答】解：样本9，10，11，x，y的平均数是10，则，解得x+y＝20，3x﹣2y＝﹣5，则x＝7，y＝13，故方差为（11﹣10）2+（7﹣10）2+（13﹣10）2]＝4．故答案为：4．14．（5分）设θ为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则＝4．【考点】平面向量的模．【答案】4．【分析】利用向量的加法，可得为点O到直线l上任意点的距离，从而可得最小值为OA．【解答】解：如图，当t变化时，的起点为B，终点在l上运动，故的最小值为，由图可得：．故答案为：4．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知与的夹角为45°．（1）求在方向上的投影向量；（2）求的值．【考点】平面向量的投影向量；平面向量的模．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）结合投影向量的公式，即可求解；（2）对平方，并开方，即可求解．【解答】解：（1）与的夹角为45°，则在方向上的投影向量为；（2）与的夹角为45°，则．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为BC，AP的中点，且．（1）求证：BP⊥DF；（2）求三棱锥P﹣DEF的体积；（3）求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．【考点】几何法求解直线与平面所成的角；棱锥的体积；直线与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）用面面垂直的性质定理得DA⊥平面ABP，进而可得DA⊥BP，由勾股定理可得BP⊥AP，从而可得BP⊥平面DAP，即得BP⊥DF．（2）运用等体积法VP﹣DEF＝VE﹣DFP，由（1）知BP⊥平面DAP，由题意得BC∥平面DAP，再用等体积法VE﹣DFP＝VB﹣DFP即可求解．（3）运用线面角知识将线面角转化为线线角，构造直角三角形，求出边长即可得正弦值．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以DA⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面ABP＝AB，所以DA⊥平面ABP，所以DA⊥BP，因为，所以AP2+BP2＝AB2，所以BP⊥AP，因为DA∩AP＝A，所以BP⊥平面DAP，因为DF⊂平面DAP，所以BP⊥DF；（2）解：因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB，AD∥BC，因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD，所以点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，由（1）得DA⊥平面ABP，BP⊥平面DAP，而，所以三棱锥P﹣DEF的体积；（3）解：过点F作FM⊥AB于点M，连接ME，因为平面ABCD⊥平面ABP，平面ABCD∩平面ABP＝AB，所以FM⊥平面ABCD，所以∠FEM为直线EF与平面ABCD所成角，由已知可得，由BE⊥BF得，所以在Rt△FME中，，故直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为．17．（15分）某中学为了解学生每天进行户外锻炼的时长，体育教研组在高一年级随机调查了500位学生，得到如下的样本数据的频率分布直方图．（1）求m的值，并估计抽查的学生中每天户外锻炼时长在30min∼60min的人数；（2）用样本估计总体，估计高一年级学生每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）求高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数．【考点】频率分布直方图的应用；百分位数．【答案】（1）m＝0.016；290；（2）37；（3）49.5．【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求得m，再根据频率公式求解即可；（2）根据平均数公式求解即可；（3）根据百分位数的公式计算即可．【解答】解：（1）根据频率分布直方图的性质可得0.04+0.14+10m+0.22+0.20+10m+0.08＝1，解得m＝0.016，500×（0.22+0.20+0.16）＝290人，估计每天户外锻炼时长在30min∼60min的人数为290人．（2）由题意知，估计高一年级学生每天进行户外锻炼的平均时长为：5×0.04+15×0.14+25×0.16+35×0.22+45×0.20+55×0.16+65×0.08＝37（min）．（3）∵0.04+0.14+0.16+0.22＝0.56＜0.75，0.04+0.14+0.16+0.22+0.20＝0.76＞0.75，∴高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数，即75%分位数在[40，50]之间，设高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的75%分位数为x，则0.56+0.020（x﹣40）＝0.75，解得x＝49.5，∴高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数是49.5．18．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）①②③2asinA＝（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC（1）求A的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．【考点】解三角形．【答案】（1）；（2）（2，5）．【分析】（1）由三角变换即可求解；（2）根据正弦定理可得＝×+，利用正切函数的性质即可求解．【解答】解：（1）选①：因为，由正弦定理得，，所以，sinB≠0，可得，解得或（舍去），因为，可得，所以；选②：因为＝×absinC+abcosC，所以，由正弦定理可得，又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，所以，因为sinC≠0，所以，又A∈（0，π），所以；选③：结合正弦定理，得2a2＝（2b﹣c）b+（2c﹣b）c，即a2＝b2+c2﹣bc，又由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以bc＝2bccosA，即，又0＜A＜π，所以；（2）由（1）可得，所以，所以，因为△ABC为锐角三角形，所以，所以，所以，即的取值范围为，所以．19．（