数字信号处理复习总结

绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。

0.1信号、系统与信号处理

I.信号及其分类

信号是信息的载体.以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域.但最基础的域是时域。

分类：

周期信号/非周期信号

确定信号/附机信号

能量信号/功率信号

连续时间信号/离散时间信号/数字信号

按自变量与函数值的取值形式不同分类：

时间幅度

连续连续模拟信号

时域连

续信号

连续离散量化信号

离散连续采样信号

时域离

散信号

离散离散数字信号

2.系统

系统定义为处理（或变换）信号的物理设备.或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。

3.信号处理

信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滋波、分析'变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理"，就是用数

值计算的方法，完成对信号的处理.

0.2数字信号处理系统的基本组成

数字信号处理就是用数值计莫的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用丁•模拟信号的处理。以下讨论

模拟信号数字化处理系统框图。

PrFADCDSPDACPoF

（1）前四注波器

将输入信号xa⑴中高于某一频率（称折叁频率，等于抽样频率的一半）的分值加以滤除.

（2）A/D变换器

在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次xa⑴的幅度.抽样后的信号称为离散信号。在A/D变换器中的保持电路中进一步变换为

若干位码。

（3）数字信号处理器（DSP）

（4）D/A变换器

按照预定要求，在处理器中将信号序列x（n）进行加工处理得到输出信号y（n）.由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成伏拟信号的第

一步。

模拟戏波器

把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分置，生成所需的横抄信号ya⑴。

0.3数字信号处理的特点

（I）灵活性.（2）高精度和高稔定性。（3）便F大规模集成“（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标.

0.4数字信号处理基本学科分支

数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术一DigitalSignalProcessing,另一层是狭义的理解,

为数字信号处理器---DigitalSignalProcessor.

0.5课程内容

该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散俾里叶变换及其快速算法.（2）渡波理论（线性时

不变离故时间系统,用于分离相加性组合的信号,要求信号频谱占据不同的频段）.

在研究生阶段相应课程为'‘现代信号处理”（AdvancedSignalProcessing）,信号对象主要是随机信号，主要内容是自适应移波（用于分

肉相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计.

第一章：本章概念较多，需要理解和识记的内容较多，学习时要注意。

厂几种常用序列

r离散时间信号-----序列间的运算

匚任意序列的单位脉冲表示

「分类：线性、时不变、因果、稳定

—离散时间系统一卜判别方法

IL线性时不变系统输入输出的关系

时域描述

1-----------差分方程

L采样定理

------采样-------

数字和模拟之间的关联1—采样恢复

1.1离散时间信号

i.离散时间信号的定义

离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整数自变量n的函数，表示为x（n）。一般由模拟信号等间隔采样得到:＜时域离散信

号有三种表示方法：1）用集合符号表示2）用公式表示3）用图形表示

2.几种基本离散时间信号

祥序/⑻弋〃二0

仃0

】,力20

（2）单位阶跃序列〔0•n<0

仆⑹=,

0.其它

矩形序列

，，、+包台旬》）（月）

（4）实指数0序列'3''/

⑸正弦序列x（M=sing

＜*＞是正弦序列数字域的笏率，单位是弧度.

对连续信号中的正弦信号进行采样,可得正弦序列，设连续信号为.它的采样值为,因此（iR点）

这个式子具有一般性.它反映了由连续信号采样得到的离散序列.其数字频率与模拟频率的一般关系.另外需要说明的是,。的单位为孤

度，a的单位为孤度/秒.本书中，我们一律以3表示数字域频率,而以a及r表示模拟域频率.

例：已知采样频率FT=IOOOHz,则序列x（n）=cos（0.4nn）对应的模拟频率为（400n）弧度/s.

说明：本题旨在理解数字频率与模拟频率之间的关系：,

（6）复指数序列Q）=gf=cos（M+0。"

更指数序列是以余弦序列为实部、正弦序列为虚部所构成的一个豆数序列.

（7）周期序列（重点）

所有存在一个段小的正整数.满足：，则称序列是周期序列.周期为。（注意：按此定义.模拟信号是周期信号,采用后的离散信号未

必是周期的）

例：正弦序列的周期性：

当，为整数时，，即为周期性序列.周期，式中，、限取整数，且的取值耍保证是最小的正整数.

