2025-2026学年山西省晋中市榆次区第二中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省晋中市榆次区第二中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.AB−AD+CDA.BC B.CB C.BD D.DB2.已知i为虚数单位，则(2+3i)(4−i)=(

)A.10i B.11+10i C.11i D.10+11i3.如图，四边形O′A′C′B′表示水平放置的四边形OACB根据斜二测画法得到的直观图，O′A′=2，B′C′=4，O′B′=22，O′A′//B′C′，则AC=(

)A.23

B.4

C.6

4.设D为△ABC所在平面内一点，且满足CD=3BD，则(

)A.AD=32AB−12AC 5.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=3，A=60°，若cos2B=12，则A.1 B.3 C.2 D.6.如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为(

)A.25

B.23

C.7.在△ABC，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=a，则△ABC的形状是(

)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形8.已知三棱锥P−ABC的四个面均为直角三角形，PA⊥平面ABC，PA=AB=4，AC=6，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为(

)A.12π B.24π C.32π D.52π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是(

)A.复数z=2−2i的虚部为−2 B.3+i>1+i

C.|z|2=zz− 10.已知向量a=(3,2),b=(−1,2)，则下列结论正确的是A.|b|=5

B.与b同向的单位向量为(−55,255)

C.b在11.已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P在△ABC内或边界上，则下列说法正确的是(

)A.若BP=PC，则AB⋅AP=274

B.若BP=2PC，则|AP|=7

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=4+3i1−i，其中i为虚数单位，则z+z−=13.已知向量m=(2,−1)，n=(1,2)，则|2m−n|=14.在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠DAB=60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则DE⋅DF的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(6,x),b=(2,−3)．

(1)若a//b，求x的值；

(2)若b16.(本小题15分)

已知复数z1=2−i，z2=a+4i(a∈R)，且z1z2是实数．

(1)求z2−；17.(本小题15分)

棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，截去三棱锥A1−ABD，求：

(1)18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosA+(a−3b)cosC=0．

(1)求cosC的值；

(2)若a=33,c=62，求sin2A的值；

(3)若△ABC的面积为42，且a+b=19.(本小题17分)

如图所示，在△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=120°，BD=2DA，CE=2EB．

(1)求AE⋅CD的值．

(2)线段BC上是否存在一点P，使得CD⊥AP？若存在，求CPCB的值；若不存在，说明理由．

(3)若O是

参考答案1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】ACD

10.【答案】AB

11.【答案】ABD

12.【答案】1

13.【答案】5

14.【答案】3215.(1)向量a=(6,x),b=(2,−3)．

若a//b，

则2x=6×(−3)，解得x=−9；

(2)a−b=(4,x+3)，b⊥(a−b)，

则2×4−3(x+3)=0，解得x=−13．

16.(1)已知z1=2−i，z2=a+4i(a∈R)，

则z1z2=(2−i)(a+4i)=(2a+4)+(8−a)i，

由z1z2是实数，得8−a=0，解得a=8．

∴z2=8+4i，则z2−=8−4i；

(2)由(1)知z2=8+4i，

∴z=z2+(m2−12m+16)i=8+4i+(m2−12m+16)i=8+(m2−12m+20)i，

∵复数z=z2+(m2−12m+16)i18.(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosA+(a−3b)cosC=0，

由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得sinCcosA+(sinA−3sinB)cosC=0，

则3sinBcosC=sinCcosA+cosCsinA=sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，

因为B∈(0,π)，则sinB>0，

故cosC=13；

(2)因为cosC=13，且C∈(0,π)，

所以sinC=1−cos2C=1−(13)2=223，

由正弦定理asinA=csinC，a=33, c=62，

所以33sinA=62223，解得sinA=33，

因为a<c，所以A<C,A∈(0,π2)，

所以cosA=1−sin2A=1−(33)2=63，

则根据二倍角的正弦公式可得sin2A=2sinAcosA=2×33×63=223；

(3)因为S△ABC=12absinC=12×223