2009年高考数学试卷（理）（北京）（解析卷）

2009年北京市普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3

至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共40分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用

2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。

2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字

母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。

一、本大题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．在复平面内，复数zi(12i)对应的点位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．已知向量a,b不共线，ckab(kR),dab如果c//d，那么

A．k1且c与d同向B．k1且c与d反向

C．k1且c与d同向D．k1且c与d反向

x3

3．为了得到函数ylg的图像，只需把函数ylgx的图像上所有的点

10

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

．若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则

4ABCDA1B1C1D11AB1ABCD60°A1C1

到底面ABCD的距离为

3

A．B．1C．2D．3

3

1

5．“2k(kZ)”是“cos2”的

62

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．若(12)5ab2(a,b为有理数），则ab

A．45B．55C．70D．80

7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为

第1页|共22页

A．324B．328C．360D．648

8．点P在直线l:yx1上，若存在过P的直线交抛物线yx2于A,B两点，且

|PA|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是

A．直线l上的所有点都是“点”

B．直线l上仅有有限个点是“点”

C．直线l上的所有点都不是“点”

D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

xxx

9．lim___________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

x1x1

xy20

10．若实数x,y满足x4则syx的最小值为__________。

y5

11．设f(x)是偶函数，若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点

(1,f(1))处的切线的斜率为______________。

x2y2

12．椭圆1的焦点为F,F，点P在椭圆上，若|PF|4，则|PF|_________；

921212

的小大为。

F1PF2____________

1

,x0

x1

13．若函数f(x)则不等式|f(x)|的解集为____________。

13

()x,x0

3

．已知数列满足：则；

14{an}a4n31,a4n10,a2nan,nN,a2009________

。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

a2014=____________

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分）

第2页|共22页

4

在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B，cosA,b3。

35

（I）求sinC的值；

（Ⅱ）求ABC的面积。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

16．（本小题共14分）

如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC,PAAB,ABC60,BCA90，

点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（I）求证：BC平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说

明理由。

17．（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红

1

灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min。

3

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。

第3页|共22页

18．（本小题共13分）

设函数f(x)xekx(k0)

（I）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

19．（本小题共14分）

x2y23

已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为3，右准线方程为x

a2b23

（I）求双曲线C的方程；

（）设直线是圆22上动点处的切线，与双曲线交于

ⅡlO:xy2P(x0,y0)(x0y00)lC

不同的两点A,B，证明AOB的大小为定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

20．（本小题共13分）

已知数集具有性质；对任意的

A{a1,a2,an}(1a1a2an,n2)P

a

，与j两数中至少有一个属于。

i,j(1ijn)aiajA

ai

（I）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由；

aaa

（）证明：，且12n

Ⅱa11111an;

a1a2an

第4页|共22页

（）证明：当时，成等比数列。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

Ⅲn5a1,a2,a3,a4,a5

参考答案解析

1．B2．D3．C4．D5．A6．C7．B8．A

1

9．10．611．112．2,12013．3,114．1，0

2

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

4

15.（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B,cosA，

35

23

∴CA,sinA，

35

231343

∴sinCsinAcosAsinA.

32210

3343

（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA,sinC，

510

又∵B,b3，

3

∴在△ABC中，由正弦定理，得

bsinA6

∴a.

sinB5

1163433693

∴△ABC的面积SabsinC3.

2251050

16．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又BCA90，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

1

∴DEBC，

2

第5页|共22页

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

1

∴△ABP为等腰直角三角形，∴ADAB，

2

1

∴在Rt△ABC中，ABC60，∴BCAB.

2

DEBC2

∴在Rt△ADE中，sinDAE，

AD2AD4

2

∴AD与平面PAC所成的角的大小为arcsin.

4

（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角ADEP的平面角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴PAC90.

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时AEP90，

故存在点E使得二面角ADEP是直二面角.

17（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于

事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A

1114

的概率为PA11.

33327

（Ⅱ）由题意可得，可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.

事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k0，1，2，3，4），

k4k

12

∴k，

P2kC4k0,1,2,3,4

33

∴即的分布列是

02468

P1632881

8181278181

16328818

∴的期望是E02468.

