考研数学二（线性代数）模拟试卷33

考研数学二(线性代数)模拟试卷33

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、向量组ai，az，…，as线性无关的充要条件是().

A^ai，s,…,as均不为零向量

B、ai，(X2,…，as中任意两个向量的分量不成比例

C、ai，a2，…，as中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示

D、ai，(12，…，as中有一部分向量线性无关.

标准答案：C

知识点解析：若囚，。2，…，0s线性无关,则a1，(X2，…，as中任一个向量都不

可由其余向量线性表示；反之，若囚，。2,…，心中任一个向量都不可由其余向

量线性表示，则a］,(12,…，理线性无关,应选©.

2、设矩阵Amxm,r(A)=m<n,Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是().

A、A通过初等行变换必可化为［Em，0］的形式

B、A的任意m阶子式不等于零

C、A的任意m个列向量必线性无关

D、非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多解

标准答案：D

知识点解析：显然r(A%r(A尸m,因为凶为mx(n+l)矩阵，所以gm,于是

=r(A)=m<n,故AX=b一定有无数个解，应选(D).

3a+24

5aa+5

3、设A=h-12J,若齐次方程组AX=0的任一非零解均可用口线性表

示,则a=().

A、3

B、5

C、3或-5

D、5或-3

标准答案：A

知识点解析：因为AX=0的任一非零解都可由口线性表示，所以AX=0的基础解系

只含一个线性无关的解向量，从而r(A)=2.由A=

2

a—5

-2J得法5:2,解得

1-2

0,。2二0

1I都是线性方程组AX=O的解向量，只要系数矩阵A为

4、设ai=1

().

123-121

(A)312(B)020

211.010

标准答案：C

知识点解析：因为ai，(X2线性无关，所以AX=O的基础解系至少含两个线性无关

的解向量，从而r(A)q,再由题意得显然选(C).

—74—4

-1810-8

5、设A=2—13],则()不是A的特征向量.

A、(-1,1,-1)T

B、(1,2,0)T

C、(0,I,1)T

D、(2,4,-1)T

征向量，应选(A).

6、T~-7f二'13[100'

(A)-120(B)020

306503

'780000

(0009(D)000

000789

().

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

780

009

知识点解析：00的特征值为7,0,0,因为r(0E-A尸r(A)=2,所以九=9对

应的线性无关的特征向量只有一个，该矩阵不可相似对角化，应选(C).

7、设A,B均为n阶实对称矩阵，若A与B合同，则().

A、A与B有相同的特征值

B、A与B有相同的秩

C、A与B有相同的特征向量

D、A与B有相同的行列式

标准答案：B

知识点解析：因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P,使得P「AP二B,从而

r(A)=r(B),应选(B).

1111)14000

111000

111000

8、设A1111

1J10000，则A与B().

A、合同且相似

B、合同但不相似

C、不合同但相似

D、不合同且不相似

标准答案：A

知识点解析：因为A,B都是实对称矩阵,且特征值相同，所以A、B既相似又合

同，应选(A).

二、填空题（本题共夕题，每题7.0分，共9分。）

fl2-2]

22

9、设三阶矩阵A=304，三维列向量a=（a,1,1）二已知Aa与a线性

相关，则a=

标准答案：

知识点解析：因为Aa与。线性相关.所以Aa与a成比例,令Ac=ka,即

12-2a=如，

21211•从而2a+3=A

30413a+4=A,解得a=-l.

fOl

10、设向量组b线性无关，则a,b,c必满足关系式

标准答案：abc，0

h0

0

知识点解析：由0b=2abcM0得a,b,C满足的关系式为abc翔.

则方程组有解应满足的条件为（X4-a1+。2-。3=0

133

一132

20t

12、若矩阵A=19£+7,B是三阶非零矩阵，满足AB=O,则1=_____

标准答案：1

知识点解析：由AB=O得r(A)+r(B)S3,因为r(B)多,所以r(A£2,又因为矩阵A

有两行不成比例,所以r(A巨2,于是r(A)=2.由A=

133rl33133

-132065065

20t0-6t-600t-1

19£+706r+4、00t-1得t=l.

13、设三阶矩阵A的特征值为2,3,X,若行列式12Al=-48,则九=

标准答案：-1

知识点解析：IAI=6入，由12Al=8IAI=-48得IAI=-6,解得入=-1.

0-2-2

22—2

14、矩阵1一2—22J的非零特征值是a?.

标准答案：4

A22

一2八一22

知识点解析：由IXE-A1=22A-2=)12a.4)=0得A的特征值为

11=12=0,入3=4,非零特征值为4.

0-2

135

2)有三个线性无关的特征向量，则a=

15、已知A=00

标准答案：-10

A2-a

—11—3—5

知识点解析：由I入E-AI=0°2-2=(二1)(卜2)2=0得入产1,入2=入3=2,

因为A可对角化，所以r(2E-A)=l,由2E-A二

2215

-1-10—a—10

000000J得a=10.

16、若''工）'34/相似，则x=,y=

标准答案：-17,-12

仔力，5=（12）

知识点解析：设A=\y工I\34,由A与B相似得lr（A）=lr（B）,即

x+22=5,解得x=-17；由IAI=IBI得・374・31y=2解得y=12.

1-1a

135

17、已知矩阵A1°02）只有两个线性无关的特征向量，则A的三个特征值

是,a=

标准答案：入1=入2=九3=2，-5

A-11-a

-1A—3-5

知识点解析：I入E・AI=00入-2=（八2）3=0,特征值为入户2=52,

因为九L九2=入3=2只有两个线性无关的特征向量，所以r（2E-A）=l.由2E-A=

11一。

-1—1—5

000J得a=5.

