考研数学一（线性代数）模拟试卷1

考研数学一(线性代数)模拟试卷1

一、选择题(本题共74题，每题1.0分，共74分。)

NJ1为

1、设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且IAI=2,|BI=6,则

().

A、24

B、-24

C、48

D、一48

标准答案：D

知识点解析：

11

4]I4o]1

T=(一1)'=T4||=一4又2,X6=-48,选(D).

2BrJ|O2BJTIATl2

2、设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4,且IE+AI=0,则I2E+A2I为

().

A、0

B、54

C、-2

D、-24

标准答案：B

知识点解析：因为A的每行兀素之和为4,所以A有特征值4,乂IE+AI=0,所

以A有特征值一1,于是2E+A2的特征值为18,3.于是I2E+A2|=54,选(B).

3、设n维行向量”(2。…02),A=E—aTa,B=E+2aTa,则AB为().

A、0

B、一E

C、E

D、E+aTa

标准答案:C

心由aaT=J,得AB=(E-aTa)(E4-2aTa)=E,选(C).

知识点解析：2

4、设A,B为n阶矩阵，则下列结论正确的是().

A、若A,B可逆，则A+B可逆

B、若A,B可逆，则AB可逆

C>若A+B可逆，则A—B可逆

D、若A+B可逆，则A,B都可逆

标准答案：B

知识点解析：若A,B可逆，则IAI#),IBI网，又IABI=IAIIBI,所

以IAB|翔，于是AB可逆，选(B).

5、设A,B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是().

A、AB为对称矩阵

B、设A,B可逆，则A-1+B-1为对称矩阵

C、A+B为对称矩阵

D、kA为对称矩阵

标准答案：A

知识点解析：由(A+B)T=AT+BT=A+B,得A+B为对称矩阵：由(A“+B")T=(A-

1)T+(B")T=A」+BL得A」+B-1为对称矩阵；dj(ka)T=kAT=kA,得kA为对称矩

阵，选(A).

6、设A,B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是().

A、AB=O的充分必要条件是A=0或B=0

B、AB^O的充分必要条件是A/)且B，0

C、AB=OKr(A)=n,则B=O

D、若AB和,则IAI加或IBI加

标准答案：C

知识点解析：

取A=C；)*OI=(J1」)KO,显然AB=O,故(A)、(B)都不对,取A=

/I0\/I0\/I0\

(1，B=,八，显然AB=HO.但|4|=。且|b|=o,故(D)不对；由AB

'00/\10/\o0/

=O得+A)+r(b)&%因为r(A)=%所以r(B)=0,于是B=O,所以选(C).

7、n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B,则().

A、IAI=IBI

B、IAIRIBI

C、若|AI=0则IBI=0

D、若IAI>0则IBI>0

标准答案：C

知识点解析：因为A经过若干次初等变换化为B,所以存在初等矩阵Pi，Ps,

Q1，…，Q”使得B=P5…PiAQi…Q(,而Pi，…，Ps，Qi，…，Q都是可逆矩

阵，所以r(A)=r(B),若IAI=0,即r(A)<n,则r(B)<n,即IBI=0,选(C).

8、设A为mxn阶矩阵，C为n阶矩阵,B=AC,且r(A)=r,r(B)=ri,则().

A、r>ri

B、r<ri

C、r>ri

D、r与口的关系依矩阵C的情况而定

标准答案：C

知识点解析：因为ri=r(B尸r(AC)S(A尸r,所以选(C).

9、设A为mxn阶矩阵，B为nxm阶矩阵，且m>n,令r(AB)=r,贝ij().

A、r>m

r=m

C>r<m

D、r>m

标准答案：C

知识点解析：显然AB为m阶矩阵，r(A£n,r(B)<n,而r(AB)gmin{r(A),r(B))<n

<m,所以选(C).

10、设A为四阶非零矩阵，目r(A')=l,则().

A、r(A)=l

B、r(A)=2

C、r(A)=3

D、r(A)=4

标准答案：C

知识点解析:因为r(A*)=l,所以r(A)=4—1=3,选(C).

