第1章 相交线与平行线 铅笔头模型专项练习 -2025-2026学年浙教版数学七年级下册

第1章相交线与平行线铅笔头模型专项练习—2025-2026学年浙教版数学七年级下册一、选择题1．（2024七下·杭州期中）如图，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠C=40°，则∠BEC为（）A．160° B．120° C．100° D．80°2．（2024七下·苍南期中）如图，AB∥CD，E，F分别是AB,CD上的点，EH,FH分别是∠AEG和∠CFG的平分线，若∠G=116°，则∠H的度数为（）A．120° B．124° C．122° D．116°3．如图，直线AB∥CD，AE⊥CE于点E，若∠EAB=120∘A．100∘ B．150∘ C．120∘4．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点A．∠E=∠FC．2∠E+∠5．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1=47∘A．40∘ B．43∘ C．45∘6．（2024七下·义乌月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA=∠FGC，∠FEN=2∠NEB,∠FGH=2∠HGC下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH=2∠EHG；③∠EHG+∠EFM=90°；④3∠EHG−∠EFM=180°．其中正确的结论是（）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④7．（2025七下·上城期中）如图，已知AB//CD，CG交AB于点G，且∠C=α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（）A．∠GPH−∠PHC=12αC．∠PHC+∠GPH+12α=36二、填空题8．（2025七下·金华期末）如图，已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，连结EF.点G是射线FD上一点（不与点F重合），过点G作GH⊥EF交线段EF于点H，且∠AEF:（1）∠AEF的度数为.（2）已知点P，Q在直线AB，CD之间，点M在射线EA上，连结PQ，PM，MQ，使线段PQ经过点H.若∠MPQ=90°，∠GHQ=42°，则9．（2025七下·浙江期中）如图是路政工程车的工作截面图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为°.三、解答题10．（2025七下·永康月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”.与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．（1）【建立模型】如图①②已知AB//CD，点E在直线AB、CD之间，请分别写出∠AEC与∠BAE、∠DCE之间的关系，并对图②中的结论进行证明．请用上面的结论解决下面的问题：（2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆AO⊥底座MN于点O,AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE=45∘始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD//MN,CE//BA，求∠BAO（3）【拓展应用】如图(4)，已知AB//CD,BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E−∠F=75∘，求∠CDE11．（2024七下·东阳期中）直线AB∥CD，点M、N分别是直线AB、CD上的点，点P为直线AB、CD之间的点．（1）如图1，判断∠MPN、∠AMP、∠CNP之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，点E为直线AB上一点，且点E在点M右侧，∠MPE=∠MEP，∠MPN的平分线交直线AB于点F，点F在点E右侧，求∠EPF∠CNP（3）如图3，∠SPR绕点P转动，PR与CD交于点K，且PN始终在∠SPR的内部，PG平分∠NPK，交直线CD于点G，PH平分∠MPS，交直线AB于点H，若∠SPR=α，∠MPN=β，则∠AHP+∠CGP=(用含α、β的代数式表示)12．（2024七下·上城期中）已知，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）有一点M在直线AB，CD之间且在直线EF左侧，连接①如图2，当∠AGM=28°，∠MHC=62°时，求∠GMH的度数；②如图3，GO是∠AGM的平分线，交CD于点O，HQ是∠MHD的平分线，作HN∥GO．设∠GMH=α，∠QHN=β，求α和β满足的数量关系．13．已知AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1，∠1+∠2=（2）如图2，∠1+（3）如图3，∠1+∠2+（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+14．如图1，已知直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD与EF上，点P为两平行线间一点．（1）求证：①∠APB=②∠CAP+（2）利用(1)的结论解答：①如图2，AP1，BP1分别平分∠DAP，②如图3，AP2，BP2分别平分∠CAP，15．（2025七下·金华期末）根据以下素材，探索完成任务.教材母题素材1浙教版七年级下册数学教材第23页有一例题，如右图.小明和小芳发现，通过计算两条角平分线(AP与CP)的夹角(∠P)也可判断两条直线是否平行.例4如图.AP平分∠BAC，CP平分∠ACD.∠1+∠2=90°，判断AB.CD是否平行，并说明理由.解：AB∥CD，理由如下：如图，由已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD.根据角平分线的意义，知∠1=12∠BAC，∠2=1所以∠BAC+∠ACD=2(∠1+∠2)=2×90°=180°，根据”同旁内角互补，两直线平行”得AB∥CD.类比探究素材2小明和小芳思考：角的其它等分线夹角度数与两直线平行之间是否存在联系?已知线段MN夹在直线AB与直线CD之间，其中点M在直线AB上，点N在直线CD上.小明的做法：如图1，在线段MN的左侧分别作∠AMN的三等分线ME和ME作∠CNM的三等分线NE和NF，其中ME和NE交于点E，MF和NF交于点F.小芳的做法：如图2，在线段MN的两侧分别作∠AMN和∠MND的三等分线，使∠AME=13∠AMN，∠ENC=23∠MNC，∠BMF=23深化探究素材3小明和小芳继续思考：当线段MN变为折线时，是否可以利用平行条件求某些角度关系呢?已知AB∥CD，M，N分别为直线AB，CD上的点，线段EF在平行线AB，CD之间，点P为线段EF上的一个动点，连结ME，NF，MP，NP，使∠AME=2∠EMP，∠DNF=2∠FNP，记∠MPN=α.如图3和图4分别为小明和小芳根据题意画出的两个图形.问题解决⑴任务1素材1的例题中，当∠P=度时，AB∥CD.⑵任务2请你猜想素材2中，当∠E和∠F满足怎样的数量关系时AB∥CD?并选择其中一种做法说明理由.⑶任务3请你根据素材3中小明和小芳画出的两个图形，直接写出∠F-∠E的值.(用含a的式子表示)

