2023-2024学年浙江省台州市十校联盟高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年浙江省台州市十校联盟高二（下）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（5分）Ax2=6A．6 B．4 C．3 D．22．（5分）设随机变量X的概率分布列如表所示，则P（|X﹣3|＝1）＝（）X234Pm1416A．14 B．512 C．123．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且limΔx→0f(3+Δx)−f(3)2ΔxA．2 B．1 C．8 D．44．（5分）《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（）A．43种 B．34种 C．A43种 D．5．（5分）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布N（90，4）（单位：g），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在（86，92）范围内的大枣个数约为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9973．A．8186 B．8400 C．9545 D．97596．（5分）关于二项式（1+ax+x2）（1﹣x）8，若展开式中含x2的项的系数为21，则a＝（）A．3 B．2 C．1 D．﹣17．（5分）如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A．84 B．72 C．64 D．568．（5分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．(1e，1) C．（1，e）二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）（多选）9．（6分）已知定义域为[﹣3，5]的函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）在（﹣2，2）上单调递减 B．f（x）有极小值f（2） C．f（x）有3个极值点 D．f（x）在x＝﹣3处取得最大值（多选）10．（6分）(x+2A．展开式共7项 B．含x项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128（多选）11．（6分）饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅饺子，2盒三鲜馅饺子和5盒青菜馅饺子，乙箱中有3盒肉馅饺子，3盒三鲜馅饺子和4盒青菜馅饺子，则下列正确的是（）A．从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是115B．依次从甲箱中取出两盒饺子，第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率是16C．先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是310D．先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜㿟饺子的概率是2三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．（5分）已知函数f（x）＝xsinx，则f′(π213．（5分）若X～B(3，15)，则D（5X14．（5分）定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y＝y条件下的期望为E（X|Y＝y）=i=1nxi⋅P(X=xi|Y=y)=i=1nxi⋅P(X=xi，Y=y)P((Y=y)，其中{x1，x2，…，xn}为X的所有可能取值集合，P（X＝x，Y＝y）表示事件“四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）＝x3+ax2+b在x＝﹣2时取得极大值3．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最值．16．（15分）已知（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10，x∈R．（1）求a3的值；（2）求a1+a2+a3+…+a10的值；（3）求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|的值．17．（15分）现有4名男生和3名女生．（1）若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？（2）若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？（3）若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数．18．（17分）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．（1）求选手乙正确作答2个题目的概率；（2）求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；（3）从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．19．（17分）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex−12（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为e2，求a的值；（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（3）当x≥2时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

2023-2024学年浙江省台州市十校联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（5分）Ax2=6A．6 B．4 C．3 D．2【考点】排列及排列数公式．【答案】C【分析】结合排列数公式，即可求解．【解答】解：Ax则x（x﹣1）＝6，解得x＝3或x＝﹣2（舍去）．故选：C．2．（5分）设随机变量X的概率分布列如表所示，则P（|X﹣3|＝1）＝（）X234Pm1416A．14 B．512 C．12【考点】离散型随机变量及其分布列．【答案】D【分析】根据题意，分析可得：P（|X﹣3|＝1）＝P（X＝2或X＝4），结合分布列计算可得答案．【解答】解：根据题意，因为|X﹣3|＝1，所以X＝2或X＝4，所以P（|X﹣3|＝1）＝P（X＝2或X＝4）=P(X=2)+P(X=4)=m+1故选：D．3．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且limΔx→0f(3+Δx)−f(3)2ΔxA．2 B．1 C．8 D．4【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【答案】D【分析】根据导数的定义直接计算即可．【解答】解：由题意得f′（3）=lim故选：D．4．（5分）《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（）A．43种 B．34种 C．A43种 D．【考点】排列组合的综合应用．