三角形的内切圆课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

30.2三角形的内切圆学习目标课时讲解1课时流程2三角形的内切圆三角形的内心逐点导讲练课堂小结作业提升知1－讲感悟新知知识点三角形的内切圆11.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的作法步骤作法图示(1)定圆心：作三角形任意两内角的平分线，其交点为圆心如图，作∠

ABC，∠

ACB

的平分线l1，l2

交于点I

(2)定半径：以圆心到边的距离为半径画圆如图，

过点I

作边BC(或AB，AC)的垂线，垂足为D，以I

为圆心，ID

长为半径作圆，⊙

I

即为△

ABC

的内切圆知1－讲感悟新知作图题中，这句话不可缺少感悟新知知1－讲特别提醒一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.知1－练感悟新知[母题

教材P160习题T4]如图30.2-1，王奶奶有一块三角形的布料ABC，∠ACB=90°，她要裁剪一个圆片，已知AC=60cm，BC=80cm.为了充分地利用这块布料，使裁剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪？这个圆片的半径是多少？例1知1－练感悟新知解题秘方：在三角形中裁剪下的最大圆就是这个三角形的内切圆.知1－练感悟新知解：如图30.2-1，设△

ABC

的内切圆⊙O的半径为rcm，⊙O分别切AB，BC，AC

于点D，E，F，连接OE，OF，易得四边形OECF为正方形.∴

CE=CF=rcm.由切线长定理可得AD=AF,BD=BE.∵∠ACB=90°，AC=60cm，BC=80cm，∴

AB=100cm，AD=AF=(60-r)cm，知1－练感悟新知

知1－练感悟新知1-1.[新考向

数学文化]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，该直角三角形能容纳的最大的圆(内切圆)的直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是_______步.6感悟新知知2－讲知识点三角形的内心21.三角形的内心(1)定义：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.(2)性质①三角形的内心到三角形三边的距离相等；②三角形的一个顶点与三角形内心的连线平分三角形的一个内角.感悟新知知2－讲2.三角形的外心、内心的区别名称三角形的外心三角形的内心形成三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点图形感悟新知知2－讲性质外心到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC内心到三角形三条边的距离相等，即ID=IE=IF；内心与顶点连线平分三角形的内角，如BI

平分∠

ABC位置外心不一定在三角形的内部内心一定在三角形的内部角度关系∠

BOC=2∠

BAC

∠

BIC=90°

+∠

A感悟新知知2－讲特别提醒三角形的外接圆与内切圆中“接”与“切”的含义：三角形的顶点都在圆上叫“接”，三角形的边都与圆相切叫“切”.感悟新知知2－讲特别解读正三角形的外接圆与内切圆是同心圆，即外心与内心重合.感悟新知知2－练[母题

教材P159练习T2]如图30.2-2，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠OAC=40°，则∠BOC的度数为()A.80° B.100°C.130° D.140°例2

解题秘方：利用三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点，结合三角形内角和是180°进行计算.知2－练感悟新知

答案：C知2－练感悟新知2-1.如图，D

是△

ABC的内心，AD

的延长线交△ABC的外接圆于点E，∠

BCA=50°，则∠BDE=________.65°三角形的内切圆三角形的内切圆定义作法内心性质与外心区别应用利用三角形的内心计算面积1

例3解题秘方：作出△DBC中CD边上的高，根据三角形内心的性质求出∠BDH的度数，最后求出高后利用三角形面积公式求解.

答案：B方法总结1.利用三角形的内心计算时常用到：(1)内心到三角形三条边的距离相等；(2)三角形顶点与内心的连线平分对应的内角.2.有时只出现内心，画出内切圆有助于解题.应用利用三角形的内心比较线段的大小2如图30.2-4，△ABC的内心为I，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，连接BD，则线段DI与DB的大小关系是()A.DI=DB B.DI>DB

C.DI<DB

D.不确定例4解题秘方：连接BI，利用三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点，结合“同弧所对的圆周角相等”进行等角的转化，最后利用“等角对等边”得出结论.解：如图30.2-4所示，连接BI.∵△ABC的内心为I，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵∠2=∠5，∴∠1=∠5.∵∠DIB=∠1+∠3，∠DBI=∠4+∠5，∴∠DIB=∠DBI，∴

DI=DB.答案：A技巧点拨观察图形发现，DI和DB

不在一个三角形中，因此连接BI构造三角形，再利用三角形内心的性质和圆周角定理的推论求解.应用综合利用三角形的外心和内心计算3[中考·聊城]如图30.2-5，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB,IA.若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为()A.15° B.17.5°C.20° D.25°例5解题秘方：正确区分三角形的内心和外心，利用圆周角定理和等边对等角计算.

