考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷31

考研数学三（解答题）高频考点模拟试

卷31

一、解答题（本题共15题，每题1.0分，共15分。）

U1IX1+。[5+,,,+01."2・=0

<221.Tj4-a2tX：+02.=0

（1）1.

*

1、己知线性方程组匕5+。“212+・・・+。・."2・=0的一个基础解系为：

（b][,b|2»...»b],2n）T,（b2l>b22，…，b2,2n）T，…，（bnl,b⑵…,b[,2n）T°试与

»】S+如“+…+仇士”=0

„如yi+如力+…+与=0

（n）5.

*

出线性方程组%*+必/+・・・+葭2”=0的通解，并说明理由。

标准答案：记方程组（I）、（11）的系数矩阵分别为庆、B,则可以看出题给的（I）的

基础解系中的挖个向量就是B的n个行向量的转置向量，因此，由（I）的已知基础

解系可知ABT=O转置即得BAT=O因此可知AT的n个列向量—即A的n个行向

量的转置向量都是方程组（II）的解向量。由于B的秩为n,故（口）的解空间的维数

为2n—n=n,所以（II）的任何n个线性无关的解就是（II）的一个基础解系。已知

（I）的基础解系含n个向量，故2n—r（A）=n,得r（A）=n,于是A的n个行向量线

性无关，从而它们的转置向量构成（口）的一个基础解系，因此（D）的通解为

TT

y=C]（a||,3|2>…，ai,2n）+C2（321»^22»…，@2，2n）+…+CnSnl，3n2»…，^n.

2n）T,（C|,C2，…，Cn为任意常数）

知识点解析：暂无解析

C（%2-E）e"d»

2、求函数f（x）="的单调区间与极值。

2xfe-12dt

标准答案：由r（x）=入=o,可得，x=o,+1。列表讨论如下:

X(-®.-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)

/'⑴一00-0♦

减极小值增极大值减极小值增

因此，f（X）的单调增加区间为（一1,0）及（1,+00）,单调减少区间为（一

oo,—i）及（o,i）；极小值为f（1）=f（-1）=0,极大值为f（0）Mo1

1

le'dl=y（1-e）o

知识点解析：暂无解析

-4/1，♦4/1♦3”

3、求幕级数治2n.i的收敛域及和函数。

linJj2-1+1）.3

标准答案：由于-I二-…4/.4〃.32〃+3一，所以收敛半径

R=h且在x=±l处级数发散，故收敛域为（-1,1”又

£=£（2-1+高广斗2”.I*•£设有

与（*）=£（2-1）/，帆力⑴山==X，FT7,所以'⑺=（a）'=（；：却设有

与⑷•£高产=沌由=为（川。<⑶<|）则心”）"£：={?,取不定

积分得力⑴="匕"，S3（0尸0TC=0,所以和函数"八热J'fn已其中

0<Ix|<1,s（0）=3o

知识点解析：暂无解析

4、设A是n阶正定矩阵，证明：|E+A|>1.

标准答案：因为A是正定矩阵，所以A的特征值入i>0,X2>0,...,Xn>0,因此

A+E的特征值为九入2+1>1，…，Xn+l>l,故|A+E|=（Q+1）&+1）...（窿+D

>1.

知识点解析：暂无解析

5、设总体X〜N（pi,o2）,X1，X2，…，Xn+1为总体X的简单随机样本，记

天一抬X,,S2—9在（XT",求统计量7J；XT7二

从的分布.

标准答案：

因为X-]〜〜且它们相忆独立.

所以X^-XN(0J).