11、设A,B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=0,则().

A、r(B)=n

B、r(B)<n

C、A2-*B2=(A+B)(A—B)

D、IAI=0

标准答案：C

知识点解析：因为AB=0,所以r(A)+r(B)Wn,又因为B是非零矩阵，所以

r(B)>l,从而r(A)Vn,于是IAI=0,选(D).

34)

12、O3A-1)'2A',一阵为

(A)(B)

2B}o

O

(C)(D)

iB，o%o

（）.

A、

B、

C、

D、

标准答案:D

AI都是可逆矩阵，因为（二AO

A1O

，选（D）.

知识点解析:

13、

a”a】2a1？<2iza］】2aI?+010100

设A=22,6=au«：i2a22+M♦Pi=100,p?=012■

fljia®flsi2a”+a”001001

则A・B的关系为（

A、B=P[P2A

B、B=P2PJA

C、B=P2Api

D、B=AP2PI

标准答案：D

知识点解析：P1=E12,P2=E23（2）,显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将

第1及第2列对调，所以B=AE23（2）Ei2=AP2Pi，选（D）.

A、B=PIAP2

B、B=P2Api

-,

C、B=P2API

D、B=PJAP2"

标准答案：D

001)(100

l

显然8=010A01-2=PAP2.

100001

知识点解析：因为，所以应选⑴).

二、填空题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)

/+2-23

设，(工)=12x4-34，则#项的系数为,

15、-2-13x4-1

标准答案：23

知识点解析♦：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于

(x+2)(2x+3)(3x+l),且该项带正号，所以x2项的系数为23.

16、设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1,2,3..IAI的第二行元素的代数余

子式分别为a+1,a—2,a—1,则a=.

标准答案：1

知识点解析：由(a+l)+2(a—2)+3(a—1)=0得a=l.

OA

|A|=a,b:=办•则

17、设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且BO-

标准答案：(・l)mnab

知识点解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别

与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则

18、设A=(ai，。2,。3)为三阶矩阵，且IAI=3,则Iai+2a2,az-3a3,aj+2aiI

标准答案：-33

知识点解析：Iai+2a2,CL2—3a3,as+2aiI=Iaj.ai—3a3,a3+2aiI+I2a2，

ct2-3a3，a3+2aiI=Iai,a2-3a3，(13I+2Ia2，-3a3，a3+2aiI=Iaj,(12，013I

-6Ia2，013,a3+2aiI=Iai，012，a3I-6Ia2，013,2aiI=Iaj,a2，as一

12I。3，aiI=Iai，012，013I—12Ia)>g,0.3I=一33

19、设三阶矩阵A=(a,yi，72)，B=(p,yi，丫2)，其中a,p,yi，丫2是三维列向

量，且IAI=3,IBI=4,则I5A-2BI=.

标准答案：63

知识点解析：由5A—2B=(5a,5yi，5y2)一(20,2yi，2y2)=(5a—20,3y\,3”),

得15A—2BI=I5a—2(3,3yl,3y2I=9I5a—20,yi,72I=9(5la,yi,

丫2I-2I0,yi，Y2I)=63

Tr

20、设a=(l,—1,2)T,p=(2,1,l),A=ap,则.

211

3i-2-1-1

标准答案：422

知识点解析：

211

/%=3*2="T・"T=34T=34,则*=3—A=31-2-1-1

422

101

A-020•且Q=2.则*—24i=_______.

21、b01

标准答案：0

知识点解析：由A?=2A得An=2n/A,An-1=2n-2A,所以A”一2人e=0.

101

设A=020，则(4+3E)7(*—9E)=.

22、001

-201

0-10

标准答案：°°一2

知识点解析：

-201

(A4-3E),(A2-9E)=(A4-3E),(A4-3E)(A-3E)=A-3E=0-10

00-2

23、A2-B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是________.

标准答案：AB二BA

知识点解析：A2一B2=(A+B)(A一B)=A2+BA—AB一B2的充分必要条件是

AB=BA.

