二次函数的图象和性质课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2二次函数的图象和性质学习目标课时讲解1课时流程2二次函数y=ax2

的图象和性质二次函数y=ax

2+k

的图象和性质二次函数y=a(x-h)

2的图象和性质二次函数y=a(x-h)

2+k

的图象和性质二次函数y=ax2＋bx＋c

的图象和性质用待定系数法求二次函数的解析式(拓展点)逐点导讲练课堂小结作业提升知1－讲感悟新知知识点二次函数y=ax2

的图象和性质11.抛物线：二次函数y=ax2+bx+c

的图象是一条曲线，这条曲线叫作抛物线

y=ax2+bx+c.抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫作抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.感悟新知2.用描点法画二次函数y=ax2的图象的一般步骤知1－讲列表让x

取一些具有代表性的值，求出对应的y

值，列出表格描点以自变量x

的取值为横坐标，以相应的函数值y

为纵坐标描出相应的点连线按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，用平滑的曲线顺次连接所描的点一般先取原点，然后在y

轴两侧对称取点两端要“出头”感悟新知注意(1)用描点法所画的图象只是二次函数图象的一部分且是近似的.一般来说，选点越多，图象越精确.(2)抛物线向两端无限延伸，左右两侧关于对称轴对称.知1－讲感悟新知知1－讲警示误区连线时，初始点和末端点要注意适当“向外延伸”，切忌用线段连接或漏点、跨点连接﹒感悟新知知1－讲特别解读1.判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y

随x

的增大而增大，“下坡路”就是y

随x的增大而减小.2.二次函数y=-ax2(a≠0)的图象与y=ax2(a≠0)的图象关于x轴对称.3.|a|决定抛物线y=ax2的开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.感悟新知知1－讲3.二次函数y=ax2

(a

≠0)的图象和性质a的符号a＞0a＜0图象开口方向向上向下对称轴y

轴(或直线x=0)感悟新知知1－讲顶点坐标原点(0，0)

增减性当x﹤0时，y随x的增大而减小；当x﹥0时，y随x的增大而增大 当x﹤0时，y

随x

的增大而增大；当x﹥0时，y

随x

的增大而减小最值当x=0时，y

最小值

=0当x=0时，y

最大值

=0知1－练感悟新知例1

解题秘方：用描点法，按列表→描点→连线的顺序作图.解：列表：x…-3-2-10123…y=x2…3

0

3…y=－

x2…-3--0---3…知1－练感悟新知知1－练感悟新知描点、连线，即得三个函数的图象，如图22.1-4所示.

知1－练感悟新知1-1.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=5x2，y=-5x2

的图象.解：列表如下：x…-2-1012…y=5x2…2050520…y=－5x2…－20505－20…知1－练感悟新知描点、连线可得图象如图所示.感悟新知知1－练例2

[母题教材P36练习T2]观察例1中两个函数的图象，说出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况.感悟新知知1－讲解题秘方：(1)讨论二次函数的增减性一定要说明是在对称轴(或顶点)的左侧还是右侧，如“对于二次函数y=ax2，若a>0，则y

随x

的增大而减小”的说法是错误的；(2)运用数形结合思想记忆二次函数y=ax2

的性质更容易.感悟新知知1－讲

知2－练感悟新知

B知识点二次函数y=ax2＋k

的图象和性质知2－讲感悟新知21.

二次函数y=ax2＋k的图象与性质知2－讲感悟新知函数y=ax2＋k(a≠0)a>0a<0图象k＞0k＜0知2－讲感悟新知开口方向向上向下对称轴y

轴(即直线x=0)顶点坐标(0，k)增减性与y=ax2

相同当x<0时，y

随x

的增大而减小；当x>0时，y

随x的增大而增大当x<0时，y

随x

的增大而增大；当x>0时，y

随x

的增大而减小最值当x=0时，y

最小值=k当x=0时，y

最大值=k知2－讲感悟新知特别解读平移规律：上加下减，纵变横不变.1.“上加下减”表示抛物线的位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2＋k是由抛物线y=ax2上下平移｜k｜个单位长度得到的，“上加”表示当k

为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，向下平移.2.“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.知2－讲感悟新知2.二次函数y=ax2+k与y=ax2

的图象间的关系二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象形状相同，只是位置不同.抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2沿y轴向上(下)平移|k|个单位长度得到.知2－讲感悟新知y=ax2

向上平移|k|个单位长度，k>0k>0 向下平移|k|个单位长度，k<0a>0y=ax2y=ax2+ky=ax2+ka<0y=ax2y=ax2+ky=ax2+k知2－练感悟新知例3[母题教材P38练习]在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=-x2+1与y=-x2-1的图象，并根据图象回答下列问题.知2－练感悟新知(1)抛物线y=-x2+1可以看成是由抛物线y=-x2

向______平移______个单位长度得到的，抛物线y=-x2-1可以看成是由抛物线y=-x2向______平移______个单位长度得到的；(2)分别指出抛物线y=-x2+1和y=-x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标，以及随着x的增大，y的变化情况.

