考研数学一（行列式）模拟试卷4

考研数学一(行列式)模拟试卷4

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

Qb0

bQ0

1、行列式D=101=0,则a,b应满足()

A^a=ba=-bo

B、a=2b且阜0。

C、b=2a且a翔。

2

D^a=l,b=2

标准答案：A

ab0

ba0

知识点解析：D=।°1=axax1+bx0x1+0xbx0-0xax1-bxbx1-axQxO=a2-b2=0,于

是a=b或a=-b，应选(A)。

2、设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a,则D=()

A、0o

B、a2

Ca2

2

D>nao

标准答案：A

知识点解析：假设这一列是第1歹U,按这一列展开，

D=aijA|j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA|j+aA2j+…+aA2nj，并注意到这一,列元素的代数余子

式中有n个为a,n个为-a,从而行列式的值为零，所以应选(A)。

di2C1-56,3bl

则

61b2b3=m,a22c2-5b23b2

6cc2C-5b33b3

3、若233=()

A、30mo

B、-15m。

C、6m。

D、-6mo

标准答案：D

4、设4阶行列式的第2列元素依次为2,m,k,3,第2列元素的余子式依次为

1,-1,1,-I,第4列元素的代数余子式依次为3,I,4,2,且行列式的值为1,

则m,k的取值为()

A、m=-4,k=-2o

B、m=4,k=-2<>

_12n

C、m=5,k=51

1212

D、m=5,k=5

标准答案：A

(ai2^12+a22^22+032^)2+042^42=1，

知识点解析：由行列式展开定理及推论，得1，出4+3八+。32八+1乙=0,

-m-A:-5=1,

{m+4A+12=0,解得m=-4,k=-2o

x1

12K34

13-x1

5、设多项式f(x)=l4X3x则X’的系数和常数项分别为()

A、6,16。

B、-6,6o

C>6,6o

D、-6,-6。

标准答案：D

知识点解析：由行列式的定义知，主对角线元素的乘积就是关于X’的项，x.2x(-

x).3x=-6x4,即X’的系数为-6。当x=0时行列式的值就是常数项，经计算f(0)=6,

即常数项为-6,故选(D)。

标准答案：D

°lla!2Q13

02Ia22a23

Q八°33=-2D]=-2mo或将行列式D|的第一列加到第二列上之后再互换二、

三列，再将第一列乘以就可得到行列式。

2D2根据行列式的性质知D2=-2DI=-

2mo

7、下列m阶行列式中，其值必为・1的是（）

11

11

00-01

01-00

•••

(D)：•••

00-10

10-00I

B、

C、

D、

标准答案：D

（_皿二+1）

知识点解析:（A）中行列式的值等于的奇偶性不定，行列式可

能为1，也可能为-1。（B）中行列式按第一列展开得1+（-1严+1,一定不等于-1。（C）

中行列式按第一行展开得Gl)m+1,行列式等于1或」。(D)中的行列式按第一列展

开之后,对n-1阶行列式再按第一列展开得l.GDm”田1(1产-1=-1。故(D)为正

确答案。

00ft,

0

a2b20

0

b3Q30

8、00%的值等于（）

A、aia2a3a4-bib2b3b4。

B、aia2a3a4+bib2b3b4。

C、(aia2-b]b2)(a3a4-b3b4)。

D、(a2a3-b2b3)(aia4-bib4)。

标准答案：D

知识点解析：根据行列式的拉普拉斯展开法则，将此行列式第2,3行(列)展开,

ka\I

得D=%%(/)2+3+2+34=伯2a3-h2h3)(ai；M-hihM)c所以应选(D)c

二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

9、(I)在一个n阶行列式D中等于“0”的元素个数大于J-n,则口=

00—010

00—200

•・•••

♦•••••

19990—000

（n）D=00—002000=__________<>

标准答案：0,-2000!

