2023-2024学年天津市河西区高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年天津市河西区高三（上）期中数学试卷一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集I＝{x∈N|x≤10}，集合M＝{1，2，3}，N＝{2，4，6，8，10}，则∁I（M∪N）＝（）A．{5，7，9} B．{1，2，3，4，6，8，10} C．{0，5，7，9} D．{0，1，2，3，4，6，8，10}2．（5分）“cosα＝0”是“sinα＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列说法中，正确的是（）A．若a＞b，则＜ B．若a＞b，则ac＞bc C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd D．若a＞b，则＜4．（5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝ln|x|+sinx B．f（x）＝ln|x|﹣cosx C．f（x）＝ln|x|+cosx D．f（x）＝ln|x|﹣sinx5．（5分）定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，若，b＝f（cos2），c＝f（21.2），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b6．（5分）已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（）A．7 B．9 C．15 D．307．（5分）已知，且，则sin2α＝（）A． B． C．﹣1 D．18．（5分）对于函数，有下列结论：①最小正周期为π；②将y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度即可得到f（x）的图象；③f（x）在区间上单调递减；④f（x）在区间上的值域为．则上述结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则•的取值范围为（）A． B．[2，4] C．[2，5] D．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10．（5分）集合A＝{x||x﹣2|≤1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝．11．（5分）命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定是．12．（5分）已知a＞0，b＞0，若2a•8b＝16，则＝．13．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB﹣bcosA＝b，且C＝，则∠B＝．14．（5分）已知实数a＞0，b＞0，且，则2a+b的最小值是．15．（5分）函数的部分图象如图所示．若方程有实数解，则a的取值范围为．三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a＝8，．（i）求c的值；（ⅱ）求的值．17．（15分）如图，△ABC中，＝，＝，D是AC的中点，，AB与DE交于点M．（Ⅰ）用，表示；（Ⅱ）设，求λ的值；（Ⅲ）若，求∠ACB的最大值．18．（15分）已知函数．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）的定义域为[﹣2，1]，求实数a的值；（Ⅲ）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．19．（15分）已知数列{an}是公比q＞1的等比数列，前三项和为13，且a1，a2+2，a3恰好分别是等差数列{bn}的第一项，第三项，第五项．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}的通项公式cn＝（n∈N*），求数列{cn}的前2n+1项和S2n+1；（Ⅲ）求（n∈N*）．20．（16分）已知函数f（x）＝ax2ex（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为6e，求实数a的值．（Ⅱ）当a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若关于x的不等式f（x）+xex+1≥ex在区间（﹣∞，0]上恒成立，求实数a的取值范围．

2023-2024学年天津市河西区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集I＝{x∈N|x≤10}，集合M＝{1，2，3}，N＝{2，4，6，8，10}，则∁I（M∪N）＝（）A．{5，7，9} B．{1，2，3，4，6，8，10} C．{0，5，7，9} D．{0，1，2，3，4，6，8，10}【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】C【分析】根据并集及补集运算求解即可．【解答】解：由已知得M∪N＝{1，2，3，4，6，8，10}，全集I＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故∁I（M∪N）＝{0，5，7，9}．故选：C．2．（5分）“cosα＝0”是“sinα＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】同角三角函数间的基本关系；充分条件与必要条件．