可分几种情况讨论如下：（1）当为整数时,只要，就为最小正整数,即周期为。（2）当不是整数,而是一个有理数时,设，式中.、

是互为素数的整数（互为素数就是两个数没有公约数），取，则，即周期为・《3）当是无理数时，则任何皆不能使为正整数，这

时.正弦序列不是周期性的.

例：X（n）=cos（0.4nn）的基本周期为（5）。

[说明]基本周期的定义即计算公式：，其中N和k均为整数.N为基本周期（使得N为最小整数时k取值）。本题a=0.4”.代入卜.式得

到：。

3.信号运算

（1）加法：两个信号之和由同序号的序列值逐点对应相加得到。

（2）乘法：两个信号之积由同序号的序列值逐点对应相乘得到。

（3）移位：当，序列右移（称为延时）；当，序列左移（称为超前）。

（4）翻转：

4.信号分解（重点）

任一信号x（n）可表示成单位脉冲序列的移位加权和：

x（力）:…+x（-1）<5（〃+1）+x（0）5⑷+式1）6（同-1）+«••

x3）=£x（㈤65-㈤

简记为W-

1.2时域离散系统

时域离散系统定义———>7[]———>y（〃）=

I线性系统（重点）

判定公式：

若=,=则

2时不变系统(重点)

判定公式:y(n)=T[x(n)]y(n-)=T[x(n-)]

例：判断下列系统是否为线性、时不变系统.

(1>y(n)=N(〃)+2.r(/?—1)4-3x(〃-2):

(2)y(〃)=f(〃)：

解：

(1)令：输入为.输出为

故该系统是时不变系统.

丁(〃)=716%(〃)+如(〃)]

公](九一

=OX](〃)+〃/(〃)+2(g(〃-1)+bx2(n-V))+3(2)+bx2aL2))

「

T[cix^(/?)]=axx(/?)+2axx(〃-1)+3a(n-2)

T[bx2(/?)]=bx2(n)+2bx2(n-\)+3bx2(n-2)

T[ax](/?)+bx2(n)]=aT{x}(/?)]+bT{x2(n)\

故该系统是线性系统。

(2)令：输入为，输出为.因为

y(〃-％)=X?(〃-%)=》’(〃)

故系统是时不变系统.又因为

2

T[ax](〃)+bx2(n)]=(3(〃)+bx2(n))

waT[xi(n)]-i-bT[x2(n)]

=ax^(n)+bx^(n)

因此系统是非线性系统。

3线性时不变系统(LTI系统)输入与输出之间关系(重点)：

奴〃)=7'欧初

9

Y(«)=工彳(⑼5(〃-啕

W.9

8

y(n)=Zx(m)8(n-m)

加=-00

N〃)=nX-M]

阳=-00

8

y(n)=):—，〃)=x(n)$h(n)

m=-co

重点：线性离不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积

【说明】离散时间LTI系统的单位冲激响应h(n)为系统对单位冲激序列5(n)的零状态响应.

单位冲激响应的概念非常重要，在时域,LTI系统可以由其单位冲激响应h(n)唯--确定.因此,我们常常用雎位冲激响应描述LT1系统。在

这种情况下，LTI系统的输入辘出关系可以由卷积运算描述:y(n)==x(n)*h(n)

物理意义：卷积和运算具有显式意义,即可以用来确定系统的输出。如果系统确定，则其单位冲激响应是唯一的。由此，可求系统对任意

输入的响应。

注意，计算卷税利的关犍是求和区间的确定.因此，常常需栗绘制序列x(m)和h(n.m)的图形.利用序列x(m)和h(n-m)的图形可助我们

方便地确定求和区间。

卷积的求解方法：

线性卷积是一•种非常重要的一种运算,对它的求解，一般我们采用作图法,线性卷积满足交换律，设两序列长度分别是N和M,线性卷积

后序列的长度为N+M—1。

卷积的计算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程。

1)将和用和表示，画出和这两个序列：

2)选择一个序列，并将其按时间醐转形成序列：

3)将移位n,得到：

4)将和相同m的序列悔对应相乘后，再相加.