知识点解析：(I)n阶行列式D共有J个元素，由于“0”元素的个数大于r?-n,所

以非”(T元素的个数小于n(因为/.(/山户n)。由n阶行列式的概念可知，D的每一

项均为0(因为每一项中至少有一个“0”元素)，故D=0。(U)D=(-1严in2…

〃=2000gMg

一（一1）2ai,n-1a2.n-2--^nn（D

n-1a2，n-2---^n-ljann—'

x2x3x...x1999x2000=-2000!。

246427327

1014543443

10、D=-342721621

标准答案：-294x1()5

知识点解析：

246427-327327246100327411327

D=1014543-4434431014100443=6001691443

-342721-621621-342100621-571621

411327

128116

=f)001280116=-600

-98294

-980294

128500

-980

5

600X500X98=-294X10O

A-12-a

3A-a3

II、己知D=一。2A-1=0,则X=

标准答案：X|=l-a,入2=a+4,九3=a-3

知识点解析：将第3行的-1倍加至第1行，有

00

A-a6

2A-a-1=(X+a-1)[(X-

a)2-(X-a)-12]=(X+a-1)(X-a-4)(X-a+3),所以入入2二a+4,九3=a-3。

1a00

-12-aa0

0-23-aa

[2、00-34-a

标准答案：24

知识点解析：根据行列式的性质作恒等变形，可得

1a001a0000

-12-aa002a002a0

0-23-aa0-23-aa003a

00-34-a00-34-a0-34-a

1a00

02a0〜

=24

003ao

0004

y

标准答案:b'(b+3a。

知识点解析：每行元素的和均是ai+a2+a3+a4+6,故把每列均加到第一列，并提出

公因式，得

14、设&&P\则行列式第1列各元素的代数余子式之和

A11+A21+A31+A41=

标准答案：0

知识点解析：将行列式按第1列展开得AU+A21+A31+A4产

22223…2"

33235…3"

••••

••♦••

15、行列式D产。//…=<,

…日口

标准答案：*•,

知识点解析：将第k行的公因子k提到行列式外，其中k=2,3,…，n,再转置，利

用范德蒙德行列式的计算公式得

=n|(n-1)!(n-2)=口只。

F=l

1-x2

16、函数f(x)=23%中x3的系数为,x2的系数为。

标准答案：-2,-1

2xx1

1-x2

知识点解析：将行列式或对角线法则展开为多项式，得f(x)=23*=

2X3+4X+3-(-2X)-X2-12X=-2X3-X2-6X+3,于是函数f(x冲x3的系数为-2,x2的系数为-

lo

10X

12x2

17、设f(x)=13),则f(x+l)・f(x)=

标准答案：6x2

知识点解析:

0X10x

222

2x-12x=6xo

3/13?

2-7

2A-144

18、已知24A-14则入=

标准答案：12,15,18

知识点解析：

-172-72-7-17-5-7

2A-1442A-1442A-104

24A-14018—AA—1800A—18

A-17-5

=(A-18)(A-18)(A2-27A+180)

2A-10

=(X-12)(X-15)(1-18)=0,所以入的值为12或15或18o

三、解答题（本题共18题，每题1.0分,共18分。）

sin。b

1)；（n）2

19、计算下列二阶行列式:cos。b2

sin。co/

cos。-sin。=sinO.(-sin0)-cos0.cos0=-(sin20+cos2O)=-1(II)

标准答案：（I）o

ab

ab=ab2-a2bo

知识点解析；暂无解析

«1

20、计算Dn二

标准答案：利用行列式的性质得

n1+n2n12n,

=xDn.i+anx"=x(xDn-2an-1x-)+anx-=xDn-2+an-lx”“+anx""二Di+a2X-+...+an.

n-1n-1nn-1n-111-1n-1nn-1

ix+anx=x+aix+a2X4-...+an-ix+anx=x+xlai。

知识点解析：暂无解析

22+。…2

21、计算〃几…〃

标准答案：将2至n行的所有元素均加至第一行对应元素上，得

1+a1111

22+a…2=厂(几+1)4Q]224a…

:::::

nn•••n+ann再将第

一行的-i倍加至第i行(i=2,3,…，n)得

11­••1

原式=[m产+Q]:+1)1«-!

