高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册 7.2 离散型随机变量及其分布列（含解析）

选择性必修第三册7.2离散型随机变量及其分布列一、选择题（共16小题）1.已知随机变量X的分布列为：PX=k=k15，k=1，2，3，4，5 A.12 B.15 C.12.投掷两个骰子，如果所得点数之和记为X，那么X=4表示的随机试验结果是 A.一个是3点，另一个是1点 B.一个是3点，另一个是1点或两个都是2点 C.两个都是4点 D.两个都是2点3.设X是一个离散型随机变量，其分布列为X则常数a的值为   A.13 B.23 C.13或23 D.-4.投掷一枚均匀的硬币一次，随机变量为   A.出现正面的次数 B.出现正面或反面的次数 C.投硬币的次数 D.出现正、反面的次数之和5.已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：X则P1≤X≤3 A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.76.在12个同类产品中，有10个正品、2个次品，从中任意抽出3个检验，那么以下3种结果：①抽到3个正品；②抽到2个次品；③抽到1个正品．其中是随机变量的是   A.①② B.②③ C.①③ D.①②③7.已知随机变量X的分布列为PX=k=12k，k A.316 B.14 C.18.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是   A.6 B.7 C.10 D.259.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有1到6个点数）的随机试验中，用X表示骰子向上的一面的点数，那么PX≤3等于 A.16 B.14 C.110.设实数x∈R，记随机变量ξ=1,x∈0,+∞0,x=0- A.1 B.0 C.-1 D.1或11.已知随机变量X的分布列如下表所示，其中c=2b-a，则PX A.13 B.14 C.112.一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是   A.小球滚出的最大距离 B.倒出小球所需的时间 C.倒出的三个小球的质量之和 D.倒出的三个小球的颜色的种数13.某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则PX≥2 A.17 B.1556 C.214.袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是   A.取到的球的个数 B.取到红球的个数 C.至少取到一个红球 D.至少取到一个红球的概率15.一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为   A.6 B.5 C.4 D.216.已知随机变量X的分布列为PX=i=i2a A.910 B.710 C.3二、填空题（共7小题）17.已知一个不透明的袋子里装有大小，质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次从袋中任取两个球，取后放回，连续取三次，用随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则Eξ=18.某人射击50米外的一个固定目标，击中目标则停止射击，如果有充足的子弹，这个人可能射击的次数为

．19.随机变量X等可能取值为1，2，3，⋯，n，如果PX<4=12，那么20.随机变量η的分布列如下： η1 则x=

，Pη≤321.若PX≤x2=1-β，PX≥x22.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中2b=a+X则这名运动员得3分的概率是

．23.已知随机变量Ⅹ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次相差为d，则d三、解答题（共7小题）24.在一个盒子中放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中有放回地先后抽取两张卡片，标号分别为x，y，记X=∣x-2∣+∣y-x∣．写出随机变量25.某程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数\（A=\boxed{a_1}\\boxed{a_2}\\boxed{a_3}\\boxed{a_4}\\boxed{a_5}\），其中A的各位数中，a1=1，akk=2,3,4,5出现0的概率为13，出现1的概率为（1）X=3（2）X的分布．26.盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ．（1）写出ξ的所有可能取值；（2）写出ξ=127.某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．（1）写出ξ的取值范围及每一个取值所表示的结果；（2）若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出η与ξ的关系，并求η的取值范围．28.某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目．测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．某选手抽到科技类题目ξ道．（1）试求出随机变量ξ的取值；（2）“ξ=1”表示的事件是什么?可能出现多少种结果29.某校50名学生参加全国数学联赛选拔，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组90,100，第二组100,110,⋯，第五组130,140 （1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；（2）若从第一、第五组中随机取出两个成绩，记X为从第一组中取出成绩的个数，求X的分布与数学期望．30.有三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p0.7≤（1）任取树苗A，B，C各一株，设自然成活的株数为X，求X的分布列及EX（2）将（1）中的EX取得最大值时的p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n株B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8 ①求一株B种树苗最终成活的概率； ②若每株树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每株亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，应至少引种B种树苗多少株?答案1.B2.B【解析】由题意知X=4表示的随机试验结果是一个是3点，另一个是1点或两个都是23.A【解析】由离散型随机变量分布列的性质可得9a2-a+3-84.A【解析】B中出现正面或反面的次数为1，是定值而不是变量；C中掷硬币的次数是1；D中出现正、反面的次数之和为1，都是定值而非变量．掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上．可以选一个标准，如正面向上，来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量X，它的取值是1，0．5.C【解析】由概率之和等于1可知A=0.2所以P1≤故选：C．6.A7.A【解析】2<X≤4时，所以P2<8.C【解析】X的所有可能值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共计10个．9.D10.A【解析】解1x≥1得其解集为所以ξ=111.D【解析】由条件知，2b由分布列的性质得a+所以b=所以P12.D【解析】A．小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；B．倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C．三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，就更不是离散型随机变量；D．颜色的种数是一个离散型随机变量．13.C14.B【解析】袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，取到球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故不选A，取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C不正确；至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故D不正确．15.B【解析】由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁．16.B【解析】由分布列的性质知，12则a=5所以P2<17.618.1，2，3，⋯，n，⋯19.620.0，0.55【解析】由分布列的性质得0.2+x解得x=0．故P21.1-22.1【解析】由题中条件，知2b=a+c，c=ab，再由分布列的性质，知a+b+c=1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a23.-【解析】设X的分布列为X由离散型随机变量分布列的基本性质知a-d+a+24.因为x，y的可能取值均为1，2，3，所以∣x-2∣=0所以X的可能取值为0，1，2，3．用x,y表示第一次抽到的卡片号码为x，第二次抽到的卡片号码为y，则随机变量XX=0表示2,2X=1表示1,1，2,1，2,3，3,3X=2表示1,2，3,2X=3表示1,3，3,125.（1）已知a1=1，要使X=3，只需后四位中出现2个1和2个所以PX

（2）令Y=a2+易知Y∼B4,23，X=Y+1，得X的所有可能取值为1，因为PXPXPXPXPX所以X的分布如下：1226.（1）ξ可能的取值为0，1，2，3．

（2）ξ=127.（1）ξ的取值范围为0,1,2,3,4,5，ξ=0,1,2,3,4,5分别表示5次罚球中命中0次，1次，2次，3次，4次，5

（2）由题意可知η=2又ξ∈所以η∈28.（1）由题意得ξ的取值是0,1,2,3．

（2）“ξ=1”表示的事件是“恰抽到一道科技题”考虑顺序，三类题目各抽取一道有5×3×2×A31道科技题2道文史题有3×3×A51道科技题2道体育题有3×3×2=18种结果．由分类加法计数原理知可能出现180+180+18=378种结果．29.（1）由频率分布直方图知，成绩在100,120内的人数为50×0.16+50×0.38=27，所以该校成绩良好的为27人．

（2）由频率分布直方图可知第一组人数为3，第五组人数为4，根据题意得X的所有可能取值为0，1，2，且PX=0=C3于是X的分布如下：01所以