2023-2024学年浙江省台州市山海协作体高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年浙江省台州市山海协作体高二（下）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）A6A．15 B．30 C．45 D．602．（5分）若随机变量X～B（n，p），且E（X）＝6，D（X）＝5，则p的值为（）A．16 B．13 C．123．（5分）5个人分4张足球票（有位置区别），每人至多分1张，而且票必须分完，则不同分法的种数为（）A．5 B．10 C．60 D．1204．（5分）已知函数f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）有2个极值点 B．f（x）在x＝1处取得极小值 C．f（x）有极大值，没有极小值 D．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减5．（5分）我们常用以下方法求形如y＝f（x）g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny＝g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：1y•y′＝g′（x）lnf（x）+g（x）•1f(x)•f′（x），于是得到：y′＝f（x）g（x）[g′（x）lnf（x）+g（x）•1f(x)•f′（x）]，运用此方法求得函数A．（e，4） B．（3，6） C．（0，e） D．（2，3）6．（5分）在（1+2x−x）5的展开式中，A．﹣50 B．﹣30 C．30 D．507．（5分）设0＜a＜12，0＜b＜ξ﹣101P12ab则当a在(0，1A．E（ξ）增大，D（ξ）增大 B．E（ξ）增大，D（ξ）减小 C．E（ξ）减小，D（ξ）增大 D．E（ξ）减小，D（ξ）减小8．（5分）已知a=eπ−3，b=ln(eπ−2e)，c=2π−5π−2，d=π−2，则a，A．c＜b＜d＜a B．c＜d＜b＜a C．d＜c＜a＜b D．b＜c＜a＜d二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）（多选）9．（6分）市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865按公式计算，y与x的回归直线方程是：ŷ=−3.2x+aA．âB．变量x，y线性正相关 C．相应于点（9.5，10）的残差约为﹣0.4 D．当x＝8时，y的估计值为14.4（多选）10．（6分）某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%．记“任取一个零件为第i台车床加工（i＝1，2）”为事件Ai，“任取一个零件是次品”为事件B，则（）A．P（B）＝0.054 B．P（A2B）＝0.03 C．P(A2|B)=49 D．P（（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ex﹣x，g（x）＝x﹣lnx，则下列说法正确的是（）A．g（ex）在（0，+∞）上是增函数 B．若函数y＝f（x）﹣t有两个零点x1，x2，则x1+x2＞0 C．若h（x）＝ax2+g（x）在定义域内存在单调递增区间，则实数a＞−1D．若f（x1）＝g（x2）＝t（t＞2），且x2＞x1＞0，则lntx2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X＞3）＝0.3，则P（1＜X＜2）＝．13．（5分）已知函数f(x)=f′(π3)sinx−cos2x，则f′(14．（5分）如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则小明、小华、小齐三人能相遇的概率为．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15．（13分）一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码．（1）若一次取2个球，至少有一个红球的取法有多少种；（2）若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法．16．（15分）已知(x（1）求展开式中所有项的系数和；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．17．（15分）已知函数f（x）＝x3﹣3mx+m2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有三个零点，求m的取值范围．18．（17分）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：好评差评合计男性68108女性60合计216（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取m（m∈N*）人．现从这（10+m）人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（17分）已知函数f（x）＝x2+lnx+ax在x＝1处的切线l和直线x+y＝0垂直．（1）求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有f(x1)−f(x2