例：已知x(n)=(n),h(n)=(n).求y(n)=x：n)・h(n).

解：(翻转,移位,相乘，相加)

0000

y(n)=x(^t?i)h(n—tn)=ZR4("?)%(〃-，〃)

m=­X)

*1图解法(列表法)

jr(m)1111

h(m)1111

A(-m/1111

1111y⑴=2

A(2-m)1I11>(2)-3

A(3-m)1111y(3)-4

1111y(4)=3

7i(5-m)1111>(5)-2

A(6-m)1111y(6)-l

图1

解方法一：用图解法求卷积和。

⑴将x(〃)和〃(")用和〃5n表示(图2中⑸、⑹图)。

«4(一〃1)

图2图解法求卷积过程

(2)将进行反折.形成(图2中(c)图)；将移位,得到(图2中(d)、(e)、⑴图卜

(3)将和相同的序列值相乘，再相加，得到(图2中(g)图)。

y(〃)={1,3,6,10,9,7,4}[W〃W7

再讨论解析法求线性卷积

y(fJ)=Zx(m)h(n-ni)

用式

求解上式首先要根据和的非零值区间确定求和的上卜.限,的非零值区间为,的非零值区间为.或.由两个非零值区间可得的

取值区间为.它们的乘积的非零值区间应满足：

和“一3W"?W〃

因此

当、时，：

当时,：

当时，°

与图解法结果一致，

)S)用公式表示为

??(//+1)/2

y(n)=<(〃+1)(8-〃)/24W〃W7

0其他

方法二：当序列和的长度分别为有限长和时，可采用“不进位乘法”求两序列线卷积.

如图1所示：,

01234

x1111

01234

01234

01234

01234

013610974

><«)=10,1,3.6,10,9,7,4

例：两线性时不变系统级联，其单位取样响应分别为和，输入为，求系统的输出.

已知：，，.

解：设第一个系统的输出为，则

a)(n)=x(n)*/?!(〃)=〃(〃)*—)-8(n-4)]

=%(〃)一〃(〃一4)

=5(〃)+3(〃-1)+5(〃-2)+6(n—3)

因而输出为

y(n)=/(〃)*似〃)=[(5)(/2)+6(n-1)+-2)4--3)]*a,!u(n)

=anu(ri)+an~Ku(n-1)+aH~2u(n-2)+an~3u(n-3)

4.系统因果性和稔定性的判定(重点)

1)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若•则(记住!!)

线性移不变系统是稔定系统的充要条件：(记住!!)

或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆|z|=l

2)因果系统：时刻的输出只由时刻之前的输入决定(记住切

线性移不变系统是因果系统的充要条件：(记住!!)

或：具系绘函数H(z)的收敛域在枭圆外淞RP:|z|>Kx

3)稔定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：，

或:H(z)的极点在单位国内

Hz)的收敛域满足:

例：判断线性时不变系统的因果性、稳定性，并给出依据。

1JV-1

(\)y(n)=-y[x(n-k)；

NM

⑵y(〃)=Zx(Z)：

%=〃一%

解：(D只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果，则，因此系统是检定系统。

(2)如果，，因此系统是稳定的.系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.

注意：如果给出的是h(n),用上面要求记住的充要条件判断！

1.3线性卷系数差分方程

1差分方程定义

卷积和是•种LTI系统的数学模型,一般情况下,我们可以用差分方程描述LT1系统的输入输出关系。

差分方程给出了系统响应y[n]的内部关系。为得到y[n]的显式解，必须求解方程。

2差分方程求解(重点):

©经典法◎递推法⑥变换域法

例：设系统的差分方程为，输入序列为，求输出序列•

解：一阶差分方程需一个初始条件。

设初始条件为：

.y(0)=0.5y(-l)+1.5M0)=1.5

y(l)=0.5^0)+1.5X0=0.75

义2)=0.5M1)+1.5X2)=0.375

y(n)=1.5x(0.5)"〃(〃)