【答案】B【分析】由cosα＝0可得α＝kπ+（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：cosα＝0可得α＝kπ+（k∈Z），∴sinα＝±1，反之成立，∴“cosα＝0”是“sinα＝1”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）下列说法中，正确的是（）A．若a＞b，则＜ B．若a＞b，则ac＞bc C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd D．若a＞b，则＜【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【答案】C【分析】根据不等式的性质判断，也可举特例说明．【解答】解：选项A中，若a＝2，b＝﹣1满足a＞b，但仍然有，A错；选项B中，若c＝0，则ac＝bc，B错；选项C中，则a＞b＞0，c＞d＞0得ac＞bc，bc＞bd，∴ac＞bd，C正确；选项D中，若c＝0，则，甚至a，b中有一个为0时，或无意义，D错．故选：C．4．（5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝ln|x|+sinx B．f（x）＝ln|x|﹣cosx C．f（x）＝ln|x|+cosx D．f（x）＝ln|x|﹣sinx【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】B【分析】由题图可知，函数具有奇偶性，且为偶函数，排除A，D选项；又f（π）＞2，所以排除C选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，用排除法分析：对于A，f（x）＝ln|x|+sinx，函数定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝ln|x|﹣sinx≠f（x），函数f（x）不是偶函数，不符合题意；对于C，f（x）＝ln|x|+cosx，f（π）＝lnπ﹣1＜1，不符合题意；对于D，f（x）＝ln|x|﹣sinx，函数定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝ln|x|+sinx≠f（x），函数f（x）不是偶函数，不符合题意；故选：B．5．（5分）定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，若，b＝f（cos2），c＝f（21.2），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】D【分析】依题意，可得f（x）在（0，+∞）上是减函数，结合21.2＞2＞ln4＞1＞cos（π﹣2）＞0，可得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（ln）＝f（﹣ln4）＝f（ln4）；f（cos2）＝f（﹣cos2）＝f（cos（π﹣2）），∵偶函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，∵21.2＞2＞ln4＞1＞cos（π﹣2）＞0，∴f（21.2）＜f（ln4）＜f（cos2），即c＜a＜b．故选：D．6．（5分）已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（）A．7 B．9 C．15 D．30【考点】等比数列的前n项和．【答案】C【分析】利用已知条件求解等比数列的公比，然后求解即可．【解答】解：等比数列{an}中，设公比为q，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1，（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），可得＝5•﹣4，解得q2＝4，即q＝2，S4＝＝＝15．故选：C．7．（5分）已知，且，则sin2α＝（）A． B． C．﹣1 D．1【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数．【答案】B【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解．【解答】解：∵，∵，∴，又，则sinα＞0，cosα＞0，即cosα+sinα＞0，所以，因为，所以2α∈（0，π），sin2α＞0．由平方可得，即，符合题意．综上，．故选：B．8．（5分）对于函数，有下列结论：①最小正周期为π；②将y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度即可得到f（x）的图象；③f（x）在区间上单调递减；④f（x）在区间上的值域为．则上述结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；命题的真假判断与应用；余弦函数的图象．【答案】B【分析】直接利用余弦型函数的图象和性质以及函数的图象的平移变换求出结果．【解答】解：函数，对于①最小正周期为T＝π，故①正确；②将y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度即可得到f（x）＝2sin（2x+）＝2cos（2x+）的图象，故②错误；③由于x∈，故，故f（x）在区间上单调递减，故③正确；④由于x∈，故，所以，故④错误．故选：B．9．（5分）如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则•的取值范围为（）A． B．