知2－练感悟新知解题秘方：紧扣二次函数y=ax2＋k的图象和性质，及图象间的平移规律解答.知2－练感悟新知解：列表如下：x…－3－2－10123…y=-x2…－9－4－10－1－4－9…y=-x2+1…－8－3010－3－8…y=-x2-1…－10－5－2－1－2－5－10…知2－练感悟新知描点、连线，即得这三个函数的图象，如图26.2-2所示.知2－练感悟新知(1)抛物线y=-x2+1可以看成是由抛物线y=-x2

向______平移______个单位长度得到的，抛物线y=-x2-1可以看成是由抛物线y=-x2向______平移______个单位长度得到的；上1下1知2－练感悟新知(2)分别指出抛物线y=-x2+1和y=-x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标，以及随着x的增大，y的变化情况.

抛物线y=-x2+1的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,1).当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.抛物线y=-x2-1的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,-1).当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.知2－练感悟新知3-1.二次函数y=－x2－2的图象大致是(

)D知2－练感悟新知3-2.已知抛物线y=2x2-3.(1)它的开口向_____，对称轴为_____，顶点坐标为_____.(2)把抛物线y=2x2

向_____平移_____个单位长度可得抛物线y=2x2-3.(3)当x_____时，y

随x

的增大而减小；当x_____

时，y

随x的增大而增大；当x_____时，函数y有最小值，最小值是_____

.上y轴(0，-3)下3<0>0=0-3感悟新知知识点二次函数y=a(

x－h)

2

的图象和性质3知3－讲1.

二次函数y=a

(

x－h

)

2

的图象和性质函数y=a(

x－h)

2

(a≠0)a>0a<0图象h＞0h＜0感悟新知知3－讲感悟新知知3－讲开口方向向上向下对称轴直线x＝h顶点坐标(h，0)增减性当x<h

时，y

随x

的增大而减小；当x>h

时，y

随x

的增大而增大当x<h

时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h

时，y

最小值=0当x=h

时，y

最大值=0当h>0时，顶点在x

轴的正半轴上；当h<0时，顶点在x轴的负半轴上知3－讲感悟新知特别解读平移规律：左加右减，横变纵不变.1.“左加”表示当h﹤0时，函数y=a(x-h)2

可变形为y=a(x＋|h|)2，其图象可以由函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位长度得到；2.“右减”表示当h＞0时，函数y=a(x-h)2的图象可以由函数y=ax2

的图象向右平移h个单位长度得到；3.“横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线平移时对应点的横坐标改变而纵坐标不变.感悟新知知3－讲注意在y=a

(

x－h

)

2中括号内是“－”号，如果y=－3(x+2)

2，那么h=－2，不能误认为h=2.感悟新知知3－讲2.二次函数y=a(x-h)2与y=ax2

的图象间的关系二次函数y=a(x-h)2

与y=ax2

的图象形状相同，只是位置不同.抛物线y=a(x-h)2

可由抛物线y=ax2

沿x轴向右(左)平移|h|个单位长度得到.感悟新知知3－讲y=ax2向左平移|h|个单位长度，h<0向右平移|h|个单位长度，h>0a>0y=ax2

y=a(x-h)2y=a(x-h)2a<0y=ax2

y=a(x-h)2y=a(x-h)2感悟新知知3－练在同一平面直角坐标系中，画出函数y=4x2，y=4(x+1)2

与y=4(x-1)2的图象，并根据图象回答下列问题：例4

感悟新知知3－练(1)抛物线y=4(x+1)2可以看成是由抛物线y=4x2向_____平移_____个单位长度得到的，抛物线y=4(x-1)2

可以看成是由抛物线y=4x2向_____平移_____个单位长度得到的；(2)分别指出抛物线y=4(x+1)2

和y=4(x-1)2的开口方向、对称轴和顶点坐标，以及随着x的增大，y的变化情况.知3－练感悟新知解题秘方：画二次函数y=a(x-h)2

的图象时，通常先取点(h，0)，再在该点两侧对称取点；二次函数y=a(x-h)2的增减性是以直线x=h为分界的，应按x>h和x<h分段.知3－练感悟新知解：列表如下：x…－2－1－0

12…y=4x2…164101416…y=4(x+1)2…401491636…y=4(x-1)2…361694104…知3－练感悟新知描点、连线即得这三个函数的图象，如图26.2-3所示.感悟新知知3－练(1)抛物线y=4(x+1)2可以看成是由抛物线y=4x2向_____平移_____个单位长度得到的，抛物线y=4(x-1)2