81812781813

18．（Ⅰ）f'x1kxekx,f'01,f00,

第6页|共22页

曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程为yx

1

（Ⅱ）由f'x1kxekx0，得xk0，

k

1'

若k0，则当x,时，fx0，函数fx单调递减，

k

1'

当x,,时，fx0，函数fx单调递增，

k

1'

若k0，则当x,时，fx0，函数fx单调递增，

k

1'

当x,,时，fx0，函数fx单调递减，

k

1

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k0，则当且仅当1，即k1时，函数fx在1,1

k

内单调递增；

1

若k0，则当且仅当1，即k1时，函数fx在1,1内单调递增，

k

综上可知，函数fx在区间1,1内单调递增时，k的取值范围是

1,00,1.

a23

19．（Ⅰ）由题意，得c3，解得a1,c3，∴b2c2a22，

c

3

a

y2

∴所求双曲线C的方程为x21.

2

（）点在圆22上，

ⅡPx0,y0x0y00xy2

x

圆在点处的切线方程为0，化简得

Px0,y0yy0xx0x0xy0y2

y0

y2

x21

由及22得222，

2x0y023x04x4x0x82x00

x0xy0y2

∵切线与双曲线交于不同的两点、，且2，

lCAB0x02

第7页|共22页

∴2，且222，

3x04016x043x0482x00

设、两点的坐标分别为，

ABx1,y1,x2,y2

4x82x2OAOB

则00，∵，

x1x22,x1x22cosAOB

3x043x04OAOB

1

且，

OAOBx1x2y1y2x1x222x0x12x0x2

y0

1

2

x1x2242x0x1x2x0x1x2

2x0

2222

82x18xx082x0

040

3x242x23x243x24

0000

82x22x28

00.

220

3x043x04

∴AOB的大小为90..w.k.s.5.u.c.o.m

4

20．（Ⅰ）由于34与均不属于数集1,3,4，∴该数集不具有性质P.

3

661236

由于12,13,16,23,,,,,,都属于数集1,2,3,6，

231236

∴该数集具有性质P.

a

（）∵具有性质，∴与n中至少有一个属于，

ⅡAa1,a2,anPananA

an

由于，∴，故.

1a1a2ananananananA

a

从而n，∴

1Aa11

an

∵，∴，故.

1a1a2anakananakanAk2,3,,n

a

由A具有性质P可知nAk1,2,3,,n.

ak

aaaaaaaa

又∵nnnn，∴nnnn，

a1,a2,an1,an

anan1a2a1anan1a2a1

第8页|共22页

aaaaaaa

从而nnnn，∴12n.

a1a2an1an111an

anan1a2a1a1a2an

aa

（）由（）知，当时，有55，即2，

ⅢⅡn5a2,a3a5a2a4a3

a4a3

a

∵，∴，∴，由具有性质可知4.

1a1a2a5a3a4a2a4a5a3a4AAPA

a3

aaaaaaaaa

由2，得34，且3，∴43，∴5432，

a2a4a3A1a3a2a2

a2a3a2a3a2a4a3a2a1

即是首项为，公比为成等比数列.

a1,a2,a3,a4,a51a2

解析

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

第9页|共22页

要求的一项。

1．在复平面内，复数zi(12i)对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.

∵zi(12i)i2i2i，∴复数z所对应的点为2,1，故选B.

2．已知向量a、b不共线，ckab(kR),dab,如果c//d，那么（）

A．k1且c与d同向B．k1且c与d反向

C．k1且c与d同向D．k1且c与d反向

【答案】D

【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考

查.

取a1,0，b0,1，若k1，则cab1,1，dab1,1，

显然，a与b不平行，排除A、B.

若k1，则cab1,1，dab1,1，

即c//d且c与d反向，排除C，故选D.

x3

3．为了得到函数ylg的图像，只需把函数ylgx的图像上所有的点（）

10

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

【答案】C

【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查.

A．ylgx31lg10x3，

B．ylgx31lg10x3，

x3

C．ylgx31lg，

10

x3

D．ylgx31lg.

10

故应选C.

．若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则

4ABCDA1B1C1D11AB1ABCD60°A1C1

到底面ABCD的距离为（）

3

A．B．1

3

第10页|共22页

C．2D．3

【答案】D

【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、

直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.（第4题解答图）

属于基础知识、基本运算的考查.

依题意，，如图，

B1AB60

，故选

BB11tan603D.

1

5．“2k(kZ)”是“cos2”的（）

62

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、

基本运算的考查.

1

当2k(kZ)时，cos2cos4kcos，

6332

1

反之，当cos2时，有22kkkZ，

236

或22kkkZ，故应选A.

36

6．若(12)5ab2(a,b为有理数），则ab（）

A．45B．55C．70D．80

【答案】C

【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.

∵

5012345

012345

12C52C52C52C52C52C52

15220202204241292，

由已知，得41292ab2，∴ab412970.故选C.

7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A．324B．328C．360D．648

【答案】B

【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.属于基础知

识、基本运算的考查.

