2023-2024学年天津市西青区为明学校高三(上)开学数学试卷

2023-2024学年天津市西青区为明学校高三（上）开学数学试卷一、单选题（每题5分，共45分）1．（5分）设集A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）已知等差数列{an}中，a3+a4＝7，则a1+a6＝（）A．4 B．5 C．6 D．73．（5分）命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2≤0 B．∃x∈R，x2+2＞0 C．∀x∈R，x2+2≥0 D．∀x∈R，x2+2＜04．（5分）已知x∈R，则“x＜2”是“＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要5．（5分）已知数列{an}的通项公式为，则数列{an}是（）A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列6．（5分）已知函数f（x）＝，则下列正确的是（）A．f（e）＞f（6）＞f（4） B．f（6）＞f（4）＞f（e） C．f（e）＞f（4）＞f（6） D．f（4）＞f（e）＞f（6）7．（5分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的大致图象是（）A． B． C． D．8．（5分）f（x）＝﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值范围是（）A．{2} B．（﹣∞，2] C．[2，+∞） D．（﹣∞，1]9．（5分）已知f（x）＝﹣x2+mx+1在区间[﹣2，﹣1]上的最大值就是函数f（x）的极大值，则m的取值范围是（）A．[2，+∞） B．[4，+∞） C．[﹣4，﹣2] D．[2，4]二、填空题（每题5分，共30分）10．（5分）若向量，向量，则＝．11．（5分）已知正实数m，n满足，则8m+n的最小值为．12．（5分）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种．13．（5分）在的二项展开式中，x2项的系数为．14．（5分）函数f（x）＝ln|x|﹣的零点的个数是．15．（5分）对于正态分布N（0，1）的概率密度函数f（x）＝•，下列说法正确的有．①f（x）为偶函数；②f（x）的最大值是；③f（x）在x＞0时单调递减，在x≤0时单调递增；④f（x）关于x＝1对称．三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（15分）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求C；（2）若b＝4，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，E是棱DD1的中点．（1）求证：BC⊥AB1；（2）求平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值．19．（15分）在公差不为0的等差数列{an}中，a4＝5，且a2，a3，a6成等比数列．（1）求{an}的通项公式和前n项和Sn；（2）设，求数列{bn}的前n项和公式Tn．20．（15分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx﹣c在与x＝1处都取得极值．（1）求实数a，b的值；（2）若对任意x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求实数c的取值范围．

2023-2024学年天津市西青区为明学校高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每题5分，共45分）1．（5分）设集A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1，2} D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【答案】B【分析】解一元二次不等式x2﹣x﹣2＜0得：﹣1＜x＜2，即B＝（﹣1，2），再求交集即可．【解答】解：解二次不等式x2﹣x﹣2＜0得：﹣1＜x＜2，即B＝（﹣1，2），又A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A∩B＝{0，1}，故选：B．2．（5分）已知等差数列{an}中，a3+a4＝7，则a1+a6＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．【答案】D【分析】根据等差数列的性质求得正确答案．【解答】解：由于数列{an}是等差数列，所以a1+a6＝a3+a4＝7．故选：D．3．（5分）命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2≤0 B．∃x∈R，x2+2＞0 C．∀x∈R，x2+2≥0 D．∀x∈R，x2+2＜0【考点】全称命题的否定．【答案】A【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，x2+2≤0，故选：A．4．（5分）已知x∈R，则“x＜2”是“＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】充分条件与必要条件．【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由＞1⇔＞0⇔0＜x＜2，由x＜2，不能够推出＞1，由＞1，能够推出x＜2，故：“x＜2”是“＞1”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）已知数列{an}的通项公式为，则数列{an}是（）A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列【考点】等比数列的性质．【答案】A【分析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可．【解答】解：因为a1＝1，，所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．故选：A．6．（5分）已知函数f（x）＝，则下列正确的是（）A．f（e）＞f（6）＞f（4） B．f（6）＞f（4）＞f（e） C．f（e）＞f（4）＞f（6） D．f（4）＞f（e）＞f（6）【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】C【分析】由于f′（x）＝，可得f（x）在（e，+∞）上单调递减，从而可得答案．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∵e＜4＜6，∴f（e）＞f（4）＞f（6），故选：C．7．（5分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的大致图象是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换；利用导数研究函数的单调性．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性，只需考虑x∈[﹣2，0]时的情况，再分x∈[﹣2，﹣1]和x∈（﹣1，0]两类，讨论f（x）的图象增长快慢，即可得解．【解答】解：由图可知，f′（x）为奇函数，所以f（x）为偶函数，故只需考虑x∈[﹣2，0]时的情况，当x∈[﹣2，0]时，f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣2，0]上单调递增，下面分析增长的快慢：当x∈[﹣2，﹣1]时，f′（x）的值逐渐增大，所以f（x）的图象在[﹣2，﹣1]上增长速度越来越快，排除选项B和C，当x∈（﹣1，0]时，f′（x）的值逐渐减小，所以f（x）的图象在（﹣1，0]上增长速度越来越慢，排除选项D．故选：A．8．