考研数学二（线性方程组）模拟试卷23

考研数学二(线性方程组)模拟试卷23

一、选择题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

1、设A是mxn阶矩阵，下列命题正确的是().

A、若方程组AX=O只有零解，则方程组AX=b有唯一解

B、若方程组AX=。有非零解，则方程组AX=b有无穷多个解

C、若方程组AX=b无解，则方程组AX=O一定有非零解

D、若方程组AX=b有无穷多个解，则方程组AX=O一定有非零解

标准答案：D

工1+孙=0，[xi+x2=1,

"Xi-iz=0»41]一12=2,

知识点解析：方程组解―+2以=°只有零解，而匕71+2以=3无解，故A不

jX|H-Xj=1•

对；方程组,21+24=°有非零解，而12n+2]2=3无解，故B不对；方

JT

(X|+2=1•(XI+x2=0,

,5X)-X2=2,<Xi-J*2=0,

程组“i+2l2=3,无解，但|2币+2科=0,只有零解，故c不对。若

AX=b有无穷多个解，则r(A)=r(A)Vn,从而r(A)Vn,故方程组AX=0一定有

非零解，选D.

2、设A是mxn阶矩阵，则下列命题正确的是().

A、若mVn,则方程组AX=b一定有无穷多个解

B、若m>n,则方程组AX=b一定有唯一解

C、若r(A)=n,则方程组AX=b一定有唯一解

D、若r(A)=m,则方程组AX=b一定有解

标准答案：D_

如岁点解析:因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵)，则衣=m,于是r(A)=

r(A),即方程组AX—b一定有解，选D.

3、设ai，a2，Q3,04为四维非零列向量组，令A=(cq,a2，013,04),AX=0的

通解为X=k(0,-1,3,0)T,则A*X=0的基础解系为().

A、ai»a3

B、。2，«3»04

C、ai,s，a4

D、a3»04

标准答案：C

知识点解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3,

于是r(A")=l.因为A*A=IAIE=0,所以ai，a2，as，04为A*X=0的一组

解，又因为一012+8(X3=0,所以a2,013线性相关，从而ai，a2,04线性无关，即

为A*X=0的一个基础解系，应选C.

4、设向量组ai，。2，a3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方

程组AX=0的基础解系的是().

A、ai+a2，(12+(13,a?+ai

B、a1+a2>012+(13,a1+2012+013

C、ai+2ct2，2a2+3a3，3a3+ai

D、a1+(12+013,2a]-3a2+22孙3ai+5a2-5(X3

标准答案：C

知识点解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX=0的解

向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选C.

5、设a”。2为开次线性万程组AX=0的基石出解系，PJ,但为非开次线性方程

组AX=b的两个不同解，则方程组AX=b的通解为().

K-K

A、kiai+k2(ai-。2)+

P1+P2

B、kiai+k2(pi-p2)+2

氏一%

C、kiaI+k2(pi+p2)+2

Pi+跖

D、kiai+k2(ai+a2)+2

标准答案：D

知识点解析：选D,因为ai+a2为方程组AX=0的两个线性无关解，也是基础解

跖+%

系，而一^~为方程经AX=6的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，

选D.

二、填空题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

123)

04a

6、设A=1。9(a<0),且AX=0有非零解，则A*X=0的通解为

/h2

C,04-C24

标准答案：X=1-4(C],C2为任意常数)

123

04a

知识点解析：因为AX=0有非零解，所以IAI=0,而IAI=1a9=

一(a+4)(a—6)且口V0,所以a=-4.因为r(A)=2,所以r(A")=l.因为A*A

=IAIE=0,所以A的列向量组为A*X=O的解，故A*X=O的通解为乂=

Gfun

'JC2为任意常数).

7、设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n—l,则方程组AX=O的通

解为.

/1\

标准答案：k'1’(其中k为任意常数)

知识点解析：k(l,1,1)T,其中k为任意常数.因为A的各行元素之和为

零，所以A'1'=0,又因为r(A)=n-l,所以1'为方程组AX=O的基础解

系，从而通解为k'1'(其中k为任意常数).

