2023-2024学年重庆市部分区高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年重庆市部分区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数的虚部是（）A． B．1 C． D．i2．（5分）某学校有小学生270人，初中生x人，高中生810人．为了调查学校学生的近视率，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，且从初中生中抽取的人数为120人，则x为（）A．270 B．360 C．450 D．5403．（5分）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（）A．30 B． C． D．4．（5分）设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为（）A．﹣ B． C． D．5．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a：b：c＝5：8：10，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形6．（5分）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7则下列结论正确的是（）A．甲成绩的平均数较小 B．乙成绩的中位数较小 C．乙成绩的极差较大 D．乙比甲的成绩稳定7．（5分）如图所示的平行四边形ABCD中，E，F满足为EF的中点，若，则的值为（）A． B． C． D．8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G、H分别为棱BC、CD、C1D1、B1C1的中点，点M为棱CC1上的动点，则下列说法中正确的个数是（）①AM与A1E异面；②三棱锥H﹣A1EM的体积为定值；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面AEM与平面BB1GF所成的角为定值．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数，则（）A．z•＝2 B． C．z在复平面内对应的点在第二象限 D．z2024＝21012（多选）10．（6分）已知不重合的直线m，n，l和平面α，β，γ，则（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥α B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β C．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥n D．若α∩γ＝m，α∩β＝n，β∩γ＝l，m∩n＝P，则直线l过点P（多选）11．（6分）已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于点对称 B．若f（tx）在区间单调递增且t＞0，则t的取值范围为 C．将函数的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象 D．若方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）求值cos600°＝．13．（5分）一个正方体的顶点都在表面积为3π的球面上，则正方体的棱长为．14．（5分）已知△ABC中，则△ABC外接圆的半径为；线段AD的最大值为．四、解答题：本题共有5个小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知，且．（1）求λ的值；（2）求向量与向量夹角的余弦值．16．（15分）我国是世界上严重缺水的国家，某区为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），⋯，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率直方图．（1）求直方图中a的值；（2）设该区有70万居民，估计全区居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）若该区政府希望使82%的居民每月的用水量不超过标准x吨，估计x的值，说明理由．17．（15分）已知函数．（1）求函数y＝f（x）的解析式和周期，并求其图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在上的单调递减区间．18．（17分）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝，∠ADC＝，AC＝，CD＝．（1）求AD的值；（2）求∠BAC的正弦值；（3）若AB＝2，求△ABC中BC边上高的长度．19．（17分）如图，在五面体ABCDEF中，AD∥CF，AD＝CF＝CA＝2，BE＝EF＝4，∠CFE＝．（1）证明：AD∥BE；（2）给出①FD⊥BE；②CA⊥DE；③平面ABED⊥平面ACFD．试从中选两个作为条件，剩下一个作为结论，可以让推理正确，请证明你的推理；（3）在（2）中推理正确的前提下，求直线CE与平面ABED夹角的正切值．

2023-2024学年重庆市部分区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数的虚部是（）A． B．1 C． D．i【考点】复数的代数形式与三角形式互化；复数的实部与虚部．【答案】B【分析】将复数的三角形式化为一般形式，进而求出复数的虚部．【解答】解：＝2（+i）＝+i，所以该复数的虚部1．故选：B．2．（5分）某学校有小学生270人，初中生x人，高中生810人．为了调查学校学生的近视率，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，且从初中生中抽取的人数为120人，则x为（）A．270 B．360 C．450 D．540【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．【答案】D【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．【解答】解：采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，且从初中生中抽取的人数为120人，则，解得x＝540．故选：D．3．（5分）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（）A．30 B． C． D．【考点】扇形面积公式．【答案】B【分析】根据扇形的面积公式能求出结果．【解答】解：∵扇形的圆心角是30°，∴，扇形半径r＝1，∴扇形的面积为：S＝＝＝＝．故选：B．4．（5分）设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为（）A．﹣ B． C． D．【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】B【分析】由平面向量数量积运算，结合投影向量的概念求解即可．【解答】解：由题意可知：，则在上的投影向量为，故选：B．5．