考研数学三（线性代数）模拟试卷47

考研数学三(线性代数)模拟试卷47

一、选择题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

1、设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i,j=l,2,3),其中Ag为ag的代数余子

式，则下列结论：①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A

是正交矩阵.其中正确的个数为()

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：B

知识点解析:由afAij(i,j=L2,3)及伴随矩阵的定义可知：A*=AT,那么I

A*I=IATI,也即IAI2=|AI,BPIAI(IAI-1)=0.又由于A为非零矩

阵，不妨设ai尸0,则IAI=ai[A]i+a12Al2+a]3Ai3=aiJ+a^+a^X),故IAI

=1.因此，A可逆.并且AAT=AA*=IAIE=E,可知A是正交矩阵.可知①、

④正确，③错误.从题目中的条件无法判断A是否为对称矩阵，故正确的只有两

个，选(B).

2、设A,B均为n阶矩阵，且AB=A+B,则下列命题中：①若A可逆，则B可

逆；②若A+B可逆，则B可逆；③若B可逆，则A+B可逆；④A—E恒可

逆.正确的个数为()

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：D

知识点解析：由于(A—E)B=A,可知当A可逆时，IA—EIIBI和，故IBI

加，因此B可逆，可知①是正确的.当A+B可逆时，IABI=IAIIBI#),

故IBI¥0,因此B可逆，可知②是正确的.类似地，当B可逆时，A可逆，

故IABI=IAIIBI和，因此AB可逆，故A+B也可逆，可知③是正确

的.最后，由AB=A+B可知(A—E)B—A=O,也即(A—E)B—(A—E尸E,进一步

有(A—E)(B—E尸E,故A—E恒可逆.可知④也是正确的.综上，4个命题都是

正确的，故选(D).

123-

24t

3、已知Q=-369」，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=O,则()

A、1=6时P的秩必为1

B、t=6时P的秩必为2

C、/6时P的秩必为1

D、"6时P的秩必为2

标准答案：C

知识点解析：“AB=O”是考研出题频率极高的考点，其基木结论为：

1)AmxsB$xn=O=>r(A)+r(B)0S;②AmxsBsxn=O=>组成B的每一■列都是AmxsX=O的

解向量.对于本题，PQ=O=>r(P)+r(Q)<3=>1<r(P)<3-r(Q).当t=6时，

r(Q)=l=>Wr(P)W2=>r(P)=l或2,则(A)和(B)都错;当#6时,

r(Q)=2=>l<r(P)<l=>r(P)=l.

4、设n阶矩阵A,B等价，则下列说法中，不一定成立的是()

A、若IAI>0,则IBI>0

B、如果A可逆，则存在可逆矩阵P,使得PB=E

C、如果AwE,则IBI8

D、存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ二B

标准答案：A

知识点解析：两矩阵等，'介的充要条件是秩相同.当A可逆时，有r(A)=n,因此有

r(B)=n,也即B是可逆的，故B1B=E,可见(B)中命题成立.A三E的充要条件也

是r(A)=n,此时也有r(B)=n,故IBI川，可见(C)中命题也是成立的.矩阵A,B

等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B,可知(D)中命题也是成立

的.故唯一可能不成立的是(A)中的命题.事实上，当IAI>0时，我们也只能

得到r(B)=n,也即IB|翔，不一定有IB|>0.故选(A).

1111-

01-1a

23a4

5、设A=3519一，若r(A*)=l,则a=()

A、1

B、3

C、1或3

D、无法确定

标准答案：C

知识点解析：由r(A*)=l得r(A)=3,贝ljIAI=0,即

11111111

01-1a01-1a

0==(a-1)(6-2a).

23a400a-12—a

35190006—为得a=l或3,且此时均满

足r(A)=3,故选(C).

则必有()

A、APIP2=B

B、AP2Pl=B

C、P|P2A=B

D、P2P|A=B

标准答案：c

知识点解析：B由A第一行加到第3行(P2左乘A)再将第1,2行对换(再P|左乘

P?A)得到，故(C)成立.

ana\ta”014a14al3a”

a2iana2l024a24a23aUa2l

A=,B=

a3ianQaa33a32all

a

_4ia42。44__。44以43a”«J.

D00F■1000-

01000010

P|=，Pz=*

00100100

7、设000-COOL其中A可逆，则B等于

-l

A、AP|P2

-I

B、PIAP2

C、PiP2A1

-|

D、P2API

标准答案：c

知识点解析：因B=AP2P1，B-1=(AP2Pi)~I=Pr1P2_lA_1=PIP2A-1.

A・CT

8、设A是n阶矩阵，则U+A・AJ'=()

A、(-2)nIAIn

B、(4IAI)n

C、(―2产|A*I11

D、I4AIn

标准答案：B

*A*

知识点解析:-A+A':1|二(一2产|A*IIAI=4nIAIn=(4IAI)n.