设初始条件改为：

则y(O)=O.5y(T)+1.5MO)=2

j(|)=0.5y(0)+1.5A(l)=i

y(2)=0.5y(l)+1.5x(2)=0.5

y（〃）=2x（0.5）“〃（〃）

1.4该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的雉出信号是不相同的。

1.5横拟信号数字处理方法

1模拟信号数字处理框图（取点）

—>^DC|—>1数字信号处理I—>|D^AC|—>1平滑滤波I上L

：模拟信号输入

预泄波：目的是限制带宽（一般使用低道泄波器）

采样：将信号在时间上离敌化

A/DC:模/数转换

量化：将信号在幅度上离散化（量化4幅度值=采样幅度值）

知码：将幅度值表示成二进制位（条件）

数字信号处理：对信号进行运算处理

D/AC:数/模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号在采样时刻幅度发生跳变）

平滑灌波：滤除信号中高频成分（低通法波器）.使信号变得平附

：输入信号经过处理后的输出信号

2.连续信号的采样

对连续信号进行理想采样,设采样脉冲，则采样输出

元《）=%040=Z/⑴迎-门）

—,重点表达式）

在讨论理想采样后，信号频谱发生的变化时，可遵循下面的思路：

「由X&~Z（Q）：2）由今⑴T0（Q）：

3）根据领域卷积定理，由计算出。

计算过程：

13@=口式建团流

2）周期信号可以用傅里叶级数展开，因比

其中系数

4=黑5T（MF=黑西）"F=垢®加3

所以

18

&0）=^2>小，为=0»丝……

*a—

其傅里叶变换

分（0）=:£翻0・呜）

月（Q=；［z（Q）吟（Qi=白匚无⑴¥为g-g「0八

?）2天6J

=—ZXA（Q~??Qj）•6（Q-厚Q$-T）dr

丁》-—一

=<ixg-m,）

1“一（重点表达式）

因此，采样后信号频谱产生周期延拓，周期为同时幅度为原来的I/T倍。这是一个非常里要的性质,应熟练掌握。（重点）

3时域抽样定理（重点）

一个限带模拟信号，若其频谱的最高频率为，对它进行等间隔抽样而得，抽样周期为T.或抽样频率为；只有在抽样频率时，才可

由准确恢复.

例：有一连续信号式中.（D求出的周期。

（2）用采样间隔对进行采样.试写出采样信号的表达式.

（3）求出对应的时域离散信号（序列），并求出的周期。

解：（D周期为

A008

（2>jr（r）=X⑺•Z凶-"）=Zkos（2加丁沙”-〃7）（7=0.05.9）

“=-00H=-00

（3）x（n）的数字频率3=0.8n,故.因而周期N=5,所以x（n）=cos（0.8nn+n/2）

简答题：

1.是不是任意连续信号离散后，都可从离散化后的信号恢复出原来的信号？为什么？

2.一个连续时间信号经过理想采样以后，其频谱会产生怎样的变化？在什么条件下，频谱不会产生失真?

