2026届江西重点中学协作体高三第二次联考数学试卷

2026届江西重点中学协作体高三第二次联考数学试卷一、单选题1.已知集合，集合，则集合的真子集个数为（）

A．3B．4C．15D．162.设，则的虚部是（）

A．B．C．D．3.设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（）

A．B．C．D．4.已知正项数列为等比数列，，则的值为（）

A．6B．8C．10D．125.已知，则在上的投影向量为（）

A．B．C．D．6.1471年，德国数学家米勒提出了一个经典的几何问题——“米勒问题”，其核心是：在定直线上找一点，使该点对两定点的张角最大，该点称为“米勒点”.已知平面直角坐标系中，定点，定直线的方程为，点是直线上的动点，则的最大值为（）

A．B．C．D．7.已知一圆台的侧面积为，其内切球半径为4，则该圆台的表面积为（）

A．B．C．D．8.若函数，且，则的取值范围是（）

A．B．C．D．二、多选题9.已知，则下列不等式成立的是（）

A．B．C．D．10.已知数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是（）

A．记数列，则数列的前项的和小于B．记数列，则数列的前2026项的和为2026C．D．数列的前项的和为11.已知函数图象的某个零点与其相邻对称轴间的距离为，且恒成立，则下列结论正确的是（）

A．在区间上单调递减B．在区间上有两个极值点C．直线与的图象相切D．在的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为三、填空题12.已知函数，则_____．13.已知双曲线的左焦点为，焦距为，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于点，若，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为_____．14.封不同的信放入个不同的信箱，则装有信的信箱的个数的期望是_____．四、解答题15.在中，角所对的边分别为，其面积为．若，(1)求．(2)若，求，．16.如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形且，平面，，点为的中点．(1)求证：平面；(2)若点为的中点，点为线段上任意一点，问：点在何处时能使得平面平面?17.羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，但自2023年以来，由于多种原因，羽毛球价格经历多轮上涨，部分高端型号涨幅甚至超过同期黄金涨幅，越来越多的球友直呼快打不起球了．我国某著名体育厂商抓住这个历史机遇推出了人造羽毛球，名为碳音球，这款羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛，其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球，但价格却只有天然羽毛球的60%到70%，该羽毛球一经上市便引起热烈反响，但舆论对其评价褒贬不一．某市场调查机构调查了男性和女性各100名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出样本中偏好碳音球的人数占样本总数的45%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有50人．

偏好碳音球偏好天然羽毛球合计男性女性50合计200(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有90%的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关?(2)现从男性羽毛球爱好者中按对碳音球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音球的人数为，求的分布列和数学期望．(3)若某羽毛球俱乐部的男女比例为3：2．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率．附：

0.1000.0500.0102.7063.8416.63518.已知椭圆，其左、右两焦点分别为、，为椭圆的上顶点，为等边三角形，且的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知过点作斜率为直线与椭圆交于两点，点在轴上方，点关于轴的对称点为．（i）当与的面积之比为时，求的值；（ii）证明：直线过定点．19