2025-2026学年山东省菏泽市巨野县第二中学、成武县第二中学等校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省菏泽市巨野县第二中学、成武县第二中学等校高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列求导数的运算中正确的是(

)A.(1x)′=1x2 B.(xcosx)′=cosx+xsinx2.已知二项式(2x−1)n(n∈N∗)的展开式中仅有第5A.8 B.7 C.6 D.53.下列函数中，在(1,+∞)内为增函数的是(

)A.y=3sinx B.y=exx C.y=sinx−x4.如图，洛书(古称龟书)，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中各随机选取2个数，组成无重复数字的四位偶数，这样的偶数有(    )个．A.360 B.540 C.720 D.14405.已知函数f(x)=x2+alnx(a∈R)，若limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx=13，A.5 B.6 C.7 D.86.某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球、篮球、排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则观看比赛的不同方案种数为(

)A.630 B.1260 C.105 D.18907.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=ax−2，若f(x)与g(x)的图象恰有两个交点，则实数a的取值范围为(

)A.(0,1+ln2) B.(1,1+ln2) C.(−∞,1+ln2) D.(1+ln2,+∞)8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)+f′(x)=1ex，f(0)=1，则f(1)，f(2)，f(e)的大小关系为A.f(1)<f(2)<f(e) B.f(e)<f(2)<f(1)

C.f(2)<f(1)<f(e) D.f(e)<f(1)<f(2)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若m，n为正整数且n>m>1，则(

)A.C83=C85 B.C10.已知函数f(x)=x3−xA.−13是f(x)的极小值点

B.f(x)有两个不同零点

C.若函数f(x)的对称中心为(m,n)，则m+n=2527

D.11.在平面直角坐标系中，已知A(x1,ex1A.x2>0 B.x2x1+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=2xf′(1)+lnx，则f(e)的值为

．13.参加实践活动的2名教师和甲，乙，丙，丁4名志愿者站成一排合影留念，其中教师相邻，且甲，乙不相邻的方法有

种14.已知当x≥1时，不等式(a−1)x+eax−ln(x+1)−1≥0恒成立，则正实数a的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ax2−bx−lnx(a,b∈R)在x=1处取得极小值0．

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)在点16.(本小题15分)

在二项式(x+12x)n的展开式中，第3项和第4项的系数比为67．

(1)17.(本小题15分)

已知函数f(x)=a(x+1)2−x−lnx，(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a>0时，求f(x)在区间18.(本小题17分)

已知n∈N∗,(mx+1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn,m∈R．

(1)若a1+a2+…+an19.(本小题17分)

已知函数f(x)=−1x−lnx+aexx(a∈R)．

(1)当a=−1时，求函数f(x)的最大值；

(2)当a>0时，求f(x)的单调区间；

(3)若对∀x>1参考答案1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】BCD

11.【答案】ABC

12.【答案】−2e+1

13.【答案】144

14.【答案】[ln2,+∞)

15.解：(1)f(x)=ax2−bx−lnx，f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=2ax−b−1x，

因为f(x)在x=1处取得极小值0，所以f′(1)=0f(1)=0，

即2a−b−1=0a−b=0，解得a=1，b=1，经检验满足题意，

所以a=1，b=1；

(2)由(1)得f(x)=x2−x−lnx，f′(x)=2x−1−1x，

因为f(2)=22−2−ln2=2−ln2，f′(2)=2×2−1−12=52，

所以切线方程为y−(2−ln2)=52(x−2)，

即5x−2y−6−2ln2=0．

16.解：(1)在(x+12x)n的展开式中，

通项公式为Tr+1=Cnrxn−r(12x)r=Cnr⋅12r⋅x n−3r2，

其中r=0、1、2、…、n，

第3项为T3=Cn2⋅122⋅x n−3，第4项为T4=Cn3⋅123⋅x n−92，

根据第3项和第4项的系数比为67，可得Cn2⋅14Cn3⋅18=67，化简得2Cn2Cn3=67，

所以2⋅n(n−1)2×1n(n−1)(n−2)3×2×1=67，可得6n−2=67，解得n=9，

因此，(x+12x)n=(x+12x)9，通项公式为Tr+1=C9r⋅12r⋅x 9−3r2，

令9−3r2=0，解得r=6，故展开式中的常数项为T7=C96⋅126=8464=2116，

综上所述，n=9且常数项为2116；

(2)由(1)知通项公式为Tr+1=C9r⋅12r⋅x 9−3r2，其系数为ar=C9r⋅12r，

r=0、1、2、…、9，

相邻两项系数之比为ar+1ar=C9r+1⋅12r+1C9r⋅12r=9−r2(r+1)，

当9−r2(r+1)>1时，系数递增；当9−r2(r+1)<1时，系数递减，

由9−r2(r+1)≥1，化简得9−r≥2r+2，解得r≤73，

所以r≤2时，系数递增；当r≥3时，系数递减，可得系数最大的项对应r=3，

展开式中系数最大的项为第4项，即T4=C93⋅123⋅x(0,1)1(1,+∞)f′(x)+0−f(x)单调递增极大值单调递减∴当x=1时，f(x)取最大值为−1−e；

(2)f′(x)=aex(x−1)x2+1x2−1x=(x−1)(aex−1)x2(x>0)，

当a>0时，令f′(x)=0⇒x=1或x=−lna，

①当0<a<1e时，由f′(x)>0⇒0<x<1或x>−lna，由f′(x)<0⇒1<x<−lna，

所以函数f(x)在(0,1)和(−lna,+∞)上单调递增，在(1,−lna)上单调递减；

②当a=1e时，由f′(x)≥0，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．

③当1e<a<1时，由f′(x)>0⇒0<x<−lna或x>1，由f′(x)<0⇒−lna<x<1，

所以函数f(x)在(0,−lna)和(1,+∞)上单调递增，在(−lna,1)上单调递减；

④当a≥1时，由f′(x)>0⇒x>1，由f′(x)<0⇒0<x<1，

所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减；

综上：当0<a<1e时，函数f(x)的单调增区间为(0,1)和(−lna,+∞)，减区间为(1,−lna)；

当a=1e时，函数f(x)的单调增区间为(0,+∞)，无减区间；

当1e<a<1时，函数f(x)的单调增区间为(0,−lna)和(1,+∞)，减区间为(−lna,1)；

当a≥1时，函数f(x)的单调增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)；

(3)x>1，则不等式f(x)≤1−x−1x转化为a≤(lnx−