•••

00a

知识点解析：暂无解析

1—1…—1-1

11—1-1

•••*

••••

11-1-1

22、设n阶行列式D产11­••11,求Dn完全展开后的n!项中正

项的总数。

0—1…—1

—1—1一1

01—1

工•••1—1…—1

D&W•••=(--1)““・2

•••

01—1•••

11—1

21-1

00—2

1-1…—1✓

•••(_1)•2

•♦•♦•

标准答案：11—1

n+11+(n+1)24n-1

=(-l).2.(-1).(-2)Dn-2=4Dn-2=2Dn-2=2Dn-4=...=2,又因为Dn展开后各项

的值为1或-1,而n!项的和为2向，故正项个数比负项个数多2向个，于是正项总

数为2(出+2环)个。

知识点解析：暂无解析

4

ci4

••••

••

23、计算：D2n=J4,其中未写出的元素都是0。

标准答案：该行列式只有两条对角线上有元素，其余均为0,可以按照其中一行展

0

0

开，找出递推关系式。将D2n二按照第一行展开,

得区将两个行列式分别按照最后一行展开，得二andnD-bnCnD2n-2，由此得递推

公式D2n=(andn-bnCn)D2n-2o按照递推公式逐层代入得D2n=®&-尿出2，而

D2==aidi-bicio因此原行列式D2n=(aidi-biCi)。

知识点解析：暂无解析

a?2a1

•••

•♦•

a22a1

24、D=°22a证明行列式D=(n+l)a，

标准答案：用数学归纳法，记n阶行列式的值为Do。当n=l时，D|=2a,命题正

2a1

22a2n

确；当n=2时，D2=°=3a,命题正确；设nVk时，Dn=(n+l)a,命题正

确。当n-k时，按第一列展开，则有Dk二

2a1

a2Dk-2=2a(kak-1)-a(k-1)ak-2=(k+1)ak,所以D=(n+l)a,命题得证。

知识点解析：暂无解析

a2be

1

D=bbac<0o

25、设a>b>c>0,证明

标准答案：将行列式D的第1列乘a+b+c之后再加到第3列得

aabe：aa2a2+(16+ac+be

D=hb2acbb1b2+ab+QC+be

cc2ab,ccc2+a6+ac+6c

aaa6+ac+be1

bb2ab+ac+be=(abac+be)b21

cc2ab+ac+be1

111

(a6+ac+be)(abacbe)ab

2222

1ccabc=(ab+ac+bc)(b-a)(c-a)(c-

b),因为a>b>c>0,故D=(ab+ac+bc)(b-a)(c-a)(c-b)VO。

知识点解析：暂无解析

000

1100

010

26、计算n阶行列式D产0000

标准答案：当n>3时,第2行减第1行，然后第4行减第2行，变为分块行列

000…0

00100…0

110

00…0

00

000

01

0-3

000

式。即Dn=Dn-3二-Dn-3»且易求出

(-1产n=3A+3,

4

4二(-D,n=3A+1,

0,—3*+2,其中go,1,2,…。

D)=l,D2=0,D3=-l,于是

知识点解析：暂无解析

1+a2•

27、计算n阶行列式D产1+4

标准答案:

%

知识点解析：暂无解析

A-a-b4一1-x

28、计算下列二阶行列式(I)-C入-d(n)1'+Z+I

A-o-b

标准答案：(I)-0入-d=(X-a)(X-d)-(-b)(-c)=X2-(a+d)X+ad-bc<>(H)

