高中数学人教A版选择性必修第二册5.3 导数在研究函数中的应用（含答案）

选择性必修第二册5.3导数在研究函数中的应用一、选择题（共15小题）1.若函数y=kx-lnx在1,+∞上单调递增，则 A.-∞,-2 B.-∞,-1 C.2,+∞2.函数fx=3x-4x A.12 B.-1 C.03.已知函数fx与fʹx的图象如图所示，则函数gx= A.0,4 B.-∞,1， C.0,43 D.0,14.已知a为函数fx=x3-12x A.-4 B.-2 C.45.若fx=sin3x+acos2x在 A.0,32 B.0,326.函数fx=ax3+bx2+cx-34a,b,c∈R的导函数为f A.-8122 B.13 C.7.fʹx是奇函数fxx∈R的导函数，f-1=0，当x>0时，xfʹ A.-∞,-1∪ C.-∞,-1∪8.已知fx=3sinx ①fʹ ②fʹ ③fx ④fx 其中正确的是   A.①③ B.①④ C.②③ D.②④9.若函数fx=xx-c2在x=2 A.2 B.6 C.2或6 D.-2或10.若函数fx=13x3-1+b2x2+2bx在区间 A.2b-43 B.311.函数y=lnxx A.e-1 B.e C.e12.已知函数fx=xlnx-aex（ A.0,1e B.0,e C.13.已知函数fx=x3+ax2+bx+a2 A.11或18 B.11 C.18 D.17或1814.函数fx=x2-3ex，关于x的方程f A.0,2 B.2,+∞ C.0,6e15.直线y=m分别与y=2x+3及y=x+lnx交于A A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（共7小题）16.函数fx=x317.如果函数fx=x3+ax218.设函数fx=lnxx，x∈1,4，则19.函数fx的定义域为R，f-1=2，若对任意x∈R，恒有fʹx20.已知a，b为常数，a≠0，函数fx=a+bxex．若a=2，b=121.设直线x=t与函数fx=x2，gx=lnx的图象分别交于点M，N，则当22.若函数fx=x3+bx2+cx三、解答题（共7小题）23.已知函数fx=1+x（1）求fx（2）证明：fx24.已知函数fx（1）当a=1时，求函数fx（2）若fx>0对x∈R成立，求实数25.已知函数fx（1）当a=12时，求函数（2）若对于任意的x∈1,+∞，fx>0恒成立，试求实数26.已知函数fx=x-2x+a27.求函数fx=x5+5x28.已知函数fx=x3-6x2+9x+3，若函数29.已知函数fx（1）求fx（2）若fx≥12x答案1.D2.D3.D4.D【解析】因为fx=x3令fʹx=0，得x当x∈-∞,-2,2,+∞时，f当x∈-2,2时，fʹx所以fx的极小值点为a5.D 【解析】由fʹx=3因为sinx>0，令若2a3≥1，即a≥3所以x∈0,π2时gx<0，所以当x=π2时当0<2a3<1，即0<a不妨设两解为x1，x当x∈0,x1时gx<0，当x∈π2,x2时gx所以函数fx必有最小值fx1与6.C【解析】由已知可得fʹ由3ax2+2bx+c≤0且-2，3是方程3a则由根与系数的关系知2b3a所以b=-3a2，c当x∈-∞,-2时，fʹ当x∈-2,3时，fʹ当x∈3,+∞时，fʹx所以f3为fx的极小值，且解得a=27.A8.D【解析】由已知fʹ因为x∈所以cosx所以fʹ所以fx在x所以fx<f0=09.B 【解析】因为函数fx=xx由题意知，在x=2处的导数值为12-8所以c=6，或c又函数fx=xx-c2在当c=2时，f'x=3x当c=6时，f'x=3x2-2410.A【解析】fʹ因为函数fx在区间-3,1所以-3<b<1，则由fʹx>0，得由fʹx<0，得所以函数fx的极小值为f11.A【解析】令yʹ=ln当x>e时，当x<e时，yʹ在定义域内只有一个极值，所以ymax12.A【解析】fʹx=lnx-aex+1，若函数fx=xlnx-aegʹ令hx=1xhx在0,+∞上单调递减，而h故x∈0,1时，hx>0，即gx∈1,+∞时，hx<0，即g故gx而当x→0时，gx→-∞，当x→+∞若y=a和gx在0,+∞有只需0<a13.C【解析】因为函数fx=x3+ax2+所以f1=10，且即1+a+b+a2=10,3+2a而当a=-3,b=3时，函数在所以fx=x314.D【解析】fʹ令fʹx=0，得x=-3当x<-3时，fʹx>0，函数fx在-∞当-3<x<1时，fʹx<0，函数f当x>1时，fʹx>0，函数fx所以函数fx的极大值为f-3=令fx=t，则方程f2x由于方程f2x-mfx+1=0由韦达定理知，t1+t2=m所以一个根在0,6e3上，另一个根在6e3,+∞因为两根之和m为正数，所以两个根不可能都在-2e令gx=x2-mx+1，因为g0=1>0，所以只需g6e3<0，即15.B【解析】设Ax1,由图象知y=2x+3的图象总在故x1<x2所以AB=又2x1+3=所以x2令gxgʹx∈0,1时，gx单调递减，x∈1,+∞所以gx16.1【解析】fʹ令fʹx<0，得13<x<3，故函数17.-∞【解析】对fx求导得f因为函数有极大值和极小值，所以fʹx所以Δ=4a2-4×3a+6>018.1e，19.-20.4【解析】当x∈0,+∞时，fʹx=a+bx-bx2ex=ax2+bx-bexx2．当a=2，b=1时，fʹx=2x2+x-1exx21.2【解析】当x=t时，ft所以y=∣所以yʹ当0<t<22当t>22所以y=∣MN∣=t2-22.-【解析】fʹx=3x2+2bx+c所以-1，3是fʹ所以b=-3，c=-9，23.（1）fʹx=1-2cosx，令故在区间0,π上，fʹx的唯一零点是当x∈0,π3时，f当x∈π3,π时，故在区间0,π上，fx的极小值为当x>π时，所以fx的最小值为f