8、设A为n阶矩阵，且IAI=0,Aki#),则AX=O的通解为.

标准答案：C(AuAk2，…，Aki,Akn)T(C为任意常数).

知识点解析：因为IAI=0,所以r(A)Vn,又因为Ak#O,所以r(A*)Nl,从而

r(A)=n—1,AX=O的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*=IAIE=

0,所以A*的列向量为方程组AX=0的解向量，故AX=0的通解为

C(AklAk2，…，Aki，…，Akn),(C为任意常数).

9、设中，…，小是非齐次线性方程组AX=b的一组解,则是如山+…+ksns为方

程组AX=b的解的充分必要条件是.

标准答案：k]+k2+…+ks=l

知识点解析：显然ku]]+k2n2+…+%小为方程组AX=tHW解的充分必要条件是

A(kir|i+k2T12+…+ksT]s)=b,因为Arp=Arj2=3=Ar)s=b,所以(k]+k2+…+

ks)b-b,注意到席0,所以kj+k2+…+k$—1,即kiqi+k2n2+…+hns为方程组

AX=b的解的充分必要条件是k[+k?+…+ks=1.

10、设BRO为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组

Xt+2.r2-2/?=0・

43z।­/2+心,=0・

+才2=0的解.则k=,|BI=.

标准答案：1；0.

知识点解析：令A=31-1,因为B的列向量为方程组的解且BrO,所

以AB=O且方程组有非零解，故IAI=0,解得k=l.因为AB=O,所以r(A)

+r(B)<3fir(A)>l,于是r(B)S2<3,故IBI=0.

11、设a],Q2,。3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，r(A)=3.且

(1-2

一4

132

o

ai+a2=a2+a3=则方程组AX=b的通解为

标准答案：X=(k为任意常数)

知识点解析：因为r(A)=3,所以方程组AX=b的通解为您+中其中&=a3-ai

-1

2

1

一41，于是方程组的通解为

=(a2+a3)一(囚+(X2)=

-1

+2

1

一4(k为任意常数).

21、/小\h

3a+2Ix2I=31

12、设方程组I:1a—2八°无解，则@=

标准答案：一1

知识点解析：因为方程组无解，所以r(A)Vr(4)W3,于是r(A)V3,即IAI=

0.由IAI=3+2a—a?=0,得a=-1或a=3.当a=3时，因为

1h/I2

4353f0-131,

-2o''00

'13°°r(A)=r(^)=2<3,所以方程组有

一r21h/I211、

A=2313f0-1-11

—1一2O1'000一4」,

尢穷多个解;当a=-l时，1

因为r(A)#r(A),所以方程组无解，于是a=-1.

1】+72=一，

XZ+孙=。2，

丹+74=——，

⑥+]]=々4

13、设方程组有解，则a［，ao,a?,a/i满足的条件是

标准答案：ai+a2+a3+a4=0

知识点解析：

1101100-a।

-Oil0110a

A=2

0010011-

100O-1O1Q]+a「

110100—a।

011110a?

-001

011-a3

001

000ai+a2+^3+

因为原方程组有解，所以r(A)=r(A),于是ai+22+23+04=().

三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)

[x।+12+13+41』-3才5=0，

I2+3jr3+57，-5JT5=0,

.r1—J*?+3J*3—2(——=()•

14、求方程组'"I+才2+5x3+6”[-7jt=°的通解.

标准答案:

1114-31114一3】1021-2]

2135-50-11-3101-13T

A=—►—►

1-13-2-10-22-6200000

3156-70-22一6200000

(x!+2]3+^4—2小=0,

原方程组的同解方程组为L2—73+314一工5=0，或者

•r1=-2彳3-74+2M5,

九+八，

x2=JT3-3故原方程组的通解为

X

X3，％4，X5为任意常数）.

知识点解析：暂无解析

ax।+(a+3)/2+「=-2,

।+ax2+.r

2

15、参数a取何值时,线性方程组”1+12有无数

个解?求其通解.

标准答案：

十3—11

1a1a30-2—QI.