（5分）f（x）＝﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值范围是（）A．{2} B．（﹣∞，2] C．[2，+∞） D．（﹣∞，1]【考点】二次函数的性质与图象．【答案】C【分析】根据二次函数的图象，可得f（x）在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数．由此结合题意建立关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）＝﹣x2+mx的图象是开口向下的抛物线，关于直线x＝对称，∴函数f（x）＝﹣x2+mx在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数∵在（﹣∞，1]上f（x）是增函数∴1≤，解之得m≥2故选：C．9．（5分）已知f（x）＝﹣x2+mx+1在区间[﹣2，﹣1]上的最大值就是函数f（x）的极大值，则m的取值范围是（）A．[2，+∞） B．[4，+∞） C．[﹣4，﹣2] D．[2，4]【考点】二次函数的性质与图象；利用导数研究函数的极值．【答案】C【分析】由函数的极大值与最大值的关系即可求解．【解答】解：f′（x）＝m﹣2x，令f′（x）＝0，得，因为f（x）＝﹣x2+mx+1在区间[﹣2，﹣1]上的最大值就是函数f（x）的极大值，则必有，所以m∈[﹣4，﹣2]．故选：C．二、填空题（每题5分，共30分）10．（5分）若向量，向量，则＝（4，﹣1，0）．【考点】空间向量及其线性运算；空间向量运算的坐标表示．【答案】（4，﹣1，0）．【分析】利用向量线性运算的坐标表示计算即可．【解答】解：向量，向量，则．故答案为：（4，﹣1，0）．11．（5分）已知正实数m，n满足，则8m+n的最小值为8．【考点】基本不等式及其应用．【答案】8．【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．【解答】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以8m+n的最小值为8．故答案为：8．12．（5分）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有24种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】24．【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算．【解答】解：利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种，然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种，因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，利用插空法排列甲，排法有种，所以不同的排列方法有种．故答案为：24．13．（5分）在的二项展开式中，x2项的系数为﹣20．【考点】二项式定理．【答案】﹣20．【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为2，进而可以求解．【解答】解：展开式的通项公式为T＝C，r＝0，1，2，.....6，令6﹣，解得r＝3，所以x2的系数为C＝﹣20，故答案为：﹣20．14．（5分）函数f（x）＝ln|x|﹣的零点的个数是3．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】见试题解答内容【分析】由f（x）＝0得ln|x|＝，然后分别作出函数y＝ln|x|与y＝的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由f（x）＝ln|x|﹣＝0得ln|x|＝，设函数y＝ln|x|与y＝，分别作出函数y＝ln|x|与y＝的图象如图：由图象可知两个函数的交点个数为3个，故函数的零点个数为3个，故答案为：315．（5分）对于正态分布N（0，1）的概率密度函数f（x）＝•，下列说法正确的有①②③．①f（x）为偶函数；②f（x）的最大值是；③f（x）在x＞0时单调递减，在x≤0时单调递增；④f（x）关于x＝1对称．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】见试题解答内容【分析】f（x）＝•，可得μ＝0，σ＝1，曲线的对称轴为x＝μ＝0，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）＝•，∴μ＝0，σ＝1，曲线的对称轴为x＝μ＝0①f（x）为偶函数，正确；②x＝0时，f（x）的最大值是，正确；③f（x）在x＞0时单调递减，在x≤0时单调递增，正确；④X～N（0，1），∴曲线的对称轴为x＝μ＝0，不正确．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（15分）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】（1）9；（2）24．【分析】（1）利用分类相加计数原理即可得解；（2）利用分步相乘计数原理即可得解．【解答】解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数为4+3+2＝9．（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为4×3×2＝24．17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求C；（2）若b＝4，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用二倍角公式化简即可求得．（2）利用面积公式和余弦定理即可求解．【解答】解：（1）由，得，在△ABC中，sinC≠0，∴，在△ABC中，C∈（0，π），∴．（2），∴，由余弦定理得，∴c＝2，∴，∴△ABC的周长为．18．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，E是棱DD1的中点．（1）求证：BC⊥AB1；（2）求平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．【答案】（1）证明见解答．（2）．【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）用空间向量数量积计算两平面所成角余弦值；【解答】（1）证明：因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，所以BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB1；（2）解：建系如图，A（0，0，0），E（0，1，1），B1（1，0，2），＝（0，1，1），＝（1，0，2），令＝（x，y，z），＝0，＝0，可得，不妨x＝2，y＝1，z＝﹣1，所以＝（2，1，﹣1）是平面AB1E的法向量，平面ABCD的法向量是＝（0，0，1），所以平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值为＝＝．19．（15分）在公差不为0的等差数列{an}中，a4＝5，且a2，a3，a6成等比数列．（1）求{an}的通项公式和前n项和Sn；（2）设，求数列{bn}的前n项和公式Tn．【考点】数列的求和．【答案】（1）an＝2n﹣3，；（2）．【分析】（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可得出答案；（2）利用裂项相消法，即可得出答案．【解答】解：（1）在公差d不为零的等差数列{an}中，a4＝5，又a2，a3，a6成等比数列，则，即，解得a1＝﹣1，d＝2，则an＝a1+（n﹣1）d＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3，；（2）由（1）得an＝2n﹣3，则，可得数列{bn}