三、解答题（本题共76题，每题1.0分，共76分。）

2i\+3与一为=0，

<

设四元齐次线性方程组（I）为1/+24+4一4=°，且已知另一个四元齐次

线性方程组（II）的一个基础解系为川=（2,-1,a+2,1）T,a=（-l,2,4,a+8）T.

18、求方程组（I）的一个基础解系；

0-53\

13-2/方程组（I）的基础解系为

知识点解析：暂无解析

19、当a为何值时，方程组（I）与方程组（口）有非零公共解?

标准答案：（n）的通解为

2Z]-k

-+2lt

(a+2)/]+4/2

/I+(a+8)Z2

2(2。-It)+3(—l\+2l2)—(a+2)Z>—4Z?=0,

[22]—，z+2(—li+2lt)+(a+2)。+4。-h—(a+8)4=0«

一(a+l"i=0,

整理得1

(a4-DZi—alt=0»因为两个方程

一储+1）0

=0

组有公共的非零解，所以h，12不全为零，从而-a,解得a=-

1或a=0.

知识点解析：暂无解析

101

020

20、已知0是A=10。I的特征值，求a和A的其他特征值及线性无关的特征

向量.

101

020

标准答案：因为0为A的特征值，所以IAI=1°a=0,解得a=l.由I入E・

AI=二=入（入-2产=0得入产0,入2=入3=2入产代入QE-A）X=0,由0E-A二得入户0对应

的线性无关的特征向量为ai=5入3=2代入（2E-A）X=0,由2E-A=得X2=X3=2对应

的线性无关的特征向量为（12二

知识点解析：暂无解析

21、设A是三阶矩阵，其特征值是1,2,3,若A与B相似，求IB*+EI

标准答案：因为A〜B,所以B的特征值为九户1,b=2,入3=3,B*的特征值为

网=6,仍1—3,⑻

猫‘的'=2,B+E的特征值为7,4,3,故IB*+EI=84.

知识点解析：暂无解析

22、已知二次型/=2*+36+3式+2仄"3俗＞0）,通过正交变换化成标准形

f=5+25+5乂求参数@及所用的正交变换矩阵.

200

03a,x=

标准答案：设庆二0a3则f=XTAX.A的特征值为Xi=l,

0r*i

12=2,入3=5,由IAI=2(9-a2)=10a=2,A=一为=1代人QE-A)X=0,由E-A二

得Xj=l对应的线性无关的特征向量为ai=入2=2代入QE-A)X=0,由2E-A=得Z2=2

对应的线性无关的特征向量为a2=入3=5代入(入E-A)X=0,由5E-A=得兀3=5对应的

线性无关的特征向量为a3=

知识点解析：暂无解析

1-22

—2a4

23、设a是整数，若矩阵A」24-2J的伴随矩阵A*的特征值是4,-

14,-14.求正交矩阵Q,使QTAQ为对角形.

标准答案：IA*I=4x(-14)x(-14)=282,由IA*I=IAI2得|AI=28或IA|二

1-22

IA|=-2a4

2

28.4-2=-6a-40.若-6a-40=28,则a=不合题意，舍

去；若-6a-40=-28,则a=-2,从而A=A的特征值为入尸-7代入(入E-A)X=0,由-7E-

A二得入尸-7对应的线性无关的特征向量为ai=

知识点解析：暂无解析

24、n阶矩阵A满足A2-2A-3E=O,证明A能相似对角化.

标准答案：由A2-2A-3E=0得(E+A)(3E-A)=0,则r(E+A)+r(3E-A)Sn；由

r(E+A)+r(3E-A)>r(4E)=n得r(E+A)+r(3E-A)=n.(I)当r(E+A)=n时，A=3E为对角

阵；(2)当r(3E-A尸n时，为对角矩阵;(3)r(E+A)<n,r(3E-A)<n,则IE+AI

=0,I3E-AI=0,A的特征值幻=-l，入2=3.入i=-l对应的线性无关的特征向量个

数为n-r(-E-A)=n-r(E+Ai；入2=3对应的线性无关的特征向量个数为n-r(3E-A).因

为n-r(E+A)+n-r(3E-A)=n,所以A可相似对角化.

知识点解析：暂无解析

1-11

a4b

25、设A=l-3-35J,已知A有三个线性无关的特征向量且入=2为矩阵A

的二重特征值，求可逆矩阵P,使得P】AP为对角矩阵.

标准答案：由大1=入2=2及X|+X2+X3=tr(A)=10得X3=6.因为矩阵A有三个线性无关

的特征向量，所以r(2E-A)=l,由2E-A二

11-1]fl-1

-a-2-b—►0a-2-a-b

33-3100。J得a=2,b=-2.1i=M=2代入(入E-

A)X=0,由2E-A一区得3=入2=2对应的线性无关的特征向量为ai=治=6代入

(XE-A)X=O,由6E-A=得入3=6对应的线性无关的特征向量为二令P二

知识点解析：暂无解析

21012323](200

120,B=456,C=035,D=021

已知A=00t333005010

26、t取何值时,A为正定矩阵?为什么?

仔>0,

^3>0,

标准答案：由国>0•得>(),当t>0时,

因为A的顺序主子式都大于零，/以

A为正定矩阵.

知识点解析：暂无解析

1

2

得r(B)=2,因为A与B等

价，所以r(A)=r(B)=2<3,故t=0.

知识点解析：暂无解析

28、I取何值时,A与C相似?为什么?

A-2-10

-1A-20

标准答案：C的特征值为九产1,入2=3,人=5,由I入E-Al=00A-

=(九")Q-3)Q・t)=0得A的特征值为箱=1,入2=3,九3=3故t=5.

知识点解析：暂无解析

29、t取何值时，A与D合同?为什么？