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：过E作EF∥AB，则∠BEF+∠ABE=180°，∵∠ABE=120°，∴∠BEF=180°−∠ABE=180°−120°=60°，∵EF∥AB,AB∥CD,∴EF∥CD，∴∠FEC=∠C=40°，∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+40°=100°，故答案为：C．

【分析】作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠BEF=60°，由然后根据平行公理得到EF∥CD，即可求出∠FEC=40°，再利用角的和差解题即可．2．【答案】C【解析】【解答】解：如图，过点G作GM∥AB∵AB∥CD∴CD∥MG∥AB∴∠BEG=∠MGE,∠DFG=∠MGF∴∠MGE+∠MGF=∠DFG+∠BEG=∠EGF=116°∴∠AEG+∠CFG=360°−116°=244°∵EH,FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线∴∠HEA+∠HFC=过点H作HN∥AB，同理可求∠EHF=∠EHN+∠FHN=∠HEA+∠HFC=122°故选C．【分析】由于同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，因此可分别过点G、H作AB的平行线，再利用平行线的性质结合角平分线的概念即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠AEF+∠A=180°，∠CEF+∠C=180°，

∴∠AEF=180°-∠A=180°-120°=60°，

又∵AE⊥CE，

∴∠CEF=90°-∠AEF=30°，

∴∠C=180°-∠CEF=150°，

故选：B.

【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数.4．【答案】C【解析】【解答】解：过点E作EM∥AB，如图，

∵AB∥CD，EM∥AB，∴CD∥EM，

∴∠ABE=∠BEM，∠CDE=∠DEM．

∵∠ABF的平分线与∠整理得2∠BED+∠【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质及角平分线的概念即可推理分析目标角的度数，不熟练的情况可以通过设二元进行关系表示更为直观.5．【答案】B【解析】【解答】解：如图，过直角顶点作直线平行与直尺，

依题意，∠1=∠3，∠2=∠4，

又∵∠1=47°，∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=90°-∠1=43°.

故选：B.

【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠FMA=∠FGC，∴AB∥CD，∴①正确；过点H作HQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥HQ∥CD，∴∠NEB=∠EHQ，∠QHG=∠HGC，∴∠EHQ+∠QHE=∠NEB+∠HGC，即∠EHG=∠NEB+∠HGC，∵∠FEN=2∠NEB,∠FGH=2∠HGC∴∠EHG=1即∠FEN+∠FGH=2∠EHG，∴②正确．设∠NEB=x，∠HGC=y，则∠FEN=2x，由②知∠EHG=∠NEB+∠HGC=x+y作FP∥AB，∴∠PFE=∠FEM,∠PFM=180°−∠FME，∠EFM=∠PFM−∠PFE=180°−∠BMF−∠FEM=∠BEF−∠FME=∠BEF−∠AMG=∠BEF−=x+2x−180°−2y−y∴∠EHG+∠EFM=x+y+3x+3y−180°=4x+4y−180°，无法判断是否为90°，∴③错误；∴3∠EHG−∠EFM=3x+y∴④正确．综上所述，正确答案为①②④．故答案为：C．