首先应考虑0是特殊元素，当0排在末位时，有2（个），

“”A99872

当0不排在末位时，有111（个），

A4A8A8488256

第11页|共22页

于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328（个）.故选B.

8．点P在直线l:yx1上，若存在过P的直线交抛物线yx2于A,B两点，且

|PA|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）

A．直线l上的所有点都是“点”

B．直线l上仅有有限个点是“点”

C．直线l上的所有点都不是“点”

D．直线l上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”

【答案】A

【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以

及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问

题的能力.属于创新题型.

本题采作数形结合法易于求解，如图，

设Am,n,Px,x1，

则B2mx,2nx2，

∵A,B在yx2上，

nm2

∴

2

2nx1(2mx)

消去n,整理得关于x的方程x2(4m1)x2m210（1）

∵(4m1)24(2m21)8m28m50恒成立，

∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.

2009年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）（北京卷）

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题号二三总分

第12页|共22页

151617181920

分数

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

xxx

9．lim_________.

x1x1

1

W【答案】

2

【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”.属于基础知识、

基本运算的考查.

xxxxxxxx1x1

limlimlimlim，故应填

2

x1x1x1x1x1x1x1x1x12

1

.

2

xy20

10．若实数x,y满足x4则syx

y5

的最小值为__________.

【答案】6

【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知.

属于基础知识、基本运算的考查.

如图，当x4,y2时，

syx246为最小值.

故应填6.

11．设f(x)是偶函数，若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在

(1,f(1))处的切线的斜率为_________.

【答案】1

【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念.属于基础知识、基本运算

的考查.

取fxx2，如图，采用数形结合法，

易得该曲线在(1,f(1))处的切线的斜率为

1.

故应填1.

第13页|共22页

x2y2

12．椭圆1的焦点为F,F，点P在椭圆上，若|PF|4，则|PF|_________；

921212

的小大为

F1PF2__________.

【答案】2,120

【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属

于基础知识、基本运算的考查.

∵a29,b23，

∴ca2b2927，

∴，

F1F227

又，

PF14,PF1PF22a6

∴，

PF22

2

22

24271

又由余弦定理，得cosFPF，

122242

∴，故应填.

F1PF21202,120

1

,x0

x1

13．若函数f(x)则不等式|f(x)|的解集为____________.

13

()x,x0

3

【答案】3,1

【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考

查.

x0

1

（1）由|f(x)|113x0.

3

x3

x0x0

1xx

（2）由|f(x)|11110x1.

3

3333

1

∴不等式|f(x)|的解集为x|3x1，∴应填3,1.

3

．已知数列满足：则；

14{an}a4n31,a4n10,a2nan,nN,a2009________

第14页|共22页

a2014=_________.

【答案】1，0

【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.

依题意，得，.

a2009a450331a2014a21007a1007a425210

∴应填1，0.

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分）

4

在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B，cosA,b3.

35

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）求ABC的面积.

【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基

础知识，主要考查基本运算能力．

4

（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B,cosA，

35

23

∴CA,sinA，

35

231343

∴sinCsinAcosAsinA.

32210

3343

（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA,sinC，

510

又∵B,b3，

3

∴在△ABC中，由正弦定理，得

bsinA6

∴a.

sinB5

1163433693

∴△ABC的面积SabsinC3.

2251050

16．（本小题共14分）

如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC,PAAB,ABC60,BCA90，

点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由.

【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查

空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

第15页|共22页

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又BCA90，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

1

∴DEBC，

2

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

1

∴△ABP为等腰直角三角形，∴ADAB，

2

1

∴在Rt△ABC中，ABC60，∴BCAB.

2

DEBC2

∴在Rt△ADE中，sinDAE，

AD2AD4

2

∴AD与平面PAC所成的角的大小为arcsin.

4

（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角ADEP的平面角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴PAC90.

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时AEP90，

故存在点E使得二面角ADEP是直二面角.

【解法2】如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，

设PAa，由已知可得

133

.

A0,0,0,Ba,a,0,C0,a,0,P0,0,a

222

1

（Ⅰ）∵AP0,0,a,BCa,0,0，

2

∴BCAP0，∴BC⊥AP.

又∵BCA90，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

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13131

∴，

Da,a,a,E0,a,a

44242

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

13131

∵，

ADa,a,a,AE0,a,a

44242

ADAE14

∴cosDAE.

ADAE4

14

∴AD与平面PAC所成的角的大小为arccos.

4

（Ⅲ）同解法1.

17．（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红

1

灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.

3

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这