承古启新探方程-初中数学七年级上册一元一次方程古算名题复习课教学设计

承古启新探方程——初中数学七年级上册一元一次方程古算名题复习课教学设计

一、课标定位与教材解析

（一）【核心素养·重中之重】课标要求深度解读

本节课位于人教版数学七年级上册第五章，是“一元一次方程”单元复习的专题拓展部分。根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，方程是初中数学的重要模型，是刻画现实世界数量关系的有效工具。对于本专题，课标不仅要求学生会解一元一次方程，更强调能够“从真实情境或历史经典问题中抽象出数学问题，建立方程模型，并求解验证”。古代数学类应用题承载着中华优秀传统文化的基因，其引入超越了单纯的知识传授，旨在让学生在解决“盈不足术”、“良马驽马”、“百僧百馒”等经典问题的过程中，感悟数学的历史渊源和文化价值，发展抽象能力、建模能力和运算能力，最终达成“三会”核心素养：会用数学的眼光观察现实世界（从古文描述中抽象出数量关系）、会用数学的思维思考现实世界（分析问题、寻找等量关系、建立方程）、会用数学的语言表达现实世界（用方程的形式准确描述问题并解释结果的意义）。

（二）【重要·教材地位分析】承上启下的关键节点

“一元一次方程”是初中阶段代数学习的起始基石，是学生首次系统接触的方程模型。第五章的学习，学生已初步掌握了方程的解、等式性质、解一元一次方程的一般步骤。然而，在面对背景复杂、语言精炼的古代数学问题时，如何准确“翻译”题意、挖掘隐含的等量关系，往往是学习的瓶颈。本节课作为单元复习的深化课，其地位在于：

1.纵向承接：它是对方程解法熟练度的检验，更是对建模思想的巩固与拔高，为后续学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程乃至函数模型奠定“建模”的思维基础。

2.横向融合：它打破了数学与历史、语文学科的界限。古文阅读理解能力直接影响数学建模的准确性，而数学的精确性又为解读历史文献提供了科学的方法，是跨学科主题学习的绝佳载体。

（三）【基础·学情研判分析】以生为本的起点确立

3.知识储备：学生已经掌握了解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），能够解决一些简单的、直接表述的行程、工程、利润问题。

4.能力水平：大部分学生具备初步的抽象思维能力，但面对用文言文书写的古算题，心理上存在畏难情绪。关键能力短板在于：

（1）古文信息提取障碍：无法准确理解“盈”、“不足”、“善行”、“先行”等关键词的数学含义。

（2）等量关系探寻困难：复杂情境下（如两车相遇、分组问题）难以抓住不变的量。

（3）模型选择单一化：习惯于套用公式，缺乏从本质上分析问题结构、自主构建方程模型的能力。

5.情感态度：学生对数学史有天然的好奇心，若能巧妙引导，将这种好奇心转化为探究动力，能极大激发学习兴趣，提升民族自豪感。

二、教学目标与重难点

（一）【精准·四维教学目标设定】

1.知识与技能：

（1）能读懂并翻译简单的古代数学问题，准确找出其中的已知量、未知量。

（2）能从古算题中抽象出核心的等量关系，并能熟练地设未知数列出一元一次方程。

（3）能规范求解所建立的方程，并对解的实际意义进行检验和解释。

2.过程与方法：

（1）通过小组合作探究“盈不足”问题，经历“古文翻译—信息整理—模型构建—求解验证”的全过程，体会化归思想与模型思想。

（2）在解决“行程古算”问题时，通过画线段图、列表格等策略，感悟数形结合思想在分析复杂数量关系中的作用。

3.情感、态度与价值观：

（1）通过介绍《九章算术》、《张邱建算经》等古籍中的经典问题，感受中国古代数学的辉煌成就，增强文化自信和民族自豪感。

（2）在解决古人智慧的结晶时，体会数学的趣味性与实用性，培养严谨求实的科学态度和锲而不舍的探究精神。

4.【跨学科视野·渗透】提升文言文阅读理解能力，感悟数学在历史发展中的独特价值，初步建立数学史观。

（二）【聚焦·教学重难点确立】

5.【关键·高频考点】教学重点：将古代数学问题中的文字语言（尤其是文言文）转化为数学语言，准确找出等量关系，列出一元一次方程。这是解决一切应用题的核心，也是考试中的必考点和赋分点。