”〜/（〃一1）.又Xp又与红二相互独立，所以由t分布的定义，有

（J

知识点解析：暂无解析

6、求下列复合函数的偏导数：(I)设u=f(x,xy),v=g(x+xy),且f和g具有一阶

剪.包.冈

连续偏导数，求a“端(II)设z=f(xy)+y(p(x+y),且f,(p具有二阶连续偏导

数，求

标准答案：(I)由复合函数求导法可得dx又v=g(x+xy,)是一元函数

丫=8(乂)与z=x+xy的复合函数,z是中间变量,同样由复合函数求导法得区(H)

先求.由于f(xy)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合，u是中间变量，(p(x-y)

是一元函数(p(v)与二元函数v=x+y的复合，v是中间变量.由题设知方便，由复合

函数求导法则得

知识点解析：暂无解析

7、设A为n阶正定矩阵.证明：对任意的可逆矩阵P,PTAP为正定矩阵.

标准答案：首先AT二A,因为(pTAP)T=pTAT(pT)T—pTAP,所以pTAP为对称矩

阵，对任意的X#),XT(PTAP)X=(PX)TA(PX),令PX=a,因为P可逆且X#),所

以期0,又因为A为正定矩阵，所以aTAa>0,B|JXT(PTAP)X>0,XT(PTAP)X

为正定二次型，于是P【AP为正定矩阵.

知识点解析：暂无解析

.-1.

8、判断级数六】^"的敛散性.

标准答案：

1

W

因为lim=lim—b-y=1,而£上发散，由比较审敛法的极限形式得级数

…(而)念〃

7

£力发散•

者识点解析：暂无解析

Inf

9、将函数f(x)=”-3展开成x-2的基级数，并求出其收敛区间.

InIn禺'〃)

标准答案：令u=x-2,于是x=u+2,f(x)=则

/(")=/

20+k

猛(-1尸阳+*=£3)•煮+1u

~2

上式成立的范围是<

1且|u|Vl,即|u|Vl.从而知

欢“)=飙0)十J；火「-1)"/+】上也=in2^1・1/破7+1]/

即有/(力=ln2+£+l］(x-2)^,l<z<3.

知识点解析：暂无解析

。判别,部"中］的敛散性.

标准答案：由泰勒公式，

由于吧〃思一。©)卜幺表明级数£彷一°C)］发散;而级数钟家为条件)

收敛，故原级数发散.

知识点解析：这是交错级数，但不易判别|如囹Un+小因此不能使用莱布尼茨判别

法.为了能确定-般项4=W+空］的级别，需使用泰勒公式.

12/-］

»2=-1,%=1

11、设向量组,」1.线性相关，但任意两个向量线

性无关，求参数L

标准答案：向量组为，我2,(13线性相关的充分必要条件是Iai，a2,a3I=0,

12r-1

c+2-11

而Icq,a2,(13I=31—1=(t+l)(t+5),所以l=-1或者l=一

5,因为任意两个向量线性无关，所以t=-5.

知识点解析：暂无解析

12、设A为n阶矩阵，口和入2是A的两个不同的特征值，xi，X2是分别属于Q和

大2的特征向量.证明：X|+X2不是A的特征向量.

标准答案：假设X1+X2是A的特征向量，则存在数/使得A(X1+X2)=MX]+X2)，则

入f=0,=

(X--X])X14-(1-—22)X2=0.因为九1#九2，所以X"X2线性无关,则=。

九1=入2.矛盾.

知识点解析：暂无解析

13.某种仪器由三个部，牛组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分

别为0.8,0.7与0.9.已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合

格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个

部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的

不合格率为0.9.求该仪器的不合格率；

标准答案：记事件B="仪器不合格”，Ai="仪器上有i个部件不是优质品"，i=l,

1,2,3.显然Ao，Ai，A2，A3构成一个完备事件组，且P(B|Ao)=O,P(BI

Ai)=0.2,P(BIA2)=0.6,P(BIA3)=0.9,P(Ao)=O.8x0.7x0.9：0.504,

P(Ai)=O.2xO.7xO.9+0.8x0,3x0.9+.0.8x0,7x0.1=0,398,

P(A3)=O.2X0.3X0.1=0.006,P(A2)=1-P(Ao)-P(A।)-P(A3)=0.092.应用全概

3

P(B)2P(4)p(8|4)

率公式.有i=0