2023-2024学年浙江省台州市山海协作体高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）A6A．15 B．30 C．45 D．60【考点】组合及组合数公式；排列及排列数公式．【答案】C【分析】由排列数公式，组合数公式及性质计算即可．【解答】解：A6故选：C．2．（5分）若随机变量X～B（n，p），且E（X）＝6，D（X）＝5，则p的值为（）A．16 B．13 C．12【考点】n重伯努利试验与二项分布；离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】A【分析】根据二项分布的期望、方差计算可得答案．【解答】解：因为E（X）＝np＝6，D（X）＝np（1﹣p）＝5，所以1−p=56，解得故选：A．3．（5分）5个人分4张足球票（有位置区别），每人至多分1张，而且票必须分完，则不同分法的种数为（）A．5 B．10 C．60 D．120【考点】排列组合的综合应用．【答案】D【分析】根据题意，由排列数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，5个人分4张足球票，足球票不同，是排列问题，有A5故选：D．4．（5分）已知函数f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）有2个极值点 B．f（x）在x＝1处取得极小值 C．f（x）有极大值，没有极小值 D．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【答案】C【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论．【解答】解：由题意及图得，f（x）在（﹣∞，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，∴f（x）有一个极大值，没有极小值，∴A，B，D错误，C正确，故选：C．5．（5分）我们常用以下方法求形如y＝f（x）g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny＝g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：1y•y′＝g′（x）lnf（x）+g（x）•1f(x)•f′（x），于是得到：y′＝f（x）g（x）[g′（x）lnf（x）+g（x）•1f(x)•f′（x）]，运用此方法求得函数A．（e，4） B．（3，6） C．（0，e） D．（2，3）【考点】基本初等函数的导数；函数的单调性．【答案】C【分析】根据定义，先求原函数的导数，令导数大于0，解不等式即可【解答】解：由题意知y′=x1x令y'＞0，得1﹣lnx＞0∴0＜x＜e∴原函数的单调增区间为（0，e）故选：C．6．（5分）在（1+2x−x）5的展开式中，A．﹣50 B．﹣30 C．30 D．50【考点】二项式定理．【答案】B【分析】由条件利用二项式定理，分类讨论求得（1+2x−x）5的展开式中，【解答】解：（1+2x−x）5表示5个因式（1有2个因式都选﹣x，其余的3个因式都选1，相乘可得含x2的项；或者有3个因式选﹣x，有1个因式选1x，1个因式选1，相乘可得含x2故x2项的系数为C52+（−故选：B．7．（5分）设0＜a＜12，0＜b＜ξ﹣101P12ab则当a在(0，1A．E（ξ）增大，D（ξ）增大 B．E（ξ）增大，D（ξ）减小 C．E（ξ）减小，D（ξ）增大 D．E（ξ）减小，D（ξ）减小【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【答案】D【分析】当a在(0，12)【解答】解：当a在(0，12)所以E（ξ）减小，D（ξ）减小，故选：D．8．（5分）已知a=eπ−3，b=ln(eπ−2e)，c=2π−5π−2，d=π−2，则a，A．c＜b＜d＜a B．c＜d＜b＜a C．d＜c＜a＜b D．b＜c＜a＜d【考点】利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较．【答案】A【分析】根据给定条件，构造函数f(x)=e【解答】解：依题意，a=e令函数f（x）＝ex﹣1﹣x，x＞1，求导得f′（x）＝ex﹣1﹣1＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，则当x＞1时，f（x）＞f（1）＝0，即ex﹣1＞x，而π﹣2＞1，因此e﹣3＞π﹣2，即a＞d；令函数g（x）＝lnx﹣x+1，x＞1，求导得g′(x)=1x−1＜0，函数g则当x＞1时，g（x）＜g（1）＝0，即lnx+1＜x，因此ln（eπ﹣2e）＝ln（π﹣2）+1＜π﹣2，即d＞b；令函数h(x)=lnx+1x−1，x＞1，求导得h(x)=1x则当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，即lnx＞1−1因此ln(eπ−2e)=ln(π−2)+1＞2−1π−2=2π−5π−2所以c＜b＜d＜a．故选：A．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）（多选）9．（6分）市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865按公式计算，y与x的回归直线方程是：ŷ=−3.2x+aA．âB．变量x，y线性正相关 C．相应于点（9.5，10）的残差约为﹣0.4 D．