X-1-X

1/+x+I=(x-1)(x2+x+1)-(-x).1=x3-1+xo

知识点解析：暂无解析

♦-10…00

X-1・・・o0

030X...00

••■•

*••■*

■*•*

a.-i00•••X—

29、计算行列式Dn二400•••0X的值。

I00

a2x-10

xa30x•••0

••••

••••

标准答案:将原行列式Dn按第n行展开，有Dn=%0°+an(-

00-0

—100

x—10

•♦•

00…T二xDn-l+an(-l严L(J)n"=xDn-l+an，递推得到D『

l=xDn-2'^^n-l(-l)n-(-l)n^=xDn-2'^^n-l»Dn-2=xDn-3+an-2，…D2二a|X+a2<>对以上n-1

个等式分别用1，X,X2,xn-2相乘，然后相加，得到D产a]Xn」+a2Xn-2+a3xn-

?+…+an-|X+an。

知识点解析：暂无解析

1111

abC

30、证明：kcaab=(a-b)(b-c)(c-a)<,

111

abc

标准答案：按对角线法则展开行列式，得辰caab=ab2+bc2+ca2-b2c-a2b-

ac2=(ab2-a2b)+(bc2-ac2)+(ca2-b~c)=ab(b-a)+(b-a)c~+c(a-b)(a+b)=(a-b)(-ab-c2+ac+bc)

=(a-b)[(ac-ab)+(bc-c2)]=(a-b)(a-c)(c-b)=(a-b)(b-c)(c-a)。

知识点解析：暂无解析

00-0

Oj0,，,00

0b2…00

••••

••••

000•••Q._|0

31、计算Dn1°00…*Q.

标准答案：由于该行列式每一行及每一列都只有两个非零元，根据展开定理将该行

0•••00

b2o)•••00

••••

••••

oo…4_]°

006,,,%+bx(-l)1+n

列式按照第一行展开得Dn=ain

61a20…0

0b2%…0

000•••a..(

°0°…""二aia2...an+(-l)n'bib2...bn。

知识点解析：暂无解析

a+bab

1a+bab

1a+bab

♦••

••••••

1a+6ab

nn_1n

32、证明Dn=1a+b=a+ab+...+bo

标准答案：将行列式按照第一行展开得Dn=(a+b)Dn.0-ab

1ab

a+bab

1a-¥bab

10+6再将后一个行列式按照第一列展开，

222

即得Dn=(a+b)Dn-i-abDn3且易得D|=a+b,D2=a+b+bo下面用数学归纳法证

明：假设当n=k及n=k.l时，等式成立，即Dk=ak+ak/b+…+b\

2k1kkkk-1k-2k-1

b+...+b',则Dk+i=(a+b)Dk-abDk.i=(a+b)(a+a-'b+...+b)-ab(a+ab+...+b)

=ak+1+akb-h...+bk+1o故D产an+an/b+…+於对所有的正整数成立。

知识点解析：暂无解析

XX2

zx<o(

xy•¥yz•¥zx)

33、设x>y>z>0,证明：zzxy

标准答案：将不等式中的行列式第1列乘以(x+y+z),第2列乘以(-1),并且均加到

=(xy+yz+zx)yJ।,

yzxxIxyz\11

因此加，+。//

zx=y/I=X2/?=xy

2

第3列，得z/xyzz1111x2y2

=(x-y)(y-z)(z-x)。由于x>y>z>0,有x-y>0,y-z>0,z-x<Oo故不等式

xX2yz

xy+yz+zx7Y3/zi70

z/xy成立。

知识点解析•：暂无解析

1

1

1

34、计算行列式D产■，其中X19X2，.・.，

x#0<>

标准答案：将行列式适当添加一行一列变成n+1阶行列式，其中行元素全部为1，

列的第一个元素是1，其余元素是0,利用行列式的性质化简为“爪型”行列式和上

.1

1+y11♦*♦11

00•••00

00*2•••00

*••*•

•■.•**•*

000•••4-10

000♦♦♦04

=(1+£与W%3

三角形行列式，得

知识点解析：暂无解析

巧%GAX2+/XX,AX,+/iX|

D=

力力力人力♦的24力+〃力入力+4力

+必

35、已知3工2h二d,计算行列式AZ|2AZ2+/U3AZ3+/UJ

标准答案：利用行列式的分解法进行计算:

*tAX2+/LX3AX3+.町八七+33

0=人力人力+可3Ay,+〃力+从Ji人力♦孙

+中［

Z|AZj+/IZ3AZ3马M+臼