2023-2024学年天津市河西区高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共9题，每小题3分，共27分。1．（3分）已知集合P＝{x|﹣1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝（）A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）2．（3分）命题p：∀x∈R，x2+1≥1，则￢p是（）A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∀x∈R，x2+1≥1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥13．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，则下列函数与f（x）相等的函数是（）A．g（x）＝ B．g（x）＝ C．g（x）＝ D．g（x）＝x﹣14．（3分）若函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b6．（3分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤57．（3分）已知曲线C：f（x）＝x3﹣ax+a，若过曲线C外一点A（1，0）引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（）A． B．﹣2 C．2 D．﹣8．（3分）已知函数，若af（﹣a）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）9．（3分）已知函数f（x）＝，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A． B．{x|x≤1} C． D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。10．（4分）函数f（x）＝（2x﹣1）的定义域是．11．（4分）已知f（x）＝sinx﹣2x，x∈R，且f（2a）＜f（a﹣1），则实数a的取值范围是．12．（4分）若f（x）＝ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a＝．13．（4分）给出下列命题：①若a＞b，则ac2＞bc2；②若a＞b，则；③若a，b是非零实数，且a＜b，则；④若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2，其中正确的命题是．14．（4分）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N*）为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运年数为时，营运的年平均利润最大．15．（4分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）+2m有三个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（9分）求下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．17．（10分）（1）已知0＜x＜，求x（4﹣3x）的最大值．（2）点（x，y）在直线x+2y＝3上移动，求2x+4y的最小值．18．（10分）已知函数f（x）＝x3+cx在x＝1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的极值．19．（10分）函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对一切x＞0，y＞0，都有＝f（x）﹣f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）＝1，解不等式f（x+5）﹣f．20．（10分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+m（m∈R）．（1）若y＝f（x）的图象恒在x轴上方，求m的取值范围；（2）若存在正数x1，x2（x1＜x2），满足f（x1）＝f（x2），证明：x1+x2＞2．

2023-2024学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共9题，每小题3分，共27分。1．（3分）已知集合P＝{x|﹣1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝（）A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）【考点】并集及其运算．【答案】A【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合P＝{x|﹣1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．故选：A．2．（3分）命题p：∀x∈R，x2+1≥1，则￢p是（）A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∀x∈R，x2+1≥1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1【考点】全称量词命题的否定；全称量词和全称量词命题．【答案】C【分析】根据全称命题的否定定义可解．【解答】解：因为命题p：∀x∈R，x2+1≥1，则￢p：∃x∈R，x2+1＜1．故选：C．3．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，则下列函数与f（x）相等的函数是（）A．g（x）＝ B．g（x）＝ C．g（x）＝ D．g（x）＝x﹣1【考点】判断两个函数是否为同一函数．【答案】B【分析】判断函数是否相等要看两个方面，对应关系与定义域．【解答】解：函数f（x）＝|x﹣1|的定义域为R，选项A：g（x）＝的定义域为{x|x≠﹣1}，选项B：g（x）＝＝|x﹣1|，且定义域也为R，故相等；选项C：g（x）＝与f（x）的对应关系不同；选项D：g（x）＝x﹣1的对应关系与其不同．故选：B．4．（3分）若函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】B【分析】由题意可得a＝3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．【解答】解：由题意可知图象过（3，1），故有1＝loga3，解得a＝3，选项A，y＝a﹣x＝3﹣x＝（）x单调递减，故错误；选项B，y＝x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y＝（﹣x）3＝﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y＝loga（﹣x）＝log3（﹣x），当x＝﹣3时，y＝1，但图象明显当x＝﹣3时，y＝﹣1，故错误．故选：B．5．（3分）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b【考点】不等关系与不等式；指数函数的单调性与最值；对数的运算性质．【答案】B【分析】根据指数幂和对数的取值，分别判断a，b，c的取值范围，然后比较大小．【解答】解：，，∵log34＞1，∴，即0＜a＜1，b＞1，c＜0，∴c＜a＜b．故选：B．6．（3分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5【考点】充分条件与必要条件．【答案】C【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max＝4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选：C．7．（3分）已知曲线C：f（x）＝x3﹣ax+a，若过曲线C外一点A（1，0）引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（）A． B．﹣2 C．2 D．﹣【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】A【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由点斜式得到切线方程，再由点A在且线上得到关于切点横坐标的方程，求得两切点，再由两切点处的导数互为相反数求得a的值．【解答】解：由f（x）＝x3﹣ax+a，得f′（x）＝3x2﹣a，设切点为，∴，∴过切点的切线方程为，∵切线过点A（1，0），∴，解得：x0＝0或．∴f′（0）＝﹣a，，由两切线倾斜角互补，得﹣a＝，∴a＝．故选：A．8．（3分）已知函数，若af（﹣a）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【考点】分段函数的应用．【答案】A【分析】作出函数的图象，结合图象及对数函数的性质求解即可．