23-Por•10O-

A=456P=010，Q=~110

.789..100.

9、设.o0L，则(p-I严6A(Q2°U)r=()

■80451005712069-402323一

(A)456(B)1005956

.789.1609589.

-123'120133-

(C)201540276039(D)480496

.789..7140859

A、

B、

C、

D、

标准答案:B

知识点解析:易知p22=E,故PIP,进一步有.一1产16^；P^,MP2)100^.利用

ri0O-io01■100_

-n10(°on)T=-201110201110

。1」,则

归纳法易证Qn=L0001J.o01.故(P

■100-

231110

F)2016A(Q20U)-1=AL001J,由于右乘初等矩阵等于作相应的初等列变换,

故计算结果应为将A的第2列的2011倍加到第1列，计算可知应选(B).

二、填空题(本题共6题，每题分，共6分。)

10、已知A2-2A+E=O,贝IJ(A+E)」=

1

标准答案：4(3E-A)

助得3E

知识点解析：A2-2A+E=O,(A+E)(A-3E)=-4E,(A+E)

-A).

11、设A是n阶矩阵,IAI=5,则I(2A)*I=

标准答案:

知识点解析：(2A)(2A)*=I2AIE,(2A)*=I2AI(2A)-1,

|(2A)'|=||2A|(2A)-,j=2-lAl•j-A

=|2・T・5A-”=(2i・

=2，-"・

0O-

~2001

12、设人=30.,则(A*)1.

0O-

_2

001

标准答案：30.

知识点解析：

-20O'0O'

«尸=击心A2

001001

200323

1.030..030.

(I)001

030

■10001

-2300

0—450'

13、设A1°°一67」，B=(E+A)-1(E-A),则(E+B))=

■1000"

-1200

0-230

标准答案；L00-34.

知识点解析：E+B=E+(E+A)-1(E-A)=(E+A)-1(E+A+E-A)=(E+A)~,2E,故

-1000-

1-200

(E+B)T=^(E+A)=

z0-230

.00-34.

14、已知A,B均是3阶矩阵，将A中第3行的一2倍加到第2行得矩阵Ai，将B

中第1列和第2列对换得到臼，乂AiB]=

1

8

25

3

标准答案:

A：

A,B|

AB=0

0(TV1O'

012102100

01213..00L

P1O'1r

58100258

知识点解析:213..00U23.

■o瓦0•••0'

00bz0

000b.-

15、设8=A00•••0,则

000

1000

1

0G00

i

000

标准答案:匚

B—DT=b：'=%

D

b\0

00―

知识点解析:故

00

00

••

••

••

0

“户一1

三、解答题（本题共75题，每题1.0分，共15分。）

16、证明：方阵A是正交矩阵，即AAT=E的充分必要条件是：（1）A的列向量组组

X。皿=1,i=j，

成标准正交向量组，即2】0,或（2）A的行向量组组成标准正交

1,

=（

向量组，即AT0,i"

标准答案：设A=L/I3，且A是正交矩阵.(1)AA1=E,A,A,互为

0,

0

*

1.

逆矩阵，有人1人二E,故

(2)AAT=E,即iW)•

知识点解析：暂无解析

17、证明：n>3的非零实方阵A,若它的每个元素等于自己的代数余子式，则A

是正交矩阵.

标准答案：由题设，afAij,则A*=A、AA*=AAT=IAIE.两边取行列式，

得IAI2=|A|&得|AIa|AIn-2-l)=0.因A是非零阵，设aij#),则I

AI按第i行展开有IAI二备f>0,故IAI翔，从而由IAI2(I

AIn-2-l)=0,得IA=1,KAAT=AAT=IAIE=E,A是正交矩阵.

知识点解析：暂无解析

18、证明：方阵A是正交矩阵的充分必要条件是IAI=±1,且若IAI=1,则它

的每一个元素等于自己的代数余子式；若1A|二-1,则它的每个元素等于自己的

代数余子式乘一1.

标准答案：必要性A是正交矩阵<=>AAT==>|AI=±1.若IAI=1,则AA*=I

AIE=E,而已知AAT=E,从而有AT=A*,BPajj=Aij；若IAI=-1,则AA'二I

AIE=-E,A(-A*尸E,而已知AAT二E,从而有一AZAL即aij=-Aij.充分

性IAI=1且aij=Ag,则A*=AT,AA+=AAT=IAIE=E,A是正交阵，IAI=—

1,且aij二一Aij时，—A*=AT,AA*=IAIE=—E,即AAr二E,A是正交阵.

知识点解析：暂无解析

TTT

19^设。=团，a2，…，an],P=[b|,b2，…，bn]^0,且(110=0,A=E+ap,试计

算:⑴IAI；(2)An；(3)A-1.

1+a/i11心•••a也

生仇1+的与…aM

(l)|A|=|£+a^Tl=••.