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a：b：c＝5：8：10，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【考点】余弦定理．【答案】C【分析】直接利用余弦定理判断三角形的形状．【解答】解：由于△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a：b：c＝5：8：10，设a＝5k，b＝8k，c＝10k，故，由于C∈（0，π），故C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．故选：C．6．（5分）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7则下列结论正确的是（）A．甲成绩的平均数较小 B．乙成绩的中位数较小 C．乙成绩的极差较大 D．乙比甲的成绩稳定【考点】平均数；中位数；方差；极差．【答案】D【分析】由平均数，中位数，方差，极差的概念，求解即可判断选项．【解答】解：甲成绩的平均数为（7+8+7+9+5+4+9+10+7+4）÷10＝7，乙成绩的平均数为（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）÷10＝7，A错误；甲和乙成绩的中位数都是7，B错误；甲和乙成绩的极差分别是6和4，C错误；甲成绩的方差﹣7）2+（9﹣7）2+（5﹣7）2+（4﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2+（7﹣7）2+（4﹣7）2]÷10＝4乙成绩的方差7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2]÷10＝1.2，，D正确．故选：D．7．（5分）如图所示的平行四边形ABCD中，E，F满足为EF的中点，若，则的值为（）A． B． C． D．【考点】用平面向量的基底表示平面向量．【答案】A【分析】由向量的线性运算求出λ，μ的值，即可求解．【解答】解：如图依题意有，，，所以，所以＝＝＝，所以，所以．故选：A．8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G、H分别为棱BC、CD、C1D1、B1C1的中点，点M为棱CC1上的动点，则下列说法中正确的个数是（）①AM与A1E异面；②三棱锥H﹣A1EM的体积为定值；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面AEM与平面BB1GF所成的角为定值．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；棱锥的体积；异面直线的判定．【答案】C【分析】①，证明出AM与A1C相交，故AM与A1E异面，①正确；②，用等体积法进行证明；③，举出反例；④，证明出面面垂直，得到④正确．【解答】解：①，显然CM∥A1A，故A1，A，C，M四点共面，故AM与A1C相交，故AM与A1E异面，①正确；②，△HEM为定值，点A到平面HEM的距离为A1B1，由于为定值，②正确；③，当M为CC1的中点时，此时由于AD1∥BC1，ME∥BC1，所以AD1∥ME，故平面AEM截正方体所得的截面图形是四边形AD1ME，当时，此时平面AEM截正方体所得的截面图形是五边形，如图所示，平面AEM截正方体所得的截面图形不一定是四边形，③错误；④，因为E，F分别为BC，CD的中点，所以BE＝CF，又AB＝CB，∠ABE＝∠BCF＝90°，所以△ABE≌△BCF，故∠BAE＝∠CBF，又∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝90°，故AE⊥BF，又BB1⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以BB1⊥AE，又BF∩BB1＝B，BF，BB1⊂平面BB1GF，所以AE⊥平面BB1GF，又AE⊂平面AEM，所以平面AEM⊥平面BB1GF，故平面AEM与平面BB1GF所成的角为定值，④正确．故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数，则（）A．z•＝2 B． C．z在复平面内对应的点在第二象限 D．z2024＝21012【考点】复数的乘法及乘方运算；复数对应复平面中的点；复数的模．【答案】ABD【分析】根据复数的运算以及几何意义求解．【解答】解：z＝＝＝1﹣i，∵＝1+i，则z•＝2，A正确；|z|＝＝，B正确；z在复平面内对应的点（1，﹣1）在第四象限，C错误；z2024＝（z2）1012＝（﹣2i）1012＝21012，D正确．故选：ABD．（多选）10．（6分）已知不重合的直线m，n，l和平面α，β，γ，则（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥α B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β C．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥n D．若α∩γ＝m，α∩β＝n，β∩γ＝l，m∩n＝P，则直线l过点P【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】BCD【分析】根据空间中各要素的位置关系，分别判断即可．【解答】解：对A选项，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，∴A选项错误；对B选项，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，∴B选项正确；对C选项，若m⊂α，n⊂β，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥n，∴C选项正确；对D选项，若α∩γ＝m，α∩β＝n，β∩γ＝l，m∩n＝P，则直线l过点P，∴D选项正确．故选：BCD．（多选）11．（6分）已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于点对称 B．若f（tx）在区间单调递增且t＞0，则t的取值范围为 C．将函数的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象 D．若方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．【答案】BCD【分析】由图象求出f（x）的解析式，再由函数的性质判断出所给命题的真假．【解答】解：由图象知，A＝2，且，解得ω＝2，φ＝，所有f（x）＝2sin（2x+），A中，由f（﹣）＝2sin（﹣+）＝﹣≠0，所以（﹣，0）不是函数的对称中心，所以A不正确；B中，因为f（tx）＝2sin（2tx+）在区间单调递增且t＞0，则2tx+∈[+，πt+]⊂[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，即，解得﹣+6k≤t≤+2k，k∈Z，t＞0，则0＜t≤，所以B正确；C中，函数＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位得到y＝2cos[2（x﹣）+]＝2cos（2x﹣）＝2sin[（2x﹣）+]＝2sin（2x+），即得到函数f（x）的图象，所以C正确；D中，f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则2x+∈[，]，则2x+∈[，]，且2x+≠时f（x）＝m有两个解，f（x）∈[，2），此时m∈[，2），所以D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）求值cos600°＝﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【答案】见试题解答内容【分析】由诱导公式知cos600°＝cos240°，进一步简化为﹣cos60°，由此能求出结果．