3.离散信号频谱图敷的一般特点是什么？

第二章：本章涉及信号及系统的领域分析方法，概念较多，但很基础，学习时要注意。

L定义

«—DTFTt性质

一定义

一序列特性对7变换收敛域的影响

—7变换

一性压

-Z反变换

一系统函数的定义

一系统函数和差分方程

1—系统的数

一系统函数的收敛域与系统的因果稳定性

1-频率响应的几何确定

2.1序列的傅里叶变换的定义及性质

I.定义

DTFF是•个用来确定离散时间序列族谱的重要数学工具。

物理意义：俾里叶变换是将时信号的时域分析转换为对其在领域的分析，便于研究何题,

若序列x入（n满）足绝对可和条件“E一I他）I<8

则其傅里叶变换<DiscreteTimeFourierTransfonn-DTFT）定义为

X（ejM）=£m川6-加,……记住！

〃=-co

反变换定义为：-记住！

傅里叶变换对工⑹“

2.性质

I）周期性（重点）：DTFT是关丁•3成周期为2'的周期函数。

2）线性（重点）：设，，那么

3）时移特性

DTF7\x（n一与）]■

4）频移特性

DTFT[^xM]=

5）时域卷积定理（重点）

⑪小G）FS）]=x«吟x,b）

6）领域卷枳定理

0万丁卜⑷勺(川=4k(产)中式,引

27T

7)帕斯瓦尔定理

,£卜(时・白匚卜(*)巾0

时域总能量等于频域一周期内总能量。

7)幅度频漕为3的偶函数.相位频谱为，”的奇函数•

8)X©3)的实部为3的偶函数，X(cj31的虚部为3的奇函数，

例；设系统的单位取样响应，输入序界为，完成下面各题：(1)求出系统输出序列；(2)分别求出、和的傅里叶变换。

解：(1)

X(ejw)=£廨(〃)+25(〃-2)]e-jwn=1+2e~j2w

w=-x»

(2)H(eiw)=£anu(n)e~^=£a'le-jwn=—!—

«=-»n=o1-ae

l+2e~j2w

S)—)・X(*)二j",

2.2时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系：

X—式划肾齐)•茅.皿M,)削Q=2在学

2.3停列的Z变换

IZ变换定义

Z变换为离散时间信号与LTI系统分析的重要数学工具。给定离散时间序列x(n).其z变换定义为：一一记住!

其中.，°z变换存在怙况下的Z变量取值范用称为收敛域(ROC)。

注意：Z变换+不同收敛域对应不同收敛域的不同序列

唯一

序列=>(Z变换+收敛域)(重点)

例：求以下序列的Z变换及收敛域：

(1)一2一“〃(一〃一1)；

⑵2-"〃(一九)：

(3)2~w[u(n)-u(n-10)]

解：⑴

ZT[-2~nu(-n-\)]=£-2-,,w(-n-l)z-n=^-2-n=^-Tzn

(n=-oo/i="ln=l

-2z1,,1

-l-2z~l-2~'z-'2

ZT[2~"u(n)-u(n-10)]=^2~nz-/,

(3)M=°

19-10-10

=-----------i_r，°<\z\<^>

1说明)上题也可以改为求序列的傅立叶变换.可以利用X(ejf,,)=X(z)

2Z变换和DTFT之间的关系(重点)

DTFT为单位圆上的z变换.数学表达为：一一记住并理解！

3.序列特性与X(z)的收敛域ROC的关系。(重点)

收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列。

一般来来说,序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：

有限长序列：,

右序列：.|Z|>Rx-

左序列：，

(|z|<Rx+.N2X)时：0W2|<Rx+：N2W0时：0<|Z|<Rx+)

双边序列：，

总结：a.ROC不包含任何极点.

b.有理z变换的收敛域ROC由其极点界定。

c.对于有限长序列x[n],其z变换的收敛域ROC为整个z-平面，可能在z=0或2=8除外.

d.对于因果序列x|n|.其z变换的收敛域ROC由其离原点最远的极点确定,其形式为.

e.对于反因果序列x[n],其z变换的收敛域ROC由其离原点最近的极点确定，其形式为.

4.Z反变换(重点)

常用序列的7.变换(重点.•记住!!)：

Z[^(//)]=l,|z|>0

Z[u(n)]=-^Az\>\

1-z

Z[au(n)}=1_),|z。|

i-az

Z[bnu(-n-\]]=—^Az\<\b\

1-bz

逆变换

x.C:收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线

留数定理：

留数辅助定理：

利用部分分式展开：，然后利用定义域及常用序列的Z变换求解•(重点)

基本要求：用部分分式展开法求，反变换.

例：假设，收敛域ROC为，则的z反变换为().

说明：本题要求掌握序列的时域特性域z变换收敛域之间的对应关系。具体说,有限长序列的z变换的ROC是怎样的，右边序列的z变换

的ROC是怎样的，因果序列的z变换的ROC是怎样的，左边序列的z变换的ROC是怎样的,反因果序列的z变换的ROC是怎样的。

典型序列的z变换表达式是否记住r?这两个典型z变换对，对求z变换或逆2变换非常重要。

例：已知，试求与对应的所有可能的序列.