[2，4] C．[2，5] D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】C【分析】由数量积的几何意义知，当P在点C处时，•最小，当P在过圆心O作AB的平行线与圆弧的交点时，•最大，然后求出•的取值范围．【解答】解：由题可知，当点P在点C处时，•最小，此时•＝＝，过圆心O作OP∥AB交圆弧于点P，连接AP，此时•最大，过O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延长线于F，则•＝|AB||AF|＝|AB|（|AG|+|GF|）＝，所以•的取值范围为[2，5]．故选：C．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10．（5分）集合A＝{x||x﹣2|≤1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝{x|1≤x＜3}．【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算．【答案】{x|1≤x＜3}．【分析】先求出集合A，B，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：因为A＝{x||x﹣2|≤1}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝{x|1≤x＜3}．故答案为：{x|1≤x＜3}．11．（5分）命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定是∃x∈[﹣2，+∞），x+3＜1．【考点】全称命题的否定；全称量词和全称命题．【答案】∃x∈[﹣2，+∞），x+3＜1．【分析】根据已知条件，结合命题否定的定义，即可求解．【解答】解：“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定是：∃x∈[﹣2，+∞），x+3＜1．故答案为：∃x∈[﹣2，+∞），x+3＜1．12．（5分）已知a＞0，b＞0，若2a•8b＝16，则＝2．【考点】对数的运算性质．【答案】2．【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，以及对数的运算性质，即可求解．【解答】解：2a•8b＝16，则2a•23b＝2a+3b＝24，即a+3b＝4，＝＝．故答案为：2．13．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB﹣bcosA＝b，且C＝，则∠B＝．【考点】正弦定理．【答案】．【分析】根据已知条件，结合正弦定理，推出A＝2B，再结合三角形内角和定理，即可求解．【解答】解：acosB﹣bcosA＝b，则由正弦定理可知，sinAcosB﹣sinBcosA＝sinB，即sin（A﹣B）＝sinB，则A﹣B＝B或A﹣B+B＝π（舍去），故A＝2B，C＝，A+B+C＝π，则3B＝π﹣C＝，解得B＝．故答案为：．14．（5分）已知实数a＞0，b＞0，且，则2a+b的最小值是16．【考点】基本不等式及其应用．【答案】16．【分析】先分析出b＞2，然后由2a+b＝2（a+1）+b﹣2＝2[2（a+1）+（b﹣2）]（+），结合基本不等式即可求解．【解答】解：当0＜b＜2时，＜﹣1，＜1，则+＜0，不符合题意；故b＞2，则2a+b＝2（a+1）+b﹣2＝2[2（a+1）+（b﹣2）]（+）＝++8+8＝16，当且仅当＝且，即a＝3，b＝10时取等号．故答案为：16．15．（5分）函数的部分图象如图所示．若方程有实数解，则a的取值范围为．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】．【分析】根据图象求出函数的解析式为，求出，令，根据二次函数的性质，即可求出结果．【解答】解：由图可知A＝2，，所以T＝π，即ω＝2，当时，f（x）＝2，可得，即，因为，所以，所以函数f（x）的解析式为，设，则＝，令，记，因为t∈[﹣1，1]，所以，即，故，故a的取值范围为．故答案为：．三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a＝8，．（i）求c的值；（ⅱ）求的值．【考点】解三角形；两角和与差的三角函数；正弦定理；余弦定理．【答案】（Ⅰ）B＝；（Ⅱ）（i）c＝12；（ii）．【分析】（I）由已知结合同角基本关系及和差角公式，正弦定理进行化简可求cosB，进而可求B；（Ⅱ）由已知结合余弦定理即可求c；（ii）由余弦定理先求出cosA，再求sinA，然后结合二倍角公式及和差角公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，由正弦定理得+＝，整理得，＝，即＝，因为sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，C∈（0，π），因为tanA有意义，所以cosA≠0，所以sinBcosA＝cosAcosB，即tanB＝，又B∈（0，π），B＝；（Ⅱ）（i）因为a＝8，，由余弦定理得cosB＝＝，整理得c2﹣8c﹣48＝0，解得c＝12（舍负），故c＝12；（ii）由余弦定理得cosA＝＝，所以sinA＝，所以sin2A＝2sinAcosA＝2×＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝2×﹣1＝﹣，故＝（sin2A+cos2A）＝＝．17．（15分）如图，△ABC中，＝，＝，D是AC的中点，，AB与DE交于点M．