【解答】解：cos600°＝cos240°＝﹣cos60°＝﹣．故答案为：﹣．13．（5分）一个正方体的顶点都在表面积为3π的球面上，则正方体的棱长为1．【考点】球的表面积．【答案】1．【分析】根据题意可得正方体的体对角线即为该球的直径，从而根据题意建立方程，即可求解．【解答】解：设该球的半径为R，正方体的棱长为a，则该球的表面积为4πR2＝3π，∴R＝，又根据题意可知正方体的体对角线即为该球的直径，∴（2R）2＝a2+a2+a2＝3，∴a＝1．故答案为：1．14．（5分）已知△ABC中，则△ABC外接圆的半径为3；线段AD的最大值为3+．【考点】利用正弦定理解三角形．【答案】3，3+．【分析】第一空由正弦定理可得；第二空设三角形外接圆圆心为O，由余弦定理得，又因为AD≤AO+OD即可得出结果．【解答】解：因为△ABC中，所以由正弦定理可得2R＝＝＝6，则解得△ABC外接圆的半径R的值为3，设三角形外接圆圆心为O，则OA＝OB＝OC＝3，因为，所以勾股定理可知OC2+OB2＝BC2，，所以，在△BOD中，由余弦定理得OD2＝BO2+BD2﹣2BD•BOcos∠OBC，所以，可得，又因为，即线段AD的最大值为3+．故答案为：3，3+．四、解答题：本题共有5个小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知，且．（1）求λ的值；（2）求向量与向量夹角的余弦值．【考点】平面向量加减法的坐标运算．【答案】（1）2；（2）﹣．【分析】（1）利用向量坐标运算法则和向量垂直的性质，能求出结果．（2）利用向量坐标运算法则和向量夹角余弦公式，能求出结果．【解答】解：（1）∵，∴，∵，∴2﹣λ＝0，解得λ＝2．（2）∵，，∴，设与的夹角为θ，则，∵向量与向量夹角为钝角，∴向量与向量夹角的余弦值为．16．（15分）我国是世界上严重缺水的国家，某区为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），⋯，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率直方图．（1）求直方图中a的值；（2）设该区有70万居民，估计全区居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）若该区政府希望使82%的居民每月的用水量不超过标准x吨，估计x的值，说明理由．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）a＝0.30；（2）84000人；（3）x＝2.8，理由见解析．【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求解；（2）先求出样本中月均用水量不低于3吨的频率，再利用样本估计总体即可；（3）利用百分位数的定义求解．【解答】解：（1）由频率直方图可知，（0.08+0.16+2a+0.42+0.5+0.12+0.08+0.04）×0.5＝1，解得a＝0.30；（2）由（1）知，该区100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02＝0.12，所以估计70万居民中月均用水量不低于3吨的人数为700000×0.12＝84000（人）；（3）因为前6组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.42+0.50+0.30）×0.5＝0.88，前5组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.42+0.50）×0.5＝0.73，所以2.5⩽x＜3，由0.3×（x﹣2.5）＝0.82﹣0.73，解得x＝2.8，因此，估计月均用水量标准为2.8吨时，82%的居民每月的用水量不超过标准．17．（15分）已知函数．（1）求函数y＝f（x）的解析式和周期，并求其图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在上的单调递减区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．【答案】（1）f（x）＝sin（2x+），，对称轴方程为；（2）．【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；（2）结合正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（1）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），函数y＝f（x）图象的周期T＝π，由，解得，所以函数y＝f（x）图象的对称轴方程为；（2）当时，，要使f（x）单调递减，则，解得，故函数f（x）在上的单调递减区间为．18．（17分）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝，∠ADC＝，AC＝，CD＝．（1）求AD的值；（2）求∠BAC的正弦值；（3）若AB＝2，求△ABC中BC边上高的长度．【考点】解三角形．【答案】（1）AD＝3；（2）sin∠BAC＝；（3）BC边上的高等于．【分析】（1）在△ACD中利用余弦定理列式，建立关于AC的方程，解之可得AD的值；（2）在△ACD中利用正弦定理列式求出，结合同角三角函数的关系算出cos∠CAD＝，进而根据诱导公式求出sin∠BAC的值；（3）在△ABC中，利用余弦定理算出BC的长，然后根据三角形的面积公式求出△ABC中BC边上的高，可得答案．【解答】解：（1）在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2+DC2﹣2ADDCcos∠ADC，即，整理得AD2﹣2AD﹣3＝0，解得AD＝3（舍负）．（2）在△ACD中，由正弦定理得，即，解得，因为CD＜AC，所以∠CAD为锐角，可得cos∠CAD＝＝．因此，；（3）由（2）的计算，可得cos∠BAC＝＝（舍负）．在△ABC中，AB＝2，AC＝．由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC＝4+5﹣2×2××＝5，解得BC＝（舍负）．因为△ABC的面积，所以△ABC的边BC上高h＝＝．19．（17分）如图，在五面体ABCDEF中，AD∥CF，AD＝CF＝CA＝2，BE＝EF＝4，∠CFE＝．（1）证明：AD∥BE；（2）给出①FD⊥BE；②CA⊥DE；③平面ABED⊥平面ACFD．试从中选两个作为条件，剩下一个作为结论，可以让推理正确，请证明你的推理；（3）在（2）中推理正确的前提下，求直线CE与平面ABED夹角的正切值．【考点】几何法求解直线与平面所成的角；直线与平面平行；平面与平面垂直．【答案】（1）证明过程请见解答；（2）条件①②，结论③和条件①③，结论②的证明过程请见解答；条件②③，结论①不成立；（3）．【分析】（1）由AD∥CF，可证AD∥面BCFE，再利用