可以看成是由抛物线y=4x2向_____平移_____个单位长度得到的；(2)分别指出抛物线y=4(x+1)2

和y=4(x-1)2的开口方向、对称轴和顶点坐标，以及随着x的增大，y的变化情况.左1右1感悟新知知3－练解：抛物线y=4(x+1)2

的开口向上，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1，0).当x<-1时，y随x的增大而减小;当x>-1时，y随x的增大而增大.抛物线y=4(x-1)2的开口向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，0).当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大.感悟新知知3－练

知3－练感悟新知解:分别列表如下:x…－2－1012…y=－x2…－2－0.50－0.52…x…01234…y=－(x－2)2…－2－0.50－0.52…知3－练感悟新知

知3－练感悟新知

感悟新知知3－练

下直线x=2(2,0)下220感悟新知知识点4知4－讲二次函数y=a(

x－h)

2

＋k的图象和性质1.

二次函数y=a

(

x－h)

2＋k的图象与性质感悟新知知4－讲函数y=a(

x－h)

2＋k(a≠0)a>0a<0图象h＜0h＞0注意h

前面的“-”号感悟新知知4－讲开口方向向上向下对称轴直线x=h顶点坐标(h，k)增减性当x<h

时，y

随x

的增大而减小；当x>h

时，y

随x

的增大而增大当x<h

时，y

随x

的增大而增大；当x>h

时，y

随x

的增大而减小最值当x=h

时，y

最小值

=k

当x=h

时，y

最大值

=k知4－讲感悟新知特别解读1.从y=a

(

x－h

)

2＋k

(a

≠0)中可以直接得出抛物线的顶点坐标，所以通常把它称为二次函数的顶点式，顶点坐标是(h，k)

.2.将二次函数y=ax2的图象左右平移|h|个单位长度得到二次函数y=a

(

x－h

)

2的图象，再将二次函数y=a

(

x－h

)

2的图象上下平移|k|个单位长度得到二次函数y=a

(

x－h

)

2＋k的图象.感悟新知知4－讲2.二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的对比函数y=a(

x－h)

2＋ky=a(

x－h)

2y=ax2＋k

y=ax2相同点形状图象都是抛物线，形状相同，开口方向相同对称性图象都是轴对称图形

感悟新知知4－讲相同点增减性当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y

随x

的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y

随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y

随x

的增大而减小不同点顶点坐标(h，k)(h，0)(0，k)(0，0)对称轴直线x=hy

轴

感悟新知知4－讲

3.二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2

的图象间的关系二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，可由二次函数y=ax2

的图象先向右(左)平移|h|个单位长度，再向上(下)平移|k|个单位长度得到.由二次函数y=ax2

的图象得到y=a(x-h)2+k的图象的具体平移过程如下：感悟新知知4－讲知4－讲感悟新知特别解读1.抛物线y=ax2，y=ax2＋k，y=a

(

x-h

)

2，y=a

(

x-h

)

2＋k中a

的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全一样，故它们之间可通过互相平移得到.2.抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的是，左右平移时，只针对常数h进行变化，而上下平移时，只针对常数k进行变化，可简记为左加右减自变量，上加下减常数项.知4－练感悟新知[母题教材P36归纳]对于抛物线y=－(x＋1

)

2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(－1，3

)；④当x>1时，y

随x的增大而减小.其中正确结论有_________

.例5①③④知4－练感悟新知解题秘方：紧扣二次函数y=a

(x－h)

2＋k的图象和性质逐一判断.解：因为a=－1<0，所以抛物线的开口向下，故①正确；对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为(－1，3

)，故③正确；当x>1时，y

随x的增大而减小，故④正确.知4－练感悟新知5-1.关于二次函数y=2(x-4)2

+6，下列说法正确的是_________(填序号).①图象的开口向上；②图象的对称轴为直线x=4；③最小值为6；④当x>0时，y

随x

的增大而增大.①②③感悟新知知4－练

例6

解题秘方：先利用二次函数图象的平移规律写出平移后对应的解析式，再利用列表法画出函数图象，最后结合函数图象探究函数的性质，进而解决相关问题.感悟新知知4－练(1)求出a，h，k

的值.