【分析】根据平行线的判定，平行线的性质，以及相关角度的和差计算，逐项进行推理判断求值，即可得出答案。7．【答案】D【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BGC=∠C=α，∵GE平分∠BGC，∴∠BGE=∠CGE=1当点P在AB和CD之间时，如图，过点P作PM∥AB，∴∠BGE=∠GPM=1∵AB‖CD，∴PM‖CD，∴∠MPH=∠PHC=∠GPH−∠GPM=∠GPH−1∴∠GPH−∠PHC=1当点P在AB上方时，如图，过点P作PN∥AB，∴∠FPN=∠FGA=∠BGE=∵AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠NPH=∠PHC，∵∠FPN+∠NPH+∠GPH=180∴1当点P在CD下方时，如图，过点P作PK∥AB，∴∠GPK=∠FGA=∠BGE=∵AB‖CD,∴PK‖CD,∴∠PHC=∠KPH,∵∠GPH+∠KPH=∠GPK=∴∠GPH+∠PHC=1故答案为：D.【分析】根据平行公理、平行线的性质、角平分线的定义得到逐项判断解题即可.8．【答案】（1）30°（2）72°或168°【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等）

∵GH⊥EF∴∠FGH=90°，∠EFD+∠HGF=90°

∵∠AEF:∠HGF=1:2∴∠EFD：∠HGF=1：2，解得∠EFD=30°

∴∠AEF=∠EFD=30°

故答案为：30°.

（2）由∠GHQ=42°，可对P、Q的位置进行分类讨论：

①点Q在HG左侧时

过点P作PL//AB，过点H作HR//AB

∵PL//AB，HR//AB，AB//CD

∴PL//HR//AB//CD

由（1）得∠HGF=60°∴∠RHG=60°，∠RHQ=42°+60°=102°

∴∠LPH=∠RHQ=102°

∵∠MPQ=90°∴∠MPL=360°-90°-102°=168°

∵AB//PL∴∠AMP=∠MPL=168°

②点Q在HG右侧时，过点P作PL//AB，过点H作HR//AB

同理可得，PL//HR//AB//CD

由（1）得∠HGF=60°∴∠RHG=60°，∠RHQ=60°-42°=18°

∴∠LPH=∠RHQ=18°

∵∠MPQ=90°∴∠MPL=90°-18°=72°

∵AB//PL∴故答案为：168°或72°.【分析】（1）由平行线的性质定理可得∠AEF=∠EFD，再根据三角形内角和定理及已知条件中∠AEF:∠HGF=1:9．【答案】160【解析】【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l//支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5.∵工作篮底部与支撑平台平行，且直线l//支撑平台，

∴直线l//支撑平台//工作篮底部，

∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°，

∵∠4+∠5=∠2=50°，

∴∠5=50°-∠4=20°，

∴∠3=180°-∠5=160°，

故答案为：160.【分析】平行线中间有拐点时，通常过这个拐点作一条直线与已知两平行线平行，然后利用平行线的性质进行角度的转换与计算.10．【答案】（1）证明：如图①，过E作直线EF//AB，而AB//CD，∴AB//EF//CD，∴∠A+∠AEF=180∘，∠C+∠CEF=180∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360∘即∠A+∠AEC+∠C=360∘如图②，过E作直线EF//AB，而AB//CD，∴AB//EF//CD，∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，∴∠A+∠C=∠AEF+∠CEF=∠AEC；（2）解：如图③，延长DC，AB交于点Q，过A作AF//CD，而MN//CD，∴MN//AF//CD，∴∠FAB=∠Q，∠FAO+∠AOM=180∵∠DCE=45∘，∴∠DCE=∠Q=45∴∠BAF=45∵AO⊥MN，∴∠AOM=90∴∠FAO=90∴∠BAO=45（3）解：如图④，由(1)的结论可得：∠E=∠ABE+∠CDE，∠F=∠ABF+∠CDF，∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，∴∠ABE=12∠ABF∵2∠E−∠F=75∴2∠ABE+2∠CDE−∠ABF−∠CDF=75∴3∴∠CDE=50【解析】【分析】（1）①由于两直线平行，同旁内角互补，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时∠AEC被EF分为两个角∠AEF和∠CEF，且∠AEF与∠BAE互补，∠CEF与∠DCE互补，显然可得∠AEC、∠BAE和∠DCE的和为360°；

②由于两直线平行，内错角相等，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时∠AEC被EF分为两个角∠AEF和∠CEF，且∠AEF与∠BAE相等，∠CEF与∠DCE相等，显然可得∠AEC等于∠BAE和∠DCE的和；

（2）借鉴（1）的作法，可过点A作AF//MN，则AF//CD，再延长AB交DC的延长线于点Q，则∠BAO被AF分为两个角∠BAF和∠FAM，且∠FAM与∠AOM互补即90°，∠BAF等于∠Q等于∠DCE即45°，则∠BAO可求；

（3）由（1）结论知，∠E等于∠CDE与12∠ABF的和，且∠F等于∠ABF与12∠CDE的和，由已知∠E和11．【答案】（1）解：∠MPN=∠AMP+∠CNP，