6.【难点·易错点】教学难点：

（1）对古文中专业术语（如“盈”、“不足”、“次卷”、“先疾后徐”等）的准确理解。

（2）在结构复杂的问题中（如“两鼠穿墙”），挖掘隐藏的、非显性的等量关系。

（3）对所求出的解进行回溯检验，判断其是否符合古算题的原始情境（如人数、物品数必须为正整数）。

三、教学策略与方法

（一）【顶层·教学理念设计】

本节课采用“问题驱动—历史再现—合作建模—文化感悟”的教学模式。以中国古代数学名题为载体，创设真实而富有挑战性的问题情境，将复习课从单纯的“刷题”提升为“文化探究”。教师作为“导游”，引导学生穿越时空，与古代数学家对话，在解决问题的过程中自主建构知识网络，提升思维品质。

（二）【多元·教法学法整合】

1.教法：

（1）启发式教学法：通过层层递进的问题链（“你读懂了什么？”、“哪个量是不变的？”、“能用今天的方程帮他解决吗？”），启发学生思考，搭建思维的脚手架。

（2）史料融入法：将数学史实、数学家故事作为背景引入，赋予数学问题以文化生命。

（3）变式训练法：通过对经典问题“改头换面”（改变数据、变换情境），引导学生透过现象看本质，抓住问题的核心结构。

2.学法：

（1）自主探究法：鼓励学生独立阅读古文，尝试用自己的语言复述题意，进行初次信息加工。

（2）合作学习法：针对较复杂的问题，采用小组讨论的形式，进行“头脑风暴”，共同翻译古文、分析关系、制定解题策略，在交流碰撞中深化理解。

（3）反思总结法：引导学生在解题后反思“我是怎么找到等量关系的？”、“这种类型的古算题有什么共同的解题套路？”，将感性经验上升为理性规律。

四、教学实施过程（核心环节）

（一）【激趣·导入新课】穿越时空的数学对话

1.情境创设：大屏幕展示《九章算术》书影，播放一段关于中国古代数学成就的简短纪录片片段（如介绍祖冲之、刘徽等）。教师旁白：在漫长的历史长河中，我们的祖先在生产生活中总结出了无数闪烁着智慧光芒的数学问题。今天，我们不再是简单地解方程，而是要化身为“小小数学家”，去挑战那些流传千年的名题，看看我们手中的“一元一次方程”这把利器，能否解开古人的智慧密码。

2.揭示课题：板书新标题“承古启新探方程——初中数学七年级上册一元一次方程古算名题复习课”。并提问：看到这个课题，你想学到什么？你想研究哪些古代的数学问题？以此激发学生的期待心理。

（二）【基础·经典重现】“盈不足”问题的探究（《九章算术》）

3.【基础·经典原题呈现】（投影）

今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？（选自《九章算术·盈不足》）

4.【重要·信息处理三步走】

（1）第一步：古文今译（生生互动）。请一位学生尝试翻译：一些人共同买东西，每人出8元钱，会多出3元；每人出7元钱，则少4元。问人数和物品价格各是多少？

（2）第二步：提炼信息（师生互动）。教师引导：在这段话中，不变的量是什么？（人数和物价是固定的）。变化的量是什么？（每人出的钱数和最后钱款的总余缺）。如何用表格整理信息？

出资方案

每人出钱数

结果描述

隐含的等量关系

方案一

8

多3元（盈3）

总出资额=物价+3

方案二

7

少4元（不足4）

总出资额=物价-4

（3）第三步：符号表达。设人数为x人。那么根据方案一，物价可以表示为8x-3；根据方案二，物价可以表示为7x+4。

5.【核心·模型构建与求解】

（1）寻找等量关系：因为物价是固定不变的，所以两个代数式相等。这是本题的核心，也是列方程的依据。

（2）列出方程：8x-3=7x+4

（3）自主求解：学生独立解方程，教师巡视指导规范步骤。

（4）回代检验：解出x=7，则物价为8×7-3=53（或7×7+4=53）。

6.【升华·文化点睛与变式】

教师介绍：“盈不足”问题是《九章算术》中极具代表性的模型，后来传入欧洲，对中世纪数学的发展产生了深远影响。这个问题的本质是“两次分配，一次有余，一次不足”，我们抓住了“总量不变”这个牛鼻子。