【答案】B【分析】根据给定条件，利用分步计数乘法原理列式即可．【解答】解：依题意，每个人选择方案有3种，所以4个人不同的选择方案有34种．故选：B．5．（5分）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布N（90，4）（单位：g），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在（86，92）范围内的大枣个数约为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9973．A．8186 B．8400 C．9545 D．9759【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】A【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：因为新培育的大枣单果质量近似服从正态分布N（90，4），所以μ＝90，σ＝2，所以86＝μ﹣2σ，92＝μ+σ，所以P（86＜X＜92）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）=12P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）+12P（μ﹣2σ＜X＜所以现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在（86，92）范围内的大枣个数约为10000×0.8186＝8186．故选：A．6．（5分）关于二项式（1+ax+x2）（1﹣x）8，若展开式中含x2的项的系数为21，则a＝（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【考点】二项式定理．【答案】C【分析】根据排列组合原理，由已知利用x2的系数建立方程，进而即可求解a的值．【解答】解：根据排列组合原理，x2的系数为1×C82×（﹣1）2+a解得a＝1．故选：C．7．（5分）如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A．84 B．72 C．64 D．56【考点】计数原理的应用．【答案】A【分析】按照选取的颜色个数分类：（1）用四种颜色涂色，A，B，C，D颜色都不同；（2）用三种颜色，A，C或B，D同色；（3）用两种颜色涂色，A，C同色，B，D同色，根据分类加法原理，即可求出结论．【解答】解：分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有A4（2）用三种颜色涂色，有2A4（3）用两种颜色涂色，有A4所以共有涂色方法24+48+12＝84．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．(1e，1) C．（1，e）【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值．【答案】A【分析】根据已知条件，分类讨论求导函数判断函数单调性及极值点，结合零点存在定理可得参数范围．【解答】解：已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx，函数f（x）的定义域为（0，+∞）f′(x)=2ax+a−2−1当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）至多有一个零点，不符合题意；当a＞0时，令f′（x）＝0得x=1a，当x∈(0，1a)时，f′（x当x∈(1a，+∞)时，f′（x）＞0，f此时最小值为f(1①当a＝1时，由于f(1a)=0，故f②当a＞1时，1−1a+lna＞0即f(1a③当0＜a＜1时，1−1a+lna＜0又f(1f(3由零点存在定理知f（x）在(0，1a)所以f（x）有两个零点，a的取值范围为（0，1）．故选：A．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）（多选）9．（6分）已知定义域为[﹣3，5]的函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）在（﹣2，2）上单调递减 B．f（x）有极小值f（2） C．f（x）有3个极值点 D．f（x）在x＝﹣3处取得最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案】ABC【分析】首先分析给定图像，由f′（x）的图象可知x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减，进一步分析其他选项，由f′（x）的图象可知当x＝﹣2，2，4时，f（x）有极值，所以f（x）有3个极值点，再找出最大值和极小值即可．【解答】解：由f′（x）的图象可知x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减，故A正确；又x∈（2，4）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增，所以当x＝2时，f（x）有极小值f（2），故B正确；由f′（x）的图象可知x＝﹣2，2，4时，f（x）有极值，所以f（x）有3个极值点，故C正确；当x∈（﹣3，﹣2）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增，所以f（﹣3）＜f（﹣2），则f（x）在x＝﹣3处不能取得最大值，故D错误．故选：ABC．（多选）10．（6分）(x+2A．展开式共7项 B．含x项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128【考点】二项式定理．【答案】CD【分析】直接利用二项式的展开式，赋值法的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：由于二项式(x+2x)7的展开式满足对于A：展开式一共有8项，故A错误；对于B：根据二项式的展开式含x项的系数为r＝4时，C74⋅对于C：由于r为整数，故无论r为何值，x的指数不可能为0，故C正确；对于D：所有项的二项式系数和为27＝128，故D正确．故选：CD．（多选）11．（6分）饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅饺子，2盒三鲜馅饺子和5盒青菜馅饺子，乙箱中有3盒肉馅饺子，3盒三鲜馅饺子和4盒青菜馅饺子，则下列正确的是（）A．从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是115B．依次从甲箱中取出两盒饺子，第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率是16C．先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是310D．先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜㿟饺子的概率是2【考点】条件概率；古典概型及其概率计算公式．【答案】ACD【分析】利用古典概型判断A；利用条件概率判断B；利用全概率公式判断C；利用贝叶斯公式判断D．【解答】解：对于A，从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是P1=C32对于B，依次从甲箱中取出两盒饺子，第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率为：P2=310×对于C，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是：P3=310×对于D，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜馅饺子的概率为：P1=210×故选：ACD．