2023-2024学年西藏山南第一高级中学、完全中学高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年西藏山南第一高级中学、完全中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数5i−2A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i2．（5分）与﹣20°角终边相同的角是（）A．﹣300° B．﹣280° C．320° D．340°3．（5分）抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（）A．88.5 B．89 C．91 D．89.54．（5分）当23＜m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（5分）已知向量a→=（sinα，2），b→=（1，﹣cosα），若a→A．12 B．﹣2 C．−16．（5分）在△ABC中，三边长分为3，7，8，则最大角和最小角之和是（）A．34π B．23π C．7．（5分）已知函数f(x)=23sin(2x−φ)，（0＜φ＜2πA．π2 B．π C．3π2 D．π8．（5分）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到的另一组数据y1，y2，…，yn，满足yi＝﹣xi+c（c为非零常数），则下列结论一定成立的是（）A．两组数据的样本平均数不同 B．两组数据的中位数相同 C．两组数据的样本方差相同 D．两组数据的样本标准差不同二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）A．调查某市小学生每天的运动时间 B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查 C．农业科技人员调查某块地今年麦穂的单穂平均质量 D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况（多选）10．（6分）下列各式的值为正的是（）A．tan188°cos158° B．sin305°cos460° C．cos378°sin1100° D．tan400°tan470°（多选）11．（6分）如图所示，在正六边形ABCDEF中，下列结论正确的是（）A．BD→B．BD→C．FC→D．AC→在AB→三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）若a→，b→满足|a→|＝2，|b→|＝3，则|a→13．（5分）某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为．14．（5分）已知2cosα﹣cosβ=32，2sinα﹣sinβ＝2，则cos（α﹣β）＝四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（13分）若点A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想．16．（15分）在△ABC中，已知B＝30°，b=2，c17．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a→=(a，c−b)，（1）求角C；（2）若c=32，△ABC的面积为3318．（17分）对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率[10，15）100.20[15，20）24n[20，25）mp[25，30]20.04合计M1（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数）19．（17分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，点A（0，−24）为函数f（x）的图象与y轴的一个交点，点B为函数f（x）图象上的一个最高点，且点B的横坐标为π4，点C（3π4，0）为函数f（（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知函数g(x)=af(x)+af(x−4π3)+b的值域为[﹣4，6]，求a

2023-2024学年西藏山南第一高级中学、完全中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数5i−2A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】B【分析】首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．【解答】解：∵复数5i−2=5(−i−2)∴共轭复数是﹣2+i故选：B．2．（5分）与﹣20°角终边相同的角是（）A．﹣300° B．﹣280° C．320° D．340°【考点】终边相同的角．【答案】D【分析】由终边相同的角的性质即可求解．【解答】解：因为与﹣20°角终边相同的角是﹣20°+360°k，k∈Z，当k＝1时，这个角为340°，只有选项D满足，其他选项不满足k∈Z．故选：D．3．（5分）抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（）A．88.5 B．89 C．91 D．89.5【考点】百分位数．【答案】D【分析】利用百分位数的定义，转化求解即可．【解答】解：抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，排列为：85，85，86，86，87，88，88，89，90，92，10×80%＝8，这10次成绩的80%分位数为：89+902故选：D．4．（5分）当23＜m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【答案】D【分析】化简成代数形式，再根据m的范围确定．【解答】解：化简得（3m﹣2）+i（m﹣1），又∵2∴3m﹣2＞0，m﹣1＜0∴所对应的点在第四象限故选：D．5．（5分）已知向量a→=（sinα，2），b→=（1，﹣cosα），若a→A．12 B．﹣2 C．−1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：向量a→=（sinα，2），b→=（1，﹣cosα），则a→故tanα=sinα故选：D．6．（5分）在△ABC中，三边长分为3，7，8，则最大角和最小角之和是（）A．34π B．23π C．【考点】余弦定理．【答案】B【分析】设A为△ABC的最小角，C为△ABC的最大角，利用余弦定理求得B的大小，即可求解．【解答】解：设A为△ABC的最小角，C为△ABC的最大角，由余弦定理，可得cosB=3因为B∈（0，π），所以B=π所以A+C=2π3，即最大角和最小角之和是故选：B．7．（5分）已知函数f(x)=23sin(2x−φ)，（0＜φ＜2πA．π2 B．π C．3π2 D．π【考点】正弦函数的奇偶性和对称性．【答案】D【分析】由题意，利用三角函数的奇偶性，诱导共公式，求得φ的值．【解答】解：∵函数f(x)=23sin(2x−φ)，（0＜φ∴φ＝kπ+π2，k∈故选：D．8．（5分）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到的另一组数据y1，y2，…，yn，满足yi＝﹣xi+c（c为非零常数），则下列结论一定成立的是（）A．两组数据的样本平均数不同 B．两组数据的中位数相同 C．两组数据的样本方差相同 D．两组数据的样本标准差不同【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数．【答案】C【分析】根据平均数和方差的公式可得y=−x+c，s【解答】解：对于A，设x1，x2，…，xn的平均数是x，y1，y2，…，yn的平均数是y，由题意y=−x+c，如果x=c2，则对于B，如果x1，x2，…，xn．