解：同一个Z变换函数.收敛域不同.对应的序列也不同。木题没有给定收敛域.所以必须先确定收敛域。

.Hi力硒讪*.*口也*乂““卜T»J.QWfftttE.

⑴IW<0,5对应左边序列,9)=-0.5"-〃-1)-21(-〃-1)

对应双边序列...M〃)=°5'〃(〃)-2"〃(TL1)

⑶忖

>2对应右边序列...以〃)=05'〃5)+2"〃(〃)

例：设,用部分分式展开法求逆z变换.

解：先去掉Z的负事次,以便于求解.将的分子分母同乘以.得:

Z2

X(z)=

(z-2)(z-0.5)

将等式两端同时除以Z.得:

A=Re心£1,2]=(z—2)当Z4

=(2-2)~一

ZZI』(z-2)(z-0.5)z=2、3

&=Res[4丝0.5]=(z_0.5)任包z

=(z-0.5)=-1

zz2=0.5(z-2)(z-0.5)$3

因而得：

由收敛域知.为右边序列.得:

主要应用于单阶极点的序列”

5Z变换的性质

©线性性质[皿⑼=〃丫⑶

M(z)ZTaX(z)+Rlfl_<|z|</?,„+

©序列的移位性顺

X(z)=Z〃x(叫Rx_<\z\<Rx,

Z71x5-%)U(z)Rx,<\z\<Rx+

◎序列乘以指数序列的性质

X(z)=ZT[x(n)]RX_<\Z\<RX¥

)，(〃)=anx{n)。为常数

n

Y(z)=ZT[ax(n)]=X"z)|a|Rx,<|z|<\a\Rx+

合序列乘以n的ZTX(z)=ZT[x(n)]R、_<|z|<R-

Z7Ue)]一等R」|z|<凡+

◎豆共挽序列的ZTX(z)=ZT[x(n)]R.<\z\<火什

ZT[x(n)]=X\z)Rx_<\z\<Rx+

◎初值定理X(z)=ZT[x(n)]

.v(0)=limX(z)

©终值定理limx(〃)=lim(z-l)x(z)

Z-YXfZ-»l

◎时域卷积定理

设旗〃)=x(〃)*y(〃)

X(z)=ZT[x(n)]Rx_<\z\<Rx+

Y(z)=ZT[y(n)]R.<|z|<R计

则W(z)=勿。(〃)]=X(z»(z)v|z|v段.

g卷积定理ZTW〃)]=X(z)R.<|z|<R.

ZT[y(n)]=Y(z)Ry_<\z\<Ry+

必〃)==」

x(〃)M〃)W(z)JX(P)H-)—Rx_Ry_<\z\<Rx+RY+

2TTJJCvu

西帕斯维尔定理Z7Ix(〃)]=X(z)R、<\z\<

那么yx(〃))J(〃)=Jr,X(u)y"(二7)uldu

…2见人v

2.4离散时间系统的系统函数及频率响应

1系统函数定义(重点)

一个线性时不变离散时间系统在时域中可以用它的单位取样响应来表征,即：对等式两边取Z变换并根据时域卷积定理.有:

则：一般称为系统的系统函数(系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比)，它表征了系统的复领域特性.

2系统函数与差分方程的关系

(给定差分方程，能计算其传输函数，或给定传输函数，能计算得到差分方程。)

3频率响应(重点)

频率响应是•个重要的概念,根据频率响应，可理解滤波。

频率响应定义为系统单位冲激响应的DTFT:

”("&)二£川川"*=|〃("a)卜2"")(重点)

/1=-<©

其中，|H(ej<o)|称为幅频响应,称为相频响应。系统的核率响应是以2n为周期的3的连续函数.这•点和连续系统的券去响应是不同

的,学习时应加以注意。若h(n)为实数，则系统的幅度响应在区间内是偶对称的，而相位响应是奇对称的，

注意：仅当稳定系统才有频率响应.频温响应H(ej3)可根据DTFT与z变换之间的关系简单得到：

趋态响应的求解(重点)