答案：C知识链接三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点.易错点混淆三角形的内心和外心导致判断错误下列关于“三角形内心”的说法错误的是()A.三角形的内心是三角形两内角平分线的交点B.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等C.三角形的内心到三角形的三边距离相等D.三角形的内心是三角形内切圆的圆心例6错解：A正解：三角形的内心是三角形内切圆的圆心，是三角形三个内角平分线的交点，且到三边的距离相等，因此A，C，D正确，B错误.答案：B诊误区：三角形的内心和外心是两个容易弄混的概念，内心是内切圆的圆心，是三个内角平分线的交点；外心是外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点.解题时一定要分清二者的区别.

[中考·

宁夏]如图30.2-6，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=54°，则∠BOC=_______°．考法利用三角形内心的性质求角的度数1例7117试题评析：本题考查三角形内心的性质与三角形内角和定理.根据⊙O是△ABC的内切圆，得出∠OBC，∠OCB分别与∠

ABC，∠

ACB

的数量关系，进而得出∠ABC+∠ACB的度数，即可得出答案．

[中考·攀枝花]如图30.2-7，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F,∠DOE=120°，∠EOF=150°.考法与三角形内切圆相关的计算与证明2例8试题评析：本题考查的知识点较多，包括三角形的内切圆、切线的性质定理、切线长定理、矩形的判定等，熟练掌握这些知识点并能够灵活运用是解题关键.(1)求△ABC的三个内角的大小；解：∵

⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F,∴AB⊥OD，BC⊥OE,CA⊥OF.∴∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC

=90°.∵∠DOE=120°，∠EOF=150°，∴

∠

B=360°-∠

ODB-∠

OEB-∠DOE=60°，∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=30°.∴∠A=180°-∠B-∠C=90°.(2)设⊙O的直径为d，证明：d=AB+ACBC.解：证明：由切线长定理得AD=AF，BD=BE,CF=CE，∴BD+CF=BE+CE=BC.∵

AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC，∴2AF=AB+AC-BC.易得∠ODA=∠OFA=∠A=90°，∴四边形ADOF是矩形.∴OD=AF.∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径，∴

d=2OD=2AF.∴

d=AB+AC-BC．1.[期末·洛阳洛龙区]根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是()B2.如图，点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，则∠BAC的度数为()A.60°B.65°C.70°D.80°D3.[期中·南通启东市]如图，△ABC是一张周长为24cm的三角形纸片，BC=7cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为()A.12cmB.11cmC.10cmD.随直线MN的变化而变化C

A5.如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接OA，OB，OC.当AB=4，BC=5，AC=6时，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3=______________.4∶5∶66.如图，AB是⊙O的直径，AC交⊙O于点G，E是AG上一点，点D为△BCE的内心，BE交AD于点F，且∠DBE=∠BAD.求证：(1)BC是⊙O的切线；证明：∵点D为△BCE的内心，∴BD平分∠EBC.∴∠EBD=∠CBD.又∵∠DBE=∠BAD，∴∠CBD=∠BAD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CBD+∠ABD=90°，即∠ABC=90°.∴BC⊥AB.又∵OB为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线.(2)DF=DG.证明：如图，连接DE.则ED平分∠BEC，∴∠BED=∠CED.∵四边形ABDG为⊙O的内接四边形，∴∠EGD=180°-∠ABD=180°-(90°-∠CBD)=90°+∠CBD=90°+∠EBD.∵∠EFD=∠ADB+∠EBD=90°+∠EBD，∴∠EFD=∠EGD.又∵DE=DE，∴△DFE≌△DGE(AAS).∴DF=DG.7.[中考.烟台]如图，AB

是⊙

O

的直径，△ABC内接于⊙O，点I

为△ABC的内心，连接CI

并延长交⊙O于点D，E是BC

上任意一点，连接AD