当x＝8时，y的估计值为14.4【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】AD【分析】对选项A，由样本中心在回归方程上求参数；对选项B，由相关系数的意义及回归方程的斜率符号判断；对选项C，利用残差的定义求残差；对选项D，将x＝8代入回归方程求估计值．【解答】解：由表格知：x=15所以8＝﹣3.2×10+â，可得â＝40，A正确；由相关系数|r|＝0.986且回归方程斜率为负，则变量x，y线性负相关且相关性较强，B错误；由ŷ=−3.2×9.5+40＝9.6，故残差为10﹣9.6＝0.4，由ŷ=−3.2×8+40＝14.4，故选：AD．（多选）10．（6分）某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%．记“任取一个零件为第i台车床加工（i＝1，2）”为事件Ai，“任取一个零件是次品”为事件B，则（）A．P（B）＝0.054 B．P（A2B）＝0.03 C．P(A2|B)=49 D．P（【考点】条件概率．【答案】ABD【分析】根据全概率公式及条件概率公式计算可得．【解答】解：依题意P（A1）＝0.4，P（A2）＝0.6，P（B|A1）＝0.06，P（B|A2）＝0.05，故D正确；所以P（B）＝P（B|A1）•P（A1）+P（B|A2）•P（A2）＝0.4×0.06+0.6×0.05＝0.054，故A正确；所以P（A2B）＝P（B|A2）P（A2）＝0.05×0.6＝0.03，故B正确；所以P（A2|B）=P(A2故选：ABD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ex﹣x，g（x）＝x﹣lnx，则下列说法正确的是（）A．g（ex）在（0，+∞）上是增函数 B．若函数y＝f（x）﹣t有两个零点x1，x2，则x1+x2＞0 C．若h（x）＝ax2+g（x）在定义域内存在单调递增区间，则实数a＞−1D．若f（x1）＝g（x2）＝t（t＞2），且x2＞x1＞0，则lntx2【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【答案】ACD【分析】由题意，令t＝ex＞，利用导数得到函数g（t）的单调性，根据复合函数单调性的基本原则即可判断选项A；利用导数得到函数f（x）的单调性，可得x1＜0＜x2，若x1+x2＞0，此时问题等价于f（x1）＞f（﹣x1），构造函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x），利用导数得到函数F（x）的单调性，推出F（x）＜0，进而可判断选项B；利用导数得到函数h（x）的单调性，将问题转化成2ax2+x﹣1＞0有解，分离参数，结合二次函数的性质即可判断选项C；利用同构法将问题转化成f（x1）＝f（lnx2）＝t（t＞2），得到x2＞x1＞1，结合f（x）的单调性得到x1＝lnx2，进而可得lntx2−【解答】解：对于选项A：当x＞0时，ex＞1，令t＝ex，t＞1，此时g（t）＝t﹣lnt，可得g′(t)=1−1当t＞1时，g′（t）＞0恒成立，所以g（t）在（1，+∞）上单调递增，因为函数t＝ex在（0，+∞）上单调递增，由复合函数单调性可知g（ex）在（0，+∞）上为增函数，故选项A正确；对于选项B：因为f′（x）＝ex﹣1，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝0时，f（x）取得最小值，最小值f（0）＝1，则t＞1，不妨设x1＜x2，必有x1＜0＜x2，若x1+x2＞0，可得x2＞﹣x1＞0，等价于f（x2）＞f（﹣x1），因为f（x2）＝f（x1），所以f（x1）＞f（﹣x1），设F（x）＝f（x）﹣f（﹣x），函数定义域为（﹣∞，0），可得F′（x）＝ex+e﹣x﹣2，因为0＜ex＜1，e﹣x＞1，所以ex此时F′（x）＞0，所以F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则F（x）＜F（0）＝0，即f（x）＜f（﹣x），所以f（x1）＜f（﹣x1），则x1+x2＞0不成立，故选项B错误；对于选项C：易知h（x）＝ax2+x﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得h′（x）＝2ax+1−1因为y＝h（x）在定义域内存在单调递增区间，所以2ax2+x﹣1＞0有解，此时a＞1−x易知12所以a＞−1则实数a的取值范围为(−18，+∞)对于选项D：因为f（x1）＝g（x2）＝t（t＞2），x2＞x1＞0，所以ex1即f（x1）＝f（lnx2）＝t，易知函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝e﹣1＜2，所以x1＞1，此时x2＞x1＞1，所以lnx2＞0，即x1＝lnx2，整理得ex则lntx设k（t）=lnt可得k′（t）=1−lnt当2＜t＜e时，k′（t）＞0，k（t）单调递增；当t＞e时，k′（t）＜0，k（t）单调递减，所以当t＝e时，函数k（t）取得最大值，最大值k（e）=1则lntx2−x1故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X＞3）＝0.3，则P（1＜X＜2）＝0.2．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】0.2．【分析】由正态分布的对称性得出概率．