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．（5分）已知函数f（x）＝xsinx，则f′(π2【考点】基本初等函数的导数．【答案】见试题解答内容【分析】根据导数的运算法则即可求出f′(【解答】解：f′（x）＝sinx+xcosx，∴f′(π2)=sinπ故答案为：1．13．（5分）若X～B(3，15)，则D（5X【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】12．【分析】利用二项分布的方差公式可得D（X），进而得解．【解答】解：因为X～B(3，15)，所以D（X）＝3×15所以D（5X﹣1）＝52×D（X）＝25×12故答案为：12．14．（5分）定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y＝y条件下的期望为E（X|Y＝y）=i=1nxi⋅P(X=xi|Y=y)=i=1nxi⋅P(X=xi，Y=y)P((Y=y)，其中{x1，x2，…，xn}为X的所有可能取值集合，P（X＝x，Y＝y）表示事件“【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；条件概率．【答案】2．【分析】根据新定义，条件概率公式，期望的概念，即可求解．【解答】解：根据题意可得P（B＝4）=C又P（A＝1，B＝4）=(16)又P（A＝2，B＝4）=(16)又P（A＝3，B＝4）=(16)∴E（A|B＝4）＝1×13+2×故答案为：2．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）＝x3+ax2+b在x＝﹣2时取得极大值3．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值．【答案】（1）a＝3，b＝﹣1；（2）最大值为19，最小值为﹣1．【分析】（1）求出f′（x），由f′（﹣2）＝0和f（﹣2）＝3求出a，b的值，再检验即可；（2）由（1）可知f（x）在[﹣1，﹣2）单调递增，在（﹣2，0）单调递减，在（0，2]单调递增，进而求出函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最值．【解答】解：（1）f'（x）＝3x2+2ax，因为函数f（x）＝x3+ax2+b在x＝﹣2时取得极大值3，所以f′(−2)=3×4−4a=0f(−2)=−8+4a+b=3解得a＝3，b＝﹣1，此时f（x）＝x3+3x2﹣1，f'（x）＝3x2+6x＝3x（x+2），令f′（x）＝0得，x＝0或﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣2，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝﹣2时取得极大值，符合题意，所以a＝3，b＝﹣1；（2）由（1）得，f（x）在[﹣1，﹣2）单调递增，在（﹣2，0）单调递减，在（0，2]单调递增，又因为f（﹣2）＝3，f（0）＝﹣1，f（2）＝19，所以函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为19，最小值为﹣1．16．（15分）已知（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10，x∈R．（1）求a3的值；（2）求a1+a2+a3+…+a10的值；（3）求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|的值．【考点】二项式定理．【答案】（1）960；（2）0；（3）310．【分析】（1）直接利用二项式的展开式求出结果；（2）利用赋值法求出结果；（3）利用二项式的展开式以及赋值法的应用求出结果．【解答】解：（1）T8=C10（2）令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0所以a1+a2+a3+...+a10＝0．（3）因为展开式的通项为：Tk+1所以当k为奇数时，项的系数为负数．|a0|+|a1|+|a2|+...+|a10|＝a0﹣a1+a2﹣...+a10，令x＝﹣1，得|a17．（15分）现有4名男生和3名女生．（1）若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？（2）若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？（3）若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数．【考点】部分元素不相邻的排列问题．【答案】（1）1440种；（2）1440种；（3）25种．【分析】（1）利用捆绑法，结合排列组合知识求解；（2）利用插空法，结合排列组合知识求解；（3）利用间接法求解．【解答】解：（1）利用捆绑法，则共有排法数为A2（2）利用插空法，可得共有排法数为A4（3）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有C7男生甲和女生乙同时参加的方法有C5共有邀请方法数为C718．（17分）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．（1）求选手乙正确作答2个题目的概率；（2）求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；（3）从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【答案】（1）0.441；（2）X的分布列为：X0123P1120740.．35120E（X）=21（3）选手甲晋级的可能性更大．【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；（2）设选手甲正确作答的题目个数为X，则X服从超几何分布，X取值为0，1，2，3，利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，得到X的分布列，再结合期望公式求解；（3）求出E（X），E（Y），D（X），D（Y），再比较即可．【解答】解：（1）设事件A为“选手乙正确作答2个题目”，则P（A）=C（2）设选手甲正确作答的题目个数为X，则X服从超几何分布，X取值为0，1，2，3，则P(X=0)=C70C33C所以X的分布列为：X0123P11207402140724所以E（X）＝0×1（3）设选手乙正确作答题目个数为Y，则Y服从二项分布，Y的所有可能取值为0，1，2，3，所以E（Y）＝np＝3×0.7＝2.1，D（Y）＝np（1﹣p）＝3×0.7×0.3＝0.63，由（1）可得，E(X2)=因为E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），即甲乙答对题目数一样，但甲较稳定，所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．19．（17分）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex−12（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为e2，求a的值