10a-11-aa(1-a)若a=l,

1111102

030-3010-1,

则00000000原方程组的通解为x=k（—l,

0,1)T+(2,-1,O）（k为任意常数）;若在1,则

1a\1a+100

0-2-a►a-121-2

01-101

1a+1001a+100

01-101-1

3

03-a1一2,004—a—2+3a-a当a

=2时，方程组无解;当a=—2时,

-1000一12

A01-1201-12

'0000000o',原方程组的通解为X=k（l,1,

炉+(2,2,O）（k为任意常数）.

知识点解析：暂无解析

的二个解，求具通解.

Qi2a,a4\

4/3可

(35

标准省某：A=C2cj,因为A有两行不成比例，所以r(A巨2,又原

方程组至少有三个线性无关解，所以4—r(A)+lN3,即r(A)S2,则r(A)=2,于是

131

原方程组的通解为k[(r|2—ni)+k2(r)3—ni)+ni=

(ki，k2为任意常数).

知识点解析：暂无解析

性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出.

标准答案:

=ai，(X2，04为一个极大线性无关组，a3=3ai+a2，(X5=2ai+a2.

知识点解析：暂无解析

18、设ai，02,a3为四维列向量组,ai，a2线性无关，a3=3ai+2a2,A=(ai，

。2,as),求AX=0的一个基础解系.

标准答案：AX=0㈡力川+%2(!2+/3(/3=0,由a3=3ai+2a2可得(％i+3/3)a]+(X2

(x।+3X3=°n

+2x3)a2=0,因为四，az线性无关.因此12+213=°AX=0的一个基础

-3

-2

解系为1

知识点解析：暂无解析

19、设A是3x4阶矩阵且r(A)=l,设(1,一2,1,2)T,(1,0,5,2)T,(一1,

2,0,1)T,(2,-4,3,a+l)T皆为AX=0的解.⑴求常数a；(2)求方程组AX

=0的通解.

标准答案：(1)因为r(A)=l,所以方程组AX=0的基础解系含有三个线性无关的

解向量，故(1,-2,1,2)T,(1,0,5,2)T,(-1,2,0,1)T,(2,-4,3,十

11-12

-202-4

=0,

1503

1)T线性相关，即2210十】角彳得a=6.(2)因为(1,-2,1,

2)二(1,0,5,2)T,(-1,2,0,1户线性无关，所以方程组AX=0的通解为X

TTT

=k|(l,-2,1,2)+k2(l»0,5,2)+k3(-l,2,0,l)(kj,k2,k3为任意常

数).

知识点解析：暂无解析

20、设A=(ai，(12，ct3，04,。5)，其中a],as，015线性无关，且。2=3。]-013—

。5,04=2011+(x3+6(x5,求方程组AX=0的通解.

标准答案：因为囚，a3，。5线性无关，又a2，04可由ai，(13,(15线性表示，所以

r(A)=3,齐次线性方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量.由a2

=3ai—as-CX5,O4=2(X]+013+6(x5得方程组AX=0的两个解为号=(3,—1,一

1,0,-1)T,12=(2,0,1,-1,6)丁故AX=0的通解为k](3,—1,—1,0,一

1)1+卜2(2,0,I,—1,6)T(k],k2为任意常数).

知识点解析：暂无解析

21、四元非齐次线性方程组AX=b有三个解向量QI，a2,013且r(A)=3.设臼+

23

-6-2

4

4

。2=—2，a2+a3=(L求方程组AX=b的通解.

标准答案：因为r(A)=3,所以方程组AX=b的通解形式为龙+中其中自为AX

=0的一个基础解系，n为方程组人*=6的特解，根据方程组解的结构的性质，4

-3

2

=(a2+a3)—(ai+a2)=a3—ai=‘r|=,所以方程组AX=b的通解为

11

-3

6”(k为任意常数).