【解答】解：作出函数的图象，如图所示：因为af（﹣a）＞0，所以或，即或解得0＜a＜1或﹣1＜a＜0．故选：A．9．（3分）已知函数f（x）＝，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A． B．{x|x≤1} C． D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【答案】C【分析】对f（x+1）中的x分两类，即当x+1＜0，和x+1≥0时分别解不等式可得结果．【解答】解：依题意得所以故选：C．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。10．（4分）函数f（x）＝（2x﹣1）的定义域是（，1）．【考点】函数的定义域及其求法．【答案】见试题解答内容【分析】须保证解析式中分母不为0，且真数大于0，由此可求出定义域．【解答】解：欲使函数f（x）有意义，须有，解得＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（，1）．故答案为：（，1）．11．（4分）已知f（x）＝sinx﹣2x，x∈R，且f（2a）＜f（a﹣1），则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，对函数f（x）求导分析可得f′（x）＝cosx﹣2＜0，即可得函数f（x）在R上为减函数，进而可以将f（2a）＜f（a﹣1）转化为2a＞a﹣1，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝sinx﹣2x，其导数f′（x）＝cosx﹣2，又由cosx≤1，则必有f′（x）＝cosx﹣2＜0，即函数f（x）在R上为减函数，若f（2a）＜f（a﹣1），必有2a＞a﹣1，解可得a＞﹣1，即a的取值范围（﹣1，+∞）；故答案为：（﹣1，+∞）12．（4分）若f（x）＝ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a＝﹣．【考点】函数的奇偶性．【答案】见试题解答内容【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若f（x）＝ln（e3x+1）+ax是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即ln（e3x+1）+ax＝ln（e﹣3x+1）﹣ax，即2ax＝ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）＝ln＝ln＝lne﹣3x＝﹣3x，即2a＝﹣3，解得a＝﹣，故答案为：﹣．13．（4分）给出下列命题：①若a＞b，则ac2＞bc2；②若a＞b，则；③若a，b是非零实数，且a＜b，则；④若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2，其中正确的命题是③④．【考点】等式与不等式的性质．【答案】见试题解答内容【分析】本题可以利用不等式的基本性质去判断命题的真假，对于错误的命题，可以举反例说明．【解答】解：①若a＞b，取c＝0，则ac2＝0，bc2＝0，则ac2＞bc2不成立；②若a＞b，取a＝1，b＝﹣2，，，，则不成立；③∵a，b是非零实数，且a＜b，∴a﹣b＜0，a2b2＞0．∴＜0．则成立；④∵a＜b＜0，∴a＜0，b＜0，a﹣b＜0．∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，则a2＞ab＞b2成立．故答案为：③④．14．（4分）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N*）为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运年数为5时，营运的年平均利润最大．【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】5．【分析】由已知先求出函数解析式，然后结合基本不等式可求．【解答】解：由题意设，y＝a（x﹣6）2+11，则a（4﹣6）2+11＝7，所以a＝﹣1，y＝﹣（x﹣6）2+11，则＝12﹣（x+）＝2，当且仅当x＝，即x＝5时取等号．故答案为：5．15．（4分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）+2m有三个零点，则实数m的取值范围是（﹣1，﹣]．【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．【答案】见试题解答内容【分析】画出函数f（x）的草图，通过图象可直接得出，一目了然．【解答】解：令g（x）＝0，∴f（x）＝﹣2m，画出函数f（x）的图象，如图示：，∴需满足1≤﹣2m＜2即可，解得：﹣1＜m≤﹣，故答案为：（﹣1，﹣]．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（9分）求下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）﹣16．【分析】（Ⅰ）利用对数运算即可；（Ⅱ）利用指数运算即可求值．【解答】解：（Ⅰ）原式＝＝；（Ⅱ）原式＝+10+2＝2﹣20+2＝﹣16．17．（10分）（1）已知0＜x＜，求x（4﹣3x）的最大值．（2）点（x，y）在直线x+2y＝3上移动，求2x+4y的最小值．【考点】基本不等式及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）0＜x＜，则x（4﹣3x）＝，再利用基本不等式的性质即可得出．（2）由点（x，y）在直线x+2y＝3上移动，可得2x+4y≥2＝2，即可得出．【解答】解：（1）∵0＜x＜，∴x（4﹣3x）＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．（2）∵点（x，y）在直线x+2y＝3上移动，∴2x+4y≥2＝2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时取等号．∴2x+4y的最小值为．18．（10分）已知函数f（x）＝x3+cx在x＝1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数求解函数的极值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），求出c的值，从而求出f（x）的解析式即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．【解答】解：（1）f′（x）＝x2+c，当x＝1时，f（x）取得极值，则f′（1）＝0，即+c＝0，得c＝﹣．故f（x）＝x3﹣x．（2）f′（x）＝x2﹣＝（x2﹣1）＝（x﹣1）（x+1），令f′（x）＝0，得x＝﹣1或1．x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗因此，f（x）的极大值为f（﹣1）＝1，极小值为f（1）＝﹣1．19．（10分）函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对一切x＞0，y＞0，都有＝f（x）﹣f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）＝1，解不等式f（x+5）﹣f．【考点】抽象函数的周期性；由函数的单调性求解函数或参数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由条件只要令x＝y＝1，即可得到f（1）＝0；（2）令0＜x1＜x2，则＞1，当x＞1时，有f（x）＞0．f（）＞0，再由条件即可得到单调性；（3）由f（6）＝1，求出f（36）＝2f（6）＝2，f（x+5）﹣f即f[x（x+5）]＜f（36），再运用单调性，即可得到不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵对一切x＞0，y＞0，都有＝f（x）﹣f（y），∴令x＝y＝1．则f（1）＝f（1）﹣f（1）＝0；（2）f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数．理由如下：令0＜x1＜x2，则＞1，当x＞1时，有f（x）＞0．∴f（）＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），则f（x）在定义域（0，+∞）上递增；（3）若f（6）＝1，则f（6）＝f（）＝f（36）﹣f（6），f（36）＝2f（6）＝2，∴f（x+5）﹣f即f[x（x+5）]＜f（36），∵f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，∴0＜x（x+5）＜36，∴x＞0且﹣9＜x＜4，∴0＜x＜4．故原不等式的解集为（0，4）．20．（10分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+m（m∈R）．（1）若y＝f（x）的图象恒在x轴上方，