结论：

对于LTI系统，如果输入为正弦序列x(n)=cos(30t+60),则输出响应y(n)必为相同形式的正弦序列.但帚在3=3()的幅频响应|H©3)|

进行加权，并通过相频响应在3=3。的值进行移位，即：y[n]=|II(ej30)|cos(30i+00+)

例：假设实序列x|n|的DTFT记为.则其幅值是关于3的(偶函数)。

说明：还记得反复强调的一句话,实序列的DTFT的幅度、实部是关于频率3偶函数,而相位和虚部则是关于频率3奇函数。

例：对于•LTI离散时间系统其频率响应，如果系统输x(n)=,响应的稳态输出响应y(n)=()。

说明：将系统的频率响应写成幅度相位表达式：.则输出信号为：。这里.由于绐出了的具体表达式.所以需要分别计兑出和之值。

4用系统函数极点分布分析系统的因果性和稳定性(重点)

系统函数：(传输函数H(z)为系统的单位冲激响应h(n)的Z变换。)

简答题：怎样在z域表示离散时间LTI系统？

答案：传输函数H(z)表示离散时间LT1系统。

1)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若，则

线性移不变系统是稳定系统的充要条件：

或：其系统函数HQ)的收敛域包含单位因1忆|=1(牢记此结论!)

2)因果系统：时刻的输出只由时刻之前的输入决定

线性移不变系统是因果系统的充要条件：

或：其系统函数H⑵的收敛域在某I困外部：即:|z|>Rx(牢记此结论!)

3)稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：，

或:H(z)的极点在单位园内(牢记此结论!)H(z)的收敛域满足：

例：.一因果LTI离散时间系统的传输函数，则系统的单位冲激响应为(0.5nu(n))・

说明：根据传递函数求系统的单位冲激响应，其实就是将传递函数进行逆z变换，迫要注意系统的因果性如何.

例：因果HR高散时间LTI系统.其传输函数,则系统(稔定).

例：一FIR离散时间LTI系统总是（稔定）.

说明：系统的稳定性如何判断？按照教材中的说法，就是系统传递函数的收敛域如果包括“单位园”，则系统是稳定的。如具你熟悉了序

列的z变换的ROC的性质,则此题不难回答。对于因果系统来说,其单位冲激响应为因果序列，故其z变换的ROC一定是其假I外部的整

个区域。而这个词就位于离原点最远的极点匕所以,对于因果系统.如果系统传递函数的全部极点都位于单位制以内的话，则系统是稔定

的.

对于F1R系统，其单位冲激响应是一个有限长序列，其z变换的ROC为除了无穷远和原点之外的整个z平面，自然包括单位圆，所以FIR

系统始终是稳定的.

5系统的频率特性可由系统函数零点及极点确定

MMM

Z3'11（1-2咨-1）P［（Z-Z,）ZW

X⑶=^=A卷---------=-----------

之年"n（1-zH）PI（z-zJzA

«=0*=1*=1

（式中,Zk是极点,zi是零点；在极点处，序列x（n）的Z变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点.）

第三章：DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算.本章是数字信号处理课程的重点章节。

pDFS一定义

「定义

—DFT——性质

L与Z变换、DTF丁之间的关系

厂计算线性卷积

—DFT的应用----

■-频谱分析

I—频域采样定理

3.1离散傅里叶级数

1.周期序列的离散傅里叶级数（DFS）

连续时间周期信号可以用博里叶级数表示.离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。

/、A」令

周期为N的复指数序列的基频序列为1、，一

八人加

k次谐波序列为48）;°

由于，即，因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只分N个是独立的。因此在展开成离散傅里叶级数时.我们只能取N人独立的谐波

分量,通常取k=0到（N-I）,即

1~

hI：*)

式中J/N是习惯上采用的常数.是k次谐波的系数。利用

1X-1全」Lr=mM加为整数

1。，其它

将（*）式两端同乘以，并对一个周期求和

八-/=e13口~~1卬J%(2)~

»=-ZZ^>X=二万/)【士工2”]=W

--N21，一Nu

即

~%-力

XM空““8A"