变式：人出八，盈三；人出六，不足二。问人数、物价？引导学生独立完成，巩固模型。

（三）【关键·行程古算】“良马驽马”问题（《九章算术》）

7.【难点·情境再现】

投影：今有良马初日行一百九十里，以后日增五分；驽马初日行九十七里，以后日减半分。问：几日相逢？（说明：此题在原有基础上简化数据以贴合学情，但保留其数学思想。实际教学中可采用改编题，核心在于“两马相向而行”。经典原题为：良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里。问其几日相逢？）

8.【重要·策略引导——数形结合】

（1）角色扮演：请两位同学分别扮演“良马”和“驽马”，模拟从两地相向而行的过程。

（2）画线段图：教师在黑板上画出线段图，标注起点、终点、相遇点。

（3）列表分析：由于两马速度逐日变化，逐日累加过于繁琐，引导学生思考“总路程”与“两马所走路程之和”的关系。

马匹

速度变化规律

到相遇时总路程表达式

良马

逐日增加

相当于等差数列求和

驽马

逐日减少

相当于等差数列求和

9.【核心·模型突破】

引导学生将复杂问题简单化：无论速度如何逐日变化，两马从出发到相遇所走的路程之和等于两地之间的总路程（这里可假设两地距离为两马第1天速度之和乘以一个预设天数，或直接设总路程为S，相遇天数为x）。关键在于，本题总路程S是已知的吗？很多古算题会将总路程隐含给出，或者需要学生自行查阅资料或根据常识补充。

更常见的处理方式：将问题简化为两马从相距一定距离的两地出发，它们的速度不是恒定的，但我们可以用含有x的代数式表示出良马和驽马在x天内各自走的总路程。这涉及到等差数列前n项和的知识，对于七年级学生是超纲的。因此，本节课的突破点在于：

【教学机智处理】将题目改编为“等速”但“出发时间不同”的经典相遇问题。这样既保留了古算题“行程”的背景，又回归了学生当前的知识水平。例如：

改编题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行五日，良马后发，问良马几何日追及之？”（选自《算学启蒙》）

10.【基础·改编题探究】

（1）审题：引导学生分析“先行五日”意味着驽马比良马多走了5天。当良马出发时，驽马已经在前面一段距离了。

（2）画图：画出追及问题的线段图，明确追及路程=速度差×追及时间，或者利用“良马走的路程=驽马先走的路程+驽马后走的路程”。

（3）建模：

解法一（利用追及公式）：路程差（驽马先走的距离）=150×5=750里，速度差=240-150=90里/天，追及时间=路程差÷速度差=750÷90=25/3天，需化为带分数或小数。

解法二（方程思想）：设良马出发x天后追上驽马。

良马走的路程：240x

驽马走的总路程：150×5（先走的）+150x（后走的）

等量关系：240x=150×5+150x

解得：90x=750，x=25/3

（4）检验与讨论：25/3天是否符合实际？在行程问题中，结果是分数是完全合理的，表示不到9天的时间。

（四）【拓展·分组分配】“百僧百馒”问题（《直指算法统宗》）

11.【热点·趣味引入】

投影：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？教师朗读，朗朗上口，瞬间抓住学生注意力。

12.【重要·阅读理解】

（1）请学生解释诗意：总共有100个馒头和100个和尚。大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃1个。问大、小和尚各有多少人？

（2）关键词辨析：“大僧三个”是大和尚每人3个；“小僧三人分一个”是3个小和尚共享1个馒头。

13.【核心·一题多解与优化】

（1）方法一：设大和尚x人，则小和尚(100-x)人。

大和尚共吃馒头：3x个

小和尚共吃馒头：(100-x)/3个

等量关系：3x+(100-x)/3=100

方程两边乘3：9x+100-x=300

合并：8x=200

解得：x=25，小和尚=100-25=75人。

（2）方法二：设小和尚y人，则大和尚(100-y)人。

小和尚共吃馒头：y/3个

大和尚共吃馒头：3(100-y)个

等量关系：y/3+3(100-y)=100

方程两边乘3：y+900-9y=300

合并：-8y=-600

解得：y=75，大和尚=25人。

（3）【创新·分组法】引导学生从“分”的角度思考：1个大和尚和3个小和尚组成一组，这4个人共吃馒头3+1=4个。因为总和尚数和总馒头数都是100，恰好是4的25倍。所以这样的组有25组。因此大和尚有25×1=25人，小和尚有25×3=75人。这种算术解法与方程解法相互印证，体现了数学思维的灵活性。