（2）要证：x>0时，fx>e-2xgʹ令hx=x-sinx，则hʹx=1-cos所以hx>h0=03+2x所以gʹ即gx是0,+∞上的增函数，g故当x>0时，f24.（1）当a=1时，fx=e令fʹx<0，解得x<ln2故函数fx在-∞,ln2上递减，在故函数fx的极小值为f

（2）fx>0对x∈R成立，即为a>2设gx=2xgʹ令gʹx>0，解得x<32；令故函数gx在-∞,32递增，在所以gx故实数a的取值范围为2e25.（1）当x=1时，y

（2）a>-326.由已知得fx的定义域是0,+∞，f设gx=x2-ax+2，对应的一元二次方程①当Δ=a2-8<0，即0<a<22时，对一切x>0都有f②当Δ=a2-8=0，即a=22时，仅当x=2时有f'x=0，对定义域内其余的x③当Δ=a2-8>0，即a>22时，方程gx=0有两个不同的实根x1=a-a2x此时fx在0,a-a2-82与综上，当0<a≤22时，fx在0,+∞上是严格增函数；当a>22时，fx在0,a-a27.由已知得fʹ令fʹx=0，得x=0或x=-1因为0∈-1,4，-1∈-所以列表如下：x又f0=1，f-1所以函数y=x5+5x4+5x3+1在区间28.由fx可得fʹ13由题意可得x3-6x2+9x+3=x2gʹ令gʹx=0，得x=2当x变化时，gx，gʹx则函数gx的极大值为g23=所以g23=6827即实数m的取值范围为-16,29.（1）由fx得fʹ令x=1得fʹ解得f0又由已知得f0则fʹ所以fx=e当x∈-∞,0当x∈0,+∞时，所以，fx的严格减区间为-∞,0，严格增区间为

（2）解法一：由已知条件得ex（ⅰ）若a+1<0，则对任意常数b，当x<0，且x可得ex-a（ⅱ）若a+1=0，则a（ⅲ）若a+1>0，设gx=e当x∈-∞,ln当x∈lna+1从而gx在-∞,lna+1所以gx有最小值g于是fx≥b≤因此