由于

~N』-自（3切心-/X~

万（上+/限=2父8%N=z?8%"=xa）

3D

所以也是一个以N为周期的周期序列。因此.时域离散周期序列的耨散傅里叶级数在频域上仍然是一个周期序列。

令，则

~NA

丫(±)=DEJ(x(n))=

“u

eg)=/云【3(⑥)=[g戈(外％a

ATjuo

其中，符号DFS”表示离散傅里叶级数E变换,IDFSU表示离散傅里叶级数反变换,

2.周期序列的傅里叶变换

思路：由

利用和DTFT的频移特性，可得

xd）=?z万伏）z6（。・?上一皿

NJUOr—•N

傅里叶变换时域、领域对应关系:

根据序列的傅里叶变换和离散傅里叶级数频域特性，再结合连续时间信号的傅里叶变换频域特性，我们可以得出傅里叶变换时、频域的一

般对应关系：连续T非周期，离散T周期.这种对应关系很重要,要求熟记。

3.2有限长序列的离散傅立叶变换（DFT

1定义

.OWW……记住!

.OWn<记住!

其中,

应当注意.虽然和都是长度为得有限长序列，但他们分别是由周期序列和截取其主周期得到的.本加上是做DFS或1DFS,所以不

能忘记它们的隐含周期性.尤其是涉及其位移特性时更要注意•

DFT的隐含周期性：

例：设，求的4点DFT。

解：的4点离散傅里叶变换为：

m

2离散傅立叶变换与DTFT、Z变换的关系(重点)

X(k)=X(jco)\2,=X(z)|包

但下卜5

DFT的物埋怠义：X(k)为x(n)的傅里师父换在区[BJ上的等间隔采样.为在Z平面单位圆上的点等间隔米样.

简答题：

I.一个序列的DFT与序列的傅里叶变换之间的关系是什么？

2.序列的DTF「和序列的z变换间的关系是什么？序列的D卜丁和序列的Z变换间的关系是什么？

3时域分析(重点!)

记住结论：时域抽样对应领域的周期拓展,频率抽样对应时域的以周期N的周期拓展。

这可以表述为如下公式：(复点!)

3.3离散傅里叶变换的基本性质

1线性性质

若y(n)=axx(〃)+如(〃)则Y(k)=DFT[y(n)]=aXx(k)+bX2*)

2循环移位性质

设是长度为的有限长序列，则的点循环移位定义为()：

y(〃)=x((〃十力))“/?、(〃)

循环移位的实现步骤:

3循环卷积定理(重点)

1)设序列M”)和x(〃)的长度分别为N和W・4〃)与M")的/，点循环卷积定义为

力(〃山((〃-

K(〃)=m))L\RL(n)

式中,L称为循环卷积区间长度,L^max[N.M]。

2)循环卷积矩阵

y(o)c40)x(L-1)x(L-2)41)1〃⑼

XDcX(l)40)-1)M2)〃⑴

—

y(2)cx(2)Ml)MO)x⑶力⑵

"(f

)“T)cx(L-l)x(L—2)x(L-3)-t(O)J

特点：

(1)第I行是序列(x(O).x(l).….x(L-l：)的循环倒相序列，注意,如果x(n)的长度M＜L.则需要在x(n)末尾补L-M个零后，再形成第一

行的循环倒相序列。

(2)第I行以后的各行均是前•行向右循环移1位形成的。

(3)矩阵的各主对角级上的序列值均相等.

循环卷积和线性卷积的区别

线性卷积：翻折一＞乘加一＞移位：》,(n)=x(n)*h(n)=Eh(k)x(n-k)

循环卷积：补零一〉周期延拓一＞翻折一＞循环移位一〉对应值相加

例：计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。

h(ri)={M0),/i(l),h(2),A(3)}={1,1,1,1}

x(n)={x(0)HDH2),x(3)}={1,2,3,4}

解:按照循环法积矩阵写出h(n)与x(n)的4点循环卷枳矩阵形式为

143

yc(o)

214

”⑵321

K⑶432

力(〃)与的8点循环卷枳矩阵形式为

2(0)-■|0000432--1-

儿⑴2100004313