（Ⅰ）用，表示；（Ⅱ）设，求λ的值；（Ⅲ）若，求∠ACB的最大值．【考点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由平面向量的线性运算计算即可；（2）由平面向量的线性运算和平面向量基本定理计算可得；（3）由平面向量的数量积与夹角公式计算可得cos∠ACB＝，再由基本不等式即可求最值．【解答】解：（1）因为D是AC的中点，，所以＝＝＝＝；（2）因为D，E，M三点共线，所以＝＝＝，因为，所以＝，由平面向量基本定理可得：，解得，所以λ的值为；（3）由（1）知，，因为，所以＝，所以，所以＝＝＝＝，当且仅当，即时等号成立，因为∠ACB∈[0，π]，所以∠ACB的最大值．18．（15分）已知函数．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）的定义域为[﹣2，1]，求实数a的值；（Ⅲ）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【答案】（Ⅰ）[，+∞）；（Ⅱ）a＝2；（Ⅲ）a∈[﹣，1]．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝，利用二次函数的配方法可求得f（x）的值域；（Ⅱ）依题意，得1﹣a2＜0，且﹣2，1是方程（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6＝0的两根，列式可求实数a的值；（Ⅲ）若f（x）的定义域为R⇒（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6≥0恒成立，分1﹣a2＝1﹣a＝0与，两类讨论可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝＝≥，即f（x）的值域为[，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）的定义域为[﹣2，1]，∴（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6≥0的解集为[﹣2，1]，∴1﹣a2＜0，且﹣2，1是方程（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6＝0的两根，即，解得：a＝2；（Ⅲ）若f（x）的定义域为R，则（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6≥0恒成立，①当1﹣a2＝1﹣a＝0，即a＝1时，f（x）＝，符合题意；②，解得：﹣≤a＜1，综上：a∈[﹣，1]．19．（15分）已知数列{an}是公比q＞1的等比数列，前三项和为13，且a1，a2+2，a3恰好分别是等差数列{bn}的第一项，第三项，第五项．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}的通项公式cn＝（n∈N*），求数列{cn}的前2n+1项和S2n+1；（Ⅲ）求（n∈N*）．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【答案】（Ⅰ）an＝3n﹣1，bn＝2n﹣1；（Ⅱ）S2n+1＝+2n2+n；（Ⅲ）﹣．【分析】（Ⅰ）结合等差中项的性质与等比数列的通项公式，求得首项a1与公比q，从而知数列{an}的通项公式，再计算b1，b3及公差d的值，可得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）设奇数项的和为An+1，偶数项的和为Bn，结合等比、等差数列的求和公式，采用分组求和法，即可得解；（Ⅲ）运用裂项求和法，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，a1+a2+a3＝13，所以a1（1+q+q2）＝13①，因为a1，a2+2，a3恰好分别是等差数列{bn}的第一项，第三项，第五项，所以2（a2+2）＝a1+a3，即a1﹣2a2+a3＝4，所以a1（1﹣2q+q2）＝4②，由①②解得，或（不合题意，舍去），所以an＝1•3n﹣1＝3n﹣1，所以b1＝a1＝1，b3＝a2+2＝5，所以公差d＝＝2，所以bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（Ⅱ）设奇数项的和为An+1，则An+1＝30+32+34+…+32n＝＝；设偶数项的和为Bn，则Bn＝3+7+11+…+4n﹣1＝＝2n2+n，所以S2n+1＝An+1+Bn＝+2n2+n．（Ⅲ）＝＝﹣，所以＝（﹣）＝（0﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝﹣．20．（16分）已知函数f（x）＝ax2ex（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为6e，求实数a的值．（Ⅱ）当a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若关于x的不等式f（x）+xex+1≥ex在区间（﹣∞，0]上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】见试题解答内容【分析】（I）f（x）＝ax2ex（a∈R），f′（x）＝ax（x+2）ex，利用f′（1）＝3ae＝6e，解得a．（II）f′（x）＝ax（x+2）ex，a≠0．令）f′（x）＝ax（x+2）ex＝0，解得x＝﹣2，0．对a分类讨论即可得出函数f（x）的单调性．（III）不等式f（x）+xex+1≥ex，化为：ax2ex+xex+1﹣ex≥0，令