【解答】解：P（1＜X＜2）＝P（2＜X＜3）＝0.5﹣P（X＞3）＝0.2．故答案为：0.2．13．（5分）已知函数f(x)=f′(π3)sinx−cos2x，则f′(π3【考点】基本初等函数的导数．【答案】23【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．【解答】解：f′(x)=f′(π∴f′(π∴f′(π故答案为：2314．（5分）如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则小明、小华、小齐三人能相遇的概率为81400【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】81400【分析】小明从A到B的不同路径共有C63=20种，小华从B到A【解答】解：小明从A到B的不同路径共有C6小华从B到A的不同路径有C6∴一共有20×20＝400种，则小明、小华、小齐三人相遇的概率为：P=C故答案为：81400四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15．（13分）一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码．（1）若一次取2个球，至少有一个红球的取法有多少种；（2）若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法．【考点】排列组合的综合应用．【答案】（1）26；（2）70．【分析】（1）根据组合数运算求解；（2）根据组合数运算求解．【解答】解：（1）由题意分为：“两个都是红球”或“一个白球一个红球”，故一次取2个球，至少有一个红球的取法有C4（2）由题意分为：“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”，故一次取出颜色不全相同的3个球，不同的取法有C516．（15分）已知(x（1）求展开式中所有项的系数和；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．【考点】二项式系数的性质．【答案】（1）2187；（2）第4项或第5项；（3）114【分析】（1）直接利用赋值法求出展开式的系数和；（2）利用展开式求出二项式的最大项；（3）利用展开式求出有理项不相邻的概率值．【解答】解：（1）令x＝1可得展开式中所有项的系数和37＝2187；（2）二项式系数最大的项为第4项或第5项，二项式系数最大的项为T4（3）由于n＝7，所以展开式共有8项，展开式的通项公式为Tk+1当28−5k2为整数，即k由插空法得有理项不相邻的概率为A417．（15分）已知函数f（x）＝x3﹣3mx+m2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有三个零点，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．【答案】（1）当m≤0时，f（x）在R上单调递增；当m＞0时，f（x）在（−m，m）上单调递减，在（﹣∞，−m）和（（2）（0，4）．【分析】（1）求导后，分m≤0和m＞0两种情况，讨论f'（x）与0的大小关系，得解；（2）根据函数的单调性排除m≤0的情况，结合（1）中所得函数的单调性，使极大值f（−m）＞0，极小值f（m）＜0，求得m【解答】解：（1）因为f（x）＝x3﹣3mx+m2，所以f'（x）＝3x2﹣3m＝3（x2﹣m），当m≤0时，f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上单调递增；当m＞0时，令f'（x）＝0，则x＝±m，所以f（x）在（−m，m）上单调递减，在（﹣∞，−m）和（综上所述，当m≤0时，f（x）在R上单调递增；当m＞0时，f（x）在（−m，m）上单调递减，在（﹣∞，−m）和（（2）当m≤0时，f（x）在R上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意，所以m＞0，由（1）知，f（x）在（−m，m）上单调递减，在（﹣∞，−m）和（因为f（x）有三个零点，所以极大值f（−m）＝m2+2mm＞0，极小值f（m）＝m2﹣2m解得0＜m＜4，当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→+∞，由零点存在定理知，f（x）有三个零点，综上，m的取值范围为（0，4）．18．（17分）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：好评差评合计男性68108女性60合计216（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取m（m∈N*）人．现从这（10+m）人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】（1）2×2列联表补充完整如下：好评差评合计男性4068108女性6048108合计100116216有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”．（2）X～B（3，25X0123P2754368（3）m的最大值为2．【分析】（1）2×2列联表补充完整如解答，通过计算K2=216(60×68−40×48（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性