感悟新知知4－练

列表如下：x...－3－2－1012...y=x2...20.500.52...y=(x+1)2+2...42.522.54...感悟新知知4－练

感悟新知知4－练(3)观察二次函数y=a

(

x－h

)

2＋k的图象，当x____时，y随x

的增大而减小；当x____时，y随x

的增大而增大；当x_________时，函数有最________值是______.(4)观察二次函数y=a

(

x－h

)

2＋k的图象，你能说出对于一切x

的值，y

的取值范围吗？<－1＞－1=－1

小2知4－练感悟新知

下x＝－2＞－2

感悟新知知5－讲知识点5二次函数y=ax2

＋bx＋c的图象和性质

注意负号不要丢根的判别式Δ的相反数感悟新知知5－讲2.二次函数y=ax2+bx+c的图象的画法(1)描点法:①把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式；②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点并用光滑的曲线顺次连接.感悟新知知5－讲(2)

平移法:①把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，确定其图象的顶点坐标(h，k)；②作出二次函数y=ax2的图象；③将二次函数y=ax2的图象平移，使其顶点平移到(h，k)处.感悟新知知5－讲

感悟新知知5－讲函数y=ax2＋bx＋c(a，b，c

是常数，a≠0)a的符号a>0a<0图象开口方向向上向下3.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质感悟新知知5－讲对称轴顶点坐标增减性感悟新知知5－讲最值知5－讲感悟新知4.二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与字母系数的关系二次函数y=ax2+bx+c中，a的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c的符号决定抛物线与y轴交点的大致位置，具体如下表：知5－讲感悟新知字母或式子字母或式子的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下-b=0对称轴为y

轴ab>0(a，b

同号)对称轴在y

轴左侧ab<0(a，b

异号)对称轴在y

轴右侧cc=0图象过原点c>0图象与y

轴正半轴相交c<0图象与y

轴负半轴相交感悟新知知5－讲拓宽视野结合图象，通过对x

赋值，判断特殊函数值的正负：对于二次函数y=ax2+bx+c：当x=1时，y=a+b+c，此时，若y=0，则a+b+c=0；若y﹥0，则a+b+c﹥0；若y﹤0，则a+b+c﹤0.当x=-1时，y=a-b+c，此时，若y=0，则a-b+c=0；若y﹥0，则a-b+c﹥0；若y﹤0，则a-b+c﹤0.感悟新知知5－练对于抛物线y=x2-4x+3.(1)将抛物线的解析式化为顶点式；(2)画出此抛物线.例7

解题秘方：先用配方法将一般式化为顶点式，再用“五点法”画出抛物线.知5－练感悟新知解：y=x2-4x+3=(x2-4x+4)-4+3=(x-2)2-1，故顶点式为y=(x-2)2-1.(1)将抛物线的解析式化为顶点式；知5－练感悟新知解：列表：(2)画出此抛物线.x…01234…y…30－101…知5－练感悟新知描点、连线，函数图象如图26.2-5所示.知5－练感悟新知7-1.在平面直角坐标系中，画出二次函数y=-2x2+4x+3的图象，并指出抛物线y=-2x2+4x+3是由抛物线y=-2x2经过怎样的平移得到的.解:y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5.画图象略.将抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到抛物线y=-2x2+4x+3.感悟新知知5－练[模拟·衢州柯城区]由二次函数y=-x2+2x

可知()A.图象的开口向上B.图象的对称轴为直线x=-1C.函数的最大值为-1D.当x≤1时，y随x的增大而增大例8解题秘方：本题可不用配方法将二次函数的一般式化成顶点式，根据公式求出对称轴，再利用二次函数的性质作出判断.知5－练感悟新知

答案：D知5－练感悟新知8-1.[期末·成都武侯区]关于二次函数y=x2+2x-8，下列说法正确的是()A.图象的对称轴在y

轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0，8)C.当x<-1时，y

随x的增大而增大D.y的最小值为-9D感悟新知知5－练二次函数y=ax2+bx+c的图象如图26.2-6所示.给出下列结论：①

b<0；②c>0；③a+b+c>0；④4a+2b+c<0.其中正确的个数是()A.1 B.2

C.3 D.4例9感悟新知知5－练思路导引：知5－练感悟新知解：答案：C序号分析判断①抛物线开口向下→a<0抛物线的对称轴在y轴右侧→->0×②抛物线与y轴交于正半轴上一点→c>0√③观察图象→当x=1时，y>0→a+b+c>0√④观察图象→当x=2时，y<0→4a+2b+c<0√→b>0知5－练感悟新知9-1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a

≠0)，则下列结论：①abc<0；②2a+b>0；③2a-b<0；④a+b+c>0；⑤a-b+c<0.其中正确的有(

)A.1个 B.2个C.3个 D.4个D感悟新知知6－讲知识点6用待定系数法求二次函数的解析式(拓展点)1.用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤(1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的解析式；(2)列：把已知点的坐标代入所设的二次函数的解析式，列出关于解析式中待定系数的方程或方程组；(3)解：解方程或方程组，求出待定系数的值；(4)

写：将求出的待定系数还原到解析式中，写出解析式.感悟新知知6－讲2.二次函数解析式的类型解析式类型形式适用情况一般式y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)当已知抛物线上任意三个点的坐标时，通常设一般式求解顶点式y=a(x-h)2+k(a，