14.【感悟·模型价值】这个问题本质上是一个“按比例分配”问题的变式，但在中国古代，它被巧妙地编成诗歌，体现了数学的人文之美。

（五）【综合·创新挑战】“两鼠穿墙”问题（《九章算术》）

15.【难点·高峰体验】

投影：今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？

（注释：墙厚5尺。两只老鼠从墙的两边相对挖洞。大鼠第一天挖1尺，小鼠第一天也挖1尺。大鼠以后每天挖的尺寸是前一天的2倍，小鼠以后每天挖的尺寸是前一天的一半。问它们几天后相遇？相遇时各挖了多少？）

16.【重要·深层剖析】

（1）信息梳理：这是一个涉及“等比数列”变化的问题，对七年级学生极具挑战性。它不仅是行程问题，更融合了变化的增长率。

（2）化繁为简：引导学生不能硬套公式，而应回归“累加”的本源。尝试逐日累加计算：

第1天：大挖1尺，小挖1尺，共挖1+1=2尺，墙厚5尺，剩余5-2=3尺。

第2天：大挖1×2=2尺，小挖1÷2=0.5尺，共挖2+0.5=2.5尺，累计挖2+2.5=4.5尺，剩余5-4.5=0.5尺。

第3天：还需要挖0.5尺。这一天大鼠挖2×2=4尺，小鼠挖0.5÷2=0.25尺。显然它们不需要一整天就能完成这0.5尺。需要计算第3天所用的时间比例。

（3）【关键·精细建模】设第3天它们挖了x小时（将一天视为单位“1”），则第3天两鼠共挖的速度为(4+0.25)=4.25尺/天。需要挖的剩余长度为0.5尺。因此有方程：4.25x=0.5，解得x=0.5/4.25=50/425=2/17天。

（4）结论：所以，它们相遇的时间为2+2/17天。大鼠共挖：1+2+4×(2/17)=3+8/17尺；小鼠共挖：1+0.5+0.25×(2/17)=1.5+0.5/17=1.5+1/34=(51/34+1/34)=52/34=26/17尺，即1又9/17尺。

17.【升华·意志品质】这个问题虽然计算复杂，但它展示了数学模型的强大力量。古人能在千年前就提出并解决如此精妙的问题，其智慧令人叹服。同时，解决这个问题的过程，也锻炼了同学们不畏艰难、锲而不舍的钻研精神。

（六）【总结·梳理升华】建模思想与文化自信

18.【重要·知识网络构建】

引导学生回顾本节课解决的几类古算题：“盈不足”（总量不变型）、“良马驽马”（行程追及型）、“百僧百馒”（分组分配型）、“两鼠穿墙”（累加极限型）。并总结出解决古算题的一般步骤：

（1）读：读懂古文，圈画关键词，明确问题情境。

（2）译：用自己的话复述题意，必要时借助表格、图表整理信息。

（3）找：寻找题目中不变的量（等量关系），这是列方程的关键。

（4）设：选择合适的未知数（直接设或间接设）。

（5）列：根据等量关系列出方程。

（6）解：准确解方程。

（7）验：验证解是否符合方程，更是否符合实际意义（如人数为整数）。

（8）答：回归原题，清晰作答。

19.【升华·文化自信】

教师总结：我们今天用一元一次方程这把钥匙，打开了中国古代数学宝库的一角。从《九章算术》到《算学启蒙》，我们的祖先在数学领域取得了举世瞩目的成就，比西方早数百年提出并解决了同类问题。作为新时代的青少年，我们不仅要学好数学，更要用数学的眼光去传承文化，用数学的思维去创造未来。

（七）【分层·课后作业设计】

20.【基础·必做题】从课后习题中选取两道与本节课类型相似的古代数学应用题（如“鸡兔同笼”的变式），独立完成求解过程，巩固建模步骤。

21.【拓展·选做题】上网或查阅图书资料，寻找一道你感兴趣的、教材之外的古代数学名题（如“李白沽酒”、“韩信点兵”），尝试用一元一次方程解决，并写一段100字左右的推荐语，在下节课与同学们分享。

22.【探究·跨学科作业】从历史或语文课本中，选择一个与数量有关的历史事件或故事