24、设A是三阶矩阵，且IAI=4,则1(别‘

标准答案：2

|(jA),|=|2A->|=23|A'1|=2

知识点解析:

25设A为三阶矩阵，且IA1=4•则|.

标准答案：万

知识点解析：

由A・=|AI41=44”得[传4・I=|(2A*)->|=IyAI=±|A|=1

26设A为四阶矩阵，IA，1=8,则_3A•卜.

标准答案：8

知识点解析：因为A为四阶矩阵，且IA*I=8,所以|A*I=IAI3=8,于是I

AI=2.又AA：=IAIE=2E,所以A*=2A-1,故

|(jA),-3Ae=|4A1-6A-*|=|(-2)A1|=(-2)4|A-1|=16Xy=8

27、设A为三阶矩阵，且IAI=3,则I(一2A)*I=.

标准答案：576

知识点解析：因为(-2A)*=(—2)2A*=4A*,所以I(-2A)*I=I4A‘I4|AI

2=64x9=576.

23-1

设A=120,则A1=.

28、2-2

4-4-2

2-251

6,

标准答案:-47-1

3-11002oo0

（A：E）=20000-1-110

12-20004-201

2_

100_22

~3T

12000

1色

000——

012~66

00一64-7

17_

001_2

TT6

4-4-2

则A-i-251

知识点解析:一47-1

200

100

设A,则A-=

001-2

29、0011

100

-2500

002

TT

00£

标准答案："33

知识点解析:

521A

设A=，则A=，于是A~=

211

A21

1-200

12-2500

-23

而•故A,00£2

5_211

~13

002

~3

100

220•则（A・）T

30,345

100

220

io

标准答案：345

知识点解析：

100

|A|-10,因为A・=|.|八所以A・=10Ai,故G4・)T=告=="220

345

300

设4=140，则G4-2E)'

31、003

100

11n

22

标准答案：001,

100

A-2E=120.

001

00100100I00

20010-020-110

01001001001

00100

10-y10，

01001

100

则(4一2£),=-yy0

知识点解析：001

32、设A为n阶可逆矩阵（定2）,则[（A*）*]"=（用A’表示）.

4・

标准答案：匚丁尸.

由A・=|A得

(4'J*=|A*|.(A')1=|AI"1"(|A|A”"=|从广其，

19

1A_>>.IAIAA

故[(A，)・]|A尸41Ali।4尸

知识点解析:

1

21

标准答案：1

知识点解析:

令A=(6,S，小)，因为IA|=2,所以A・A=|A|£=2E,

200

而A，A=(A，aa?,4,a)•所以A'a,—0•A022♦A-0

002

于是

34、设n维列向量a=(a,0,…，0,a)T,其中aVO,又A=E・acJ,

B=E+%1T，且B为A的逆矩阵，则&=.

标准答案：・1

知识点解析：

由AB=(E—<KXT)+~^aa，)=E+-^-aaT—aar—2aaaT=E且a。1/O,

得上一1-2a=0,解得a=-l.

a

4-00

3

A=04-0

4

35、设三阶矩阵A.B满足关系A/BA=6A+BA,且1007

则

B=.

3

2

标准答案：I1

标准答案：2

知识点解析：因为IBI=10/0,所以r(AB)=r(A)=2.

1a-2

设A=63c,8为三阶非零矩阵，且AB=O,则厂(A)=_______.

37、Id-5

标准答案：2

知识点解析:因为AB=0,所以r(A)+r(B)S3,又因为B#0,所以r(B)Nl,从而有

r(A)<2,显然A有两行不成比例,故r(A巨2,于是r(A)=2.

100100

00101o，则

38、010-201

100

201

标准答案:010

00

Pi001=&-因为匹,=£“，所以星E,于是

00

1001001.00

代叫61=pi

jP：001010201

知识点解析:010201010

三、解答题(本题共4题，每题分，共4分。)

二48

(。十2尸+4)，

计算D="g+2>(6+4产

40、/(c+2>(c+4>

标准答案:

D

知识点解析：暂无解析

b+cc+aa+bab

证明：D=b\+GCJ+d|fli+仇=2a】b\q

41、仇