知识点解析：暂无解析

22、Anxn(«i»8,…，an),Bnxn=(ai+a2，012+013,...»an+ai),当r(A)=n

时，方程组BX=0是否有非零解？

标准答案：B=(ai+a2,012+013,…,an4-ai)=(ab012，…，an)

0

0

由r(A)=n可知IAI¥0,而IBI=IAI

标准答案：令%|。1+%2。2+心。3+%404(*)

111111

101-121

6+300a+10b

5000a4-10

⑴当a=-1,b，0时，因为r(A)=2=r(A)=3,所以方程组(*)无解，即p不能表示

为ai，(X2，(13，04的线性组合；(2)当时一1时，口可唯一表示为ai，。2，a3，04

的线性组合.

知识点解析：暂无解析

24、设n阶矩阵A=(ai，a2，…，即)的前n—1个列向量线性相关，后n—1个列

向量线性无关,且ai+2a2+…+(n—l)ctn-i=0,b=ai+a2...+an.(1)证明方程

组AX=b有无穷多个解；(2)求方程组AX=b的通解.._

标准答案：(1)因为r(A)=n—I,又b=ai+a2+…+ctn，所以r(4)=n—1.即r(A)

=r(A)=n—1Vn,所以方程组人*=1)有无穷多个解.(2)因为ai+2a2+…+〔【】一

l)ctn-i—0,所以ai+2a2+…+(n-l)(Xn-i+0an=0,即齐次线性方程组AX=0有

基础解系。=(1,2,…，n—1,0)T,又因为b=a：+a2+…+.所以方程组AX=

b有特解n=(l,1,…，1)丁，故方程组人*=1)的通解为k[+n=k(l,2,n-

1,0产+(1,1,…，1)丁住为任意常数).

知识点解析：暂无解析

/I212、

01zr

25、设A=1'01,且AX=O的基础解系含有两个线性无关的解向量，求

AX=O的通解.

101—2t2—2t\

Af01/tj,

标准答案：°°一(1一》)’-<1因为r(A)=2,所以1=1,

26、就a,b的不同取值，讨论方程组

Il+123=1，

=

<)2z]+(a+2)X2—(b+2)X33

-3a以+(。+2/>)X3=-3解的情况

11-1

2a+2-b-

0-3a

标准答案：D=°+2,=a(a-b).⑴当时0,a邦时，方程组有唯

2_i

一解，唯一解为力=］一0，X2=flX3=0；(2)当a=0时,

因为r(A)加4),所以方程

组无解；(3)当a=b,0时，

_1}1T1、/I00I-一1

3l->01-1

A=l2a+2-Q—2a1•

一31000

0-3a3a°方程组有无穷多

0/I—a'''

k1+a~l

04k为任意常数).

个解，通解为X=1

知识点解析：暂无解析

A

27、设⑴若

a/aj(i为),求ATx=b的解；(2)若ai=a3=a#),az=a4=—a,求ATx=b的通

解.

标准答案：(1)D=IAIT=(a4—ai)(a4—32)(04—33)(33—ai)(a3—a2)(a2—ai),若

则D和，方程组有唯一解，又D]=D2=D3=0,D4=D,所以方程组的

唯一解为X=（0,0,0,1产；(2)当ai=a3=a#0,a2=a4=—a时，

1a/a310a200

1—aa2—a3—a3010a2a2

Ar=9

1aa2a3a300000

233000

1-aa—a—aj00方程组通解为X

2T2T2T

=ki(一a,0,1,0)+k2(0,—a,0,l)+(0,a,0,0)(ki，k2为任意常数).

知识点解析：暂无解析

28、设向量组四，（X2，…，的为齐次线性方程组AX—0的一个基础解系，

Ap/O.证明：齐次线性方程组BY=O只有零解，其中B=（B，B+ai，…，0+

as）.

标准答案：eq,（12，…，氏线性无关，因为AR#）,所以0,P+ai，0+ots线

性无关，故方程组BY=0只有零解.

知识点解析：暂无解析

N]+23+2x4=6,

21]+JT2+313+QJT4=0,

3JT।+ax3+61&=18,

29、当a,b取何值时，方程组Mil一”2+9/3+13/，="无解、有唯

一解、有无数个解?在有无数个解时求其通解.

10226’10226