理由：过点P作EF∥AB，如图所示：

∵EF∥AB，

∴∠AMP=∠MPF，

又∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠FPN=∠CNP，

∵∠MPN=∠MPF+∠FPN，

∴∠MPN=∠MPN+∠CNP（2）解：由（1）同理可得：∠EPN=∠AEP+∠CNP，

∵AB平分∠MPN，

∴∠MPF=∠NPF，

∵∠MPE=∠MEP，∠MPF=∠MPE+∠EPF，

∴∠EPN=∠EPF+∠FPN=∠EPF+∠MPF=∠EPF+∠MPE+∠EPF=2∠EPF+∠MPE，

∴∠AEP+∠CNP=2∠EPF+∠MPE，

∴∠MPE+∠CNP=2∠EPF+∠MPE，

即∠CNP=2∠EPF，

∴∠EPF（3）a+β【解析】【解答】解：（3）∵PG平分∠NPK，PH平分∠MPS∴∠NPG=∠GPK=12∠NPK，∠MPH=∠HPS=12∠MPS，

由（1）同理可得：∠AHP+∠CGP=∠HPG，

由图可知：∠HPG=∠HPS+∠SPN+∠NPG

=12∠MPS+∠SPN+12∠NPK

=12（∠MPN-∠SPN）+∠SPN+12（∠SPR-∠SPN）

=12∠MPN-12∠SPN+∠SPN+12∠SPR-12∠SPN

=12∠MPN+12∠SPR

=故答案为：a+β2【分析】（1）过点P作EF∥AB，运用平行公理的推论和平行线的性质即可得解得出结论；（2）由（1）可知可得∠EPN=∠AEP+∠CNP，根据平分线的定义和已知条件可知∠EPN=2∠EPF+∠MPE，进而求得∠MPE+∠CNP=2∠EPF+∠MPE，即可得出∠CNP=2∠EPF，即可得出结论；

（3）由（1）同理可得：∠AHP+∠CGP=∠HPG，由平行线定义可知∠NPG=∠GPK=12∠NPK，∠MPH=∠HPS=12．【答案】（1）证明：∵∠AGE+∠DHE=180°，∠AGE=∠BGH，

∴∠BGH+∠DHE=180°，

∴AB∥CD；（2）解；①如图所示，过点M作MN∥AB，∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥MN，

∴∠GMN=∠AGM=28°，∠NMH=∠MHC=62°，

∴∠GMH=∠NMG+∠NMH=90°；

②由（2）①可知∠GMH=∠AGM+∠CHM，

∵GO是∠AGM的平分线，

∴∠AGO=12∠AGM，

∵AB∥CD，

∴∠GOD=12∠AGO=12∠AGM，

∵HN∥GO，

∴∠DHN=∠GOD=12∠AGM；

∵∠DHM=180°−∠CHM，HQ是∠MHD的平分线，

∴∠DHQ=12【解析】【分析】（1）根据等量代换得到∠BGH+∠DHE=180°，再根据同旁内角互补，两直线平行得到结论即可；（2）①过点M作MN∥AB，则AB∥CD∥MN，然后根据同旁内角互补得到∠GMN=∠AGM=28°，∠NMH=∠MHC=62°，然后根据角的和差解题即可；

②由①可知∠GMH=∠AGM+∠CHM，根据角平分线得到∠AGO=12∠AGM，即可得到∠DHN=∠AGM13．【答案】（1）180（2）解：如图，过点E作直线EF∥AB．∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，∴∴（3）540∘（4）180【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，

∴∠1+∠2=180°，

故填：180°.

（3）如图，过点E和点F分别作EG∥AB，FH∥AB，

同理可得，∠1+∠AEF=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠CFH+∠4=180°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠AEF+∠GEF+∠EFH+∠CFH+∠4=3×180°=540°，

故填：540°.

（4）由（2）（3）可知，

∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n=180°n−1.

故填：18014．【答案】（1）证明：①如图，过点P作MN∥CD，

则∠APM=∠∵CD∥EF，∴PM∥EF．∴∴即∠APB=②∵CD∥MN∥EF，

∴∠APN=∠CAP，∠BPN=∠EBP，

又∵∠ABP+∠APN+∠BPN=360°，

∴∠CAP+（2）解：①∠APB=2②由(1)得∠APB=∠DAP+∠FBP，∴∴==【解析】【解答】（2）解：①由（1）可知，∠P=∠DAP+∠FBP，

同理可证，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，

又∵AP1，BP1分别平分∠DAP，∠FBP，

∴∠DAP1=12∠DAP，∠FBP1=12∠FBP15．【答案】解：（1）若∠P=90°，由三角形内角和定理，得∠C