高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1 导数的概念及其意义（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册5.1导数的概念及其意义一、单选题1．曲线在处的切线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．3．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（

）A． B．6 C．12 D．4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．5．将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，则上到直线距离最短的点坐标为（

）A． B． C． D．6．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（

）A．0 B．1 C．2 D．37．函数的图像在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．8．下列说法正确的是（

）．A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C．若不存在，则曲线在点处无切线D．若曲线在点处有切线，则不一定存在9．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．10．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（

）A． B． C． D．11．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（

）A． B．C． D．12．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A．-4 B．-2 C．-1 D．4二、填空题13．曲线在处的切线的倾斜角为，则________．14．曲线在点处的切线方程为___________．15．若直线与曲线相切，则_________．16．曲线在点处的切线方程为__________．三、解答题17．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．18．已知函数．（1）求f(x)在点处的切线方程；（2）求证：．19．求函数的图象上过原点的切线方程．20．已知曲线.（1）求曲线在点P(1，3)处的切线方程;（2）求曲线过点P(1，3)的切线方程.21．已知函数的图象为曲线C．(1)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线（均不与x轴垂直），求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；(2)证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．参考答案：1．B求出导函数，即可得到结果.【详解】∵，∴∴，∴曲线在处的切线的倾斜角是，故选：B2．C先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．【详解】∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以．当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C．本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．3．A先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得的值.【详解】由，得，则曲线在点处的切线斜率为，得.故选：A.本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.4．C求出函数的导函数即可求出，再根据点斜式求出切线方程；【详解】解：∵的导数为，∴．∵，∴曲线在点处的切线方程为，即．故选：C．5．B先利用函数图象的变换得到曲线对应函数，将曲线上点到直线的最短距离转化为曲线在某点处的切线和所给直线平行，再利用导数的几何意义进行求解.【详解】将化为，则将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，即，要使曲线上的点到直线的距离最短，只需曲线上在该点处的切线和直线平行，设曲线上该点为，因为，且的斜率为，所以，解得或（舍），即该点坐标为.故选：B.6．C利用导数的定义求解.【详解】因为，，所以斜率，．故选：C7．B求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题8．D结合导数的运算以及导数的几何意义举例子可判断A、B、C、D；进而可得正确选项.【详解】对于A：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线在处的切线为：，即，切线与另一个交点为，故选项A说法错误；对于B：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如与相切于点，同时经过另一点，可以说过点的直线与曲线相切，但切点是不是，故选项B不正确；对于C：若不存在，曲线在点处可以有切线，如在时，不存在，但有切线，故选项C错误；对于D：由曲线在一点处有平行于轴的切线，且在该点处不连续，则不一定存在，如在时，有切线，但不存在，故选项D正确，故选：D．9．D求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案.【详解】，，切线的斜率为，因为切线与直线垂直，所以，解得.故选：D.10．D先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程.【详解】设，由题意知，，则，C在点M处的切线，所以所以，则，将代入的方程可得，即抛物线的准线方程为：则.设与曲线C的切点为，则，解得或（舍去），则，所以的方程为.故选：D本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题.11．A结合图象，利用平均变化率的定义求解.【详解】因为，，，由图象知，所以．故选：A12．A将不等式转化为恒成立，表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.求导函数，进行参变分离得在内恒成立.由基本不等式可求得a的最小值.【详解】解：在区间内任取两个实数，，且，不等式恒成立，即不等式恒成立，它表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.所以在内恒成立，即在内恒成立.当时，，则，当且仅当时等号成立，所以，a的最小值为-4.故选：A.13．##求出函数在处的导数可得，即可求出.【详解】，当时，，即切线斜率为3，则，则，所以.故答案为：.14．.本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．15．设切点为，根据导数的几何意义可推导得到，根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得，代入可得结果.【详解】设直线与曲线相切于点，由得：，，，又，，解得：，.故答案为：.16．先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．17．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．（1）求导，对a分类讨论求解单调区间；（2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解【详解】解：（1）∵，∴（1）当时，∵，∴，，∴单减，∴减区间是．时，，∴单增，∴增区间是．（2）当时，∵，∴，∴的减区间是．（3）当时，∵，∴的减区间是．（4）当时，，∴，∴的增区间是，，，∴的减区间是．（2），因为存在实数，使得不等式成立，∴，∵，，，单减，，，∴单增．∴，．∴，∴，∵，∴．结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若若，，有，则的值域是值域的子集．18．（1）；（2）证明见解析．（1）求导，进而得到，，写出切线方程；（2）将转化为，设，，利用导数法证明.【详解】（1）函数的定义域是，可得又，所以f(x)在点处的切线方程为整理得（或斜截式方程）（2）要证只需证因为，所以不等式等价于设，，；所以在单调递减，在单调递增故又，；所以在单调递增，在单调递减故因为且两个函数的最值点不相等所以有，原不等式得证．19．或首先设出切点，利用切点在曲线上，得出坐标的关系，再根据导数的几何意义及点斜式求出切线方程，结合点在切线上即可求解.【详解】设切点坐标为，则，∵,所以切线方程为．因为切线过原点，所以，即，解得或，所以切线方程为或.20．（1）；（2）和.（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程；（2）设过点P的切线与曲线相切于点R，然后根据曲线在点R处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果．【详解】（1），则切线的斜率为，所以曲线在点P处的切线方程为，即.（2）设过点的切线与曲线相切于点，∴曲线在点R处切线斜率为，故切线方程为，又因为切线过点，∴，解得或，故切点R分别为和，所以过点P的切线方程为或，所以过点Q的切线方程为：和.21．(1)；(2)证明见解析.（1）利用互相垂直的切线（均不与x轴垂直）的斜率互为负倒数，切点处的导数值为曲线切线的斜率，及一元二次方程有解求切点横坐标的范围；（2）利用切点处的导数值为曲线切线的斜率，求出两切点处的两条直线的方程，利用斜率相等和纵截距相等求得的结果与已知矛盾，得证．(1)，由题，设其中一条切线的斜率为，则另一条切线的