的中位数是c2，则两者中位数相同，否则不相同，故B对于C，设x1，x2，…，xn的方差是s12，y1，y2，…，yn的差是s22，则s22=（﹣1）对于D，因为s12=s22，所以s1故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）A．调查某市小学生每天的运动时间 B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查 C．农业科技人员调查某块地今年麦穂的单穂平均质量 D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况【考点】普查与抽样．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合普查与抽查的特征，即可求解．【解答】解：选项A和C适合采用抽样调查，因为选项B和D中应该对所有人员进行检查，所以用普查的方式．故选：AC．（多选）10．（6分）下列各式的值为正的是（）A．tan188°cos158° B．sin305°cos460° C．cos378°sin1100° D．tan400°tan470°【考点】二倍角的三角函数；运用诱导公式化简求值．【答案】BC【分析】直接利用三角函数的诱导公式和三角函数的值的符号的的应用求出结果．【解答】解：对于A：tan188°cos158°＝tan8°•（﹣cos22°）＜0，故A错误；对于B：sin305°cos460°＝（﹣sin55°）•（﹣sin10°）＝sin55°•sin10°＞0，故B正确；对于C：cos378°sin1100°＝cos18°•sin20°＞0，故C正确；对于D：tan400°tan470°＝tan40°•（﹣tan70°）＜0，故D错误．故选：BC．（多选）11．（6分）如图所示，在正六边形ABCDEF中，下列结论正确的是（）A．BD→B．BD→C．FC→D．AC→在AB→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量的概念与平面向量的模．【答案】ABC【分析】根据题意，由向量的加减运算法则可得AB正确，由向量数量积的计算公式可得C正确，结合投影向量的计算公式分析可得D错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，设正六边形ABCDEF的边长为a，依次分析选项：对于A，BD→−BF对于B，BD→+BF对于C，易得FC＝2a，∠AFC＝60°，则FC→•FA→=2a×a×cos60°＝a2＝|FA|2对于D，△ACB中，∠CAF＝30°，则AC＝2ABcos30°=3则AC→在AB→上的投影向量为|AC→|cos30°AB故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）若a→，b→满足|a→|＝2，|b→|＝3，则|a→【考点】两个平面向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】5；1．【分析】利用向量模的计算法直接计算．【解答】解：设a→，b|a＝4+9+2×2×3×cosθ，当θ＝0时，即a→，b当θ＝π时，即a→，b13．（5分）某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为．【考点】分层随机抽样．【答案】10．【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．【解答】解：由题意可得，采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为4001000故答案为：10．14．（5分）已知2cosα﹣cosβ=32，2sinα﹣sinβ＝2，则cos（α﹣β）＝【考点】两角和与差的三角函数．【答案】−5【分析】将两式同时平方，然后相加，利用两角和差的余弦公式进行求解即可．【解答】解：由2cosα﹣cosβ=32，平方得4cos2α﹣4cosαcosβ+cos2β由2sinα﹣sinβ＝2，平方得4sin2α﹣4sinαsinβ+sin2β＝4，两式相加得4﹣4（cosαcosβ+sinαsinβ）+1=25即−54=4cos（α﹣β），得cos（α﹣β故答案为：−5四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（13分）若点A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想．【考点】三角形的形状判断．【答案】△ABC是直角三角形．【分析】根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），则AB→=(1，1)，故AB→故AB→⊥AC16．（15分）在△ABC中，已知B＝30°，b=2，c【考点】解三角形．【答案】C＝45°，A＝105°，a=3+1或C＝135°，A＝15°，a【分析】根据正弦定理求得C，进而得到A，根据余弦定理求得a即可．【解答】解：由正弦定理，得sinC=csinB因为c＞b，B＝30°，所以30°＜C＜180°，于是C＝45°或C＝135°．（1）当C＝45°时，A＝105°．此时a=bsinA（2）当C＝135°时，A＝15°．此时a=bsinA17．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a→=(a，c−b)，（1）求角C；（2）若c=32，△ABC的面积为33【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）C=2（2）△ABC的周长为a+b+c=32【分析】（1）由题意得a（sinA+sinB）＝（c﹣b）（sinC+sinB），利用正弦定理边化角得a（a+b）＝（c﹣b）（c+b），即a2+b2﹣c2＝﹣ab，结合余弦定理，即可得出答案；（2）由（1）得C=23π，由余弦定理得a2+b2﹣c2＝﹣ab，即（a+b）2﹣ab＝c2＝18，结合面积公式可得ab＝6，求出a【解答】解：（1）∵a→∥b→，a→=（a，c﹣b），b→=（sin∴a（sinA+sinB）＝（c﹣b）（sinC+sinB），∴由正弦定理得a（a﹣b）＝（c﹣b）（c+b），即a2+b2﹣c2＝﹣ab，由余弦定理得cosC=a又C∈（0，π），则C=2（2）由（1）得a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴（a+b）2﹣ab＝c2＝18，又S=1则ab＝6，∴（a+b）2＝18+ab＝24，即a+b=26∴△ABC的周长为a+b+c=3218．（17分）对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率[10，15）100.20[15，20）24n[20，25）mp[25，30]20.04合计M1（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数）【考点】补全频率分布直方图．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据频率的定义求出M，p，根据频率分布直方图的性质求解a；（2）根据频率分布直方图的性质求解；（3）根据中位数、众数和平均数的定义求解．【解答】解：（1）由分组[10，15）对应的频数是10，频率是0.20，可得10M解得M＝50，所以10+24+m+2＝50，解得m＝14，所以p=m（2）估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数为2450（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是15+202因为n=24所以估计该校高三学生参加社区服务