•*•♦•■

Z/2…1+a九

1仇•••6

01+。1Ea^bz•••a也

••♦

0a2bi1+。2瓦azb»

••*•

••*■*•

oa力1a力z•••1+他!»♦】

1+5a也优

庆b.&•••b.

1仇4-1

一即10…0010…0

-s01…0001-0

••••■••

••••*■*•••

一a.00…1000-1

■

=1(X。"="T。=0).

标准答案：-

1)

(2)An=(E+apT)n=En+nEn_1apT+一厂En-2(apT)2+....当虻2时,

(apT)k=(apT)(apT)...(apT)=a(pTa)(pTa)...pT=O.故

An=E+napT.(3)A2=(E+apT)(E+apT)=E+2apT+apTapT=E+2apT=2E+2apT-E=2A-

E.2A~A2=E,A(2E—A尸E,A1=2E~A=E--apT.

知识点解析：暂无解析

20、设A是主对角元为。的四阶实对称阵，E是4阶单位阵，B=L2」，且

E+AB是不可逆的对称阵，求A.

"0a6c'-102b2C

aQde012d2e

bd0f0012/

标准答案：设人=xef0.,则E+AB=JO02/1.，因

(E+AB)T=(E+AB).故有b=c=d=e=0.又E+AB不可逆，有IE+ABI=

1000

0100

0012/i

。02，1=l-4f2=0,得仁士Z从而得

-0a0O-Va00

a000a000

00

A=01或A=0-00-1-

00—Y0

°°1°.其中a是任意常数.

知识点解析：暂无解析

010O'

0010

B=

0001,

0000」证明：A=E+B可逆，并求A」.

标准答案：因E和任何矩阵可交换(和B可交换)且B4=O,故(E+B)(E—B+B?一

B3)=E-B4=E,&A=E+BnJ®,且A^(E+B)-'=E-B+B2-B3.又

D10OrP01OrD00r

001000010000

B=出=/=

000100000000

LO000..0000.-0000.

即得

-i-ii-r

01-11

4-，=(息+3尸=

001-1

。001.

知识点解析：暂无解析

22、A,B均是n阶矩阵，且AB=A+B.证明：A-E可逆，并求(A-E)「.

标准答案：因AB=A+B,即AB-A-B=O,AB-A-B+E=E,A(B-E)-(B-

E)=E,即(A—E)(B—E尸E,故A—E可逆，且(A—E)r=B—E.

知识点解析：暂无解析

23、设B是可逆阵，A和B同阶，且满足A2+AB+B2=o.证明：A和A+B都是可

逆阵，并求A」和(A+B)」.

标准答案：由题设：A2+AB+B2=O,得A(A+B)=-B2.①①式右乘(一B?)］，得

A(A+B)(-B2)",=E,得A可逆，且A-1=(A+B)(—B2)—1.①式左乘(一B?)」，得

(-B2)-|A(A+B)=E,得A+B可逆，且(A+B)」=(-B2)「A.

知识点解析：暂无解析

24、已知A,B是三阶方阵，R*O,AB=O.证明：B不可逆.

标准答案:AB=O,(AB)T=BTAT=O,A/0,BTX=O有非零解,®IBTI=0,即I

BI=0,从而有B不可逆.

知识点解析：暂无解析

-、**

25、设A=(aij)nxn，且，'=0,i=l,2,...»n,求r(A)及A.

标准答案：j-i=0,i=l,2,…，n,可知IAI=0,r(A)<n—I,当r(A)=n—1

时，有r(A*)=l,r(A)<n-l,r(A*)=0,故有r(A*)Sl.r(A*)=l时，A”=a[f,其中

a,P为非零向量：r(A*)=0时,A*=O.

知识点解析：暂无解析

10…0'

11…0

A=*

•:•:•

26、已知n阶矩阵L11…1J求IA1中元素的代数余子式之和

,第i行元素的代数余子式之和JT,i=l,2,n及主对角元的代

数余子式之和，f

标准答案:AA*=IAIE=E,

*100…O'

-1100

A・=AT=0-110iAQ.x1M

••••

・♦•♦••

-000…1

由A,可知:=n—(n—1)=1,

,■IIvt27t",

知识点解析•：暂无解析

000­

0I00

1010

27、设矩阵A的伴随矩阵A*=10308」，且ABA〕BA〃3E,求B.

标准答案：由题设(A—E)BAr=3E,(A-E)B=3A,A-'(A-E)B=3E,(E—A

ME,任-备

)B=3E.其中IA*I=8=IAI3IAI=2,从而得(2E—

A)B=6E,B=6(2E-A)1

000_

■i000■

0100

000

2E-A9,(2E-A•尸010

-1010

1-1

,030一&0T06J

■6000■

0600

B=

6060

JO30

知识点解析：暂无解析

28、设A是n阶可逆阵，将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B.证明：B

可逆，并推导A」和的关系.

标准答案：记Eij为初等矩阵》J