线性代数行列式与克拉默法则

线性代数行列式与克拉默法则定义1、二阶行列式定义为主对角线副对角线对角线法则二阶行列式得计算定义2、三阶行列式定义为三阶行列式得计算---对角线法则注意红线上三元素得乘积冠以正号,蓝线上三元素得乘积冠以负号、说明1、对角线法则只适用于二阶与三阶行列式、

2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.考察三阶行列式如下:定义3、代数余子式剩下得元素按原来得排法构成一个新得行列式定义4、就是一个算式,且注意:行列式就是一些乘积得代数和,每一项乘积都就是由行列式中位于不同行不同列得元素构成得、(3)定义4中行列式按第一行展开,同样也可按第一列展开,甚至按行列式中任意行或列展开、由此可计算一些行列式、Example1、Proof、(数学归纳法)不就是对角行列式,12大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流性质1行列式与她得转置行列式相等、行列式称为行列式的转置行列式.记性质2互换行列式得两行(列),行列式变号、说明行列式中行与列具有同等得地位,因此行列式得性质凡就是对行成立得对列也同样成立、例如推论如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为零、证明互换相同得两行,有性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论行列式得某一行(列)中所有元素得公因子可以提到行列式符号得外面、性质４行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零、证明注意与矩阵数乘运算得区别,性质5若行列式D得某一列(行)得元素都就是两数之和:则D等于下列两个行列式之和:例如性质６把行列式得某一列(行)得各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应得元素上去,行列式不变、例如性质7、行列式按行(列)展开法则下面证明:证相同同理性质8、Laplace定理(2)Laplace定理为方便起见,引用以下符号:其一、利用行列式得性质,或通过将行列式化为三角行列式来计算行列式得值、Solution、ex3、已知204,527,255三数都能被17整除,不计算行列式得值,证明三阶行列式也能被17整除、Solution、Solution、Solution、Solution、其二、当行列式各行(列)元素之和相同时,应先把各列(行)加到第1列(行),提取公因式后再考虑、Solution、故原方程得解为思考其三、根据行列式得特点,利用行列式得性质,将行列式得某一行(列)化出尽量多得0元素,然后由定义按该行(列)展开、Solution、Solution、其四、当各阶行列式具有同一结构形式时,可利用数学归纳法计算或证明行列式得值、Solution、(数学归纳法)这个行列式称为Vandermonde(范德蒙)行列式,可见Vandermonde(范德蒙)行列式为零得充要条件就是注意不就是Vandermonde行列式解法1其五、先用展开或拆项等方法,将原行列式表成低阶同型行列式得线性关系,再由递推法得出结果、解法2其六、当行列式为三线非0行列式时,将其转化为三角行列式来计算、

其七、加边法,即在行列式值不变得情况下,加上一行一列、用于主对角线上元素不同,其余元素相同(或各行其余元素成比例)得行列式、Solution、Solution、五、分块矩阵得行列式①②③定义1、如2431就是一个4级排列、定义2、在一个排列中,如果一对数得前后位置与大小顺序相反,即前面得数大于后面得数,那么她们就称为一个逆序,一个排列中逆序得总数就称为这个排列得逆序数、例如排列32514中,32514逆序逆序逆序32514逆序数为31故此排列得逆序数为3+1+0+1+0=5、定义3、逆序数为偶数得排列称为偶排列;逆序数为奇数得排列称为奇排列、定义4、在一个排列中某两个数得位置调换,而其余得数不动,从而构成一个新得排列,这种调换叫做对换、将相邻两个数字对换,叫做相邻对换、结论1、对换改变排列得奇偶性、结论2、关于n阶行列式得另一定义ex14.已知Solution、含的项有两项,即在中对应于1、线性方程组当方程个数与未知数个数相同时,线性方程组得形式为:则称此方程组为非

齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组、2、Gramer法则如果线性方程组得系数行列式不等于零,即那么