北师大版小学三年级数学上册‘混合运算的初步认识’教案

北师大版小学三年级数学上册‘混合运算的初步认识’教案

一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在小学第二学段“数与代数”领域中，明确提出要引导学生“在具体情境中，了解四则运算的意义，感悟运算之间的关系”，并“形成初步的运算能力和推理意识”。本课“小熊购物”（乘加混合运算）正是这一要求的关键载体，它位于学生已掌握加减法及表内乘法之后，是学生首次从“分步列式”迈向“综合列式”、初步建立“先乘后加”运算顺序规则的核心节点。从知识技能图谱看，本课需完成从具体情境抽象出数学模型（乘加算式）的关键跨越，其认知要求从“理解”情境上升到“应用”规则解决新问题，并为本单元后续的乘减、除加除减等混合运算的学习奠定逻辑和思维基础。从过程方法路径审视，本节课蕴含了“数学建模”这一核心思想方法：即引导学生经历“现实情境→数学问题→建立模型（列综合算式）→求解验证→解释应用”的完整过程。在素养价值渗透层面，购物这一真实情境，不仅为数学探究提供了生动背景，更自然地融入了“理性消费”、“有序思维”等价值导向，使数学学习与社会生活、个人成长紧密相连。

基于“以学定教”原则，进行立体化学情研判。三年级学生思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们的已有基础是牢固掌握了加减法和表内乘法的计算，并具备分步解决简单实际问题的能力。然而，潜在的认知障碍在于：第一，习惯于分步列式，对综合算式的简洁性与整体性认知不足；第二，受分步计算顺序的固化影响，极易产生“从左往右依次计算”的思维定势，对“先算乘法”的新规则需要认知冲突与重构。学生的兴趣点则在于生动、可参与的故事情境和角色扮演。在教学过程中，我将通过“前测性提问”（如：“你能把这两个算式合成一个吗？”）、观察小组讨论中学生的列式策略、分析随堂练习中的典型错误等方式，动态把握学生对“综合算式”的接受度与对“运算顺序”的理解深度。据此，教学调适策略将体现差异化：对于理解较快的学生，引导其担当“小老师”，解释运算顺序的合理性；对于存在困难的学生，提供“实物模型”（如糖果图片、代币）和“流程图”等可视化工具，帮助其在具象操作中理解抽象的运算顺序。

二、教学目标

知识目标方面，学生将经历从具体购物情境中抽象出数学问题的过程，理解“乘加”混合运算的现实意义；能够正确列出乘加综合算式表示数量关系，并通过探究与思辨，牢固掌握“在既有乘法又有加法的算式中，应先算乘法、后算加法”的运算顺序规则，并能用这一规则准确进行计算。

能力目标聚焦于发展学生初步的数学建模能力和逻辑推理能力。学生应能够从现实情境中识别出“几个几是多少再加几”的数学模型结构，并尝试用综合算式进行表征；在探究运算顺序时，能通过联系实际意义（如总价计算）、对比分步与综合算式的计算结果等方式，有理有据地说明“为什么先乘后加”，从而发展有逻辑的数学表达与论证能力。

情感态度与价值观目标旨在借助购物情境，激发学生对生活中数学问题的探究兴趣，体验数学的实用价值。在小组合作探究中，鼓励学生学会倾听同伴的不同解题思路，尊重他人的思考成果，并养成严谨、有序的数学思维习惯。

科学（学科）思维目标的核心是发展学生的模型思想与符号意识。本课将引导学生完成从具体“事件”（小熊买东西）到抽象“关系”（乘加数量关系），再到形式化“表达”（综合算式）的思维提升，初步感知用统一、简洁的数学符号系统来概括一类问题的优越性，此为模型思想的萌芽。

评价与元认知目标设计为，在课堂巩固环节，引导学生依据“列式是否正确”、“运算顺序是否清晰”、“计算是否准确”等简单量规进行同伴互评；在小结阶段，通过提问“今天我们是如何一步步解决小熊的问题的？”引导学生回顾学习路径，反思从具体到抽象的学习策略，初步形成对自己学习过程的监控意识。

三、教学重点与难点

教学重点为：理解并掌握乘加混合运算的运算顺序，即“先算乘法，后算加法”。其确立依据源于课程标准的宏观要求与知识体系的微观结构。从课标看，掌握确定的运算顺序是培养运算能力的基础，是“数的运算”这一大概念下的核心规则。从学业评价导向分析，混合运算的顺序规则是后续所有复杂运算的基石，在各类测评中既是高频考点，更是检验学生是否真正理解算式意义而非机械计算的关键标尺。突破此重点，方能确保学生运算能力发展的正确方向。

教学难点在于：从分步计算到综合算式的思维跨越，以及主动建构“先乘后加”的运算顺序规则。难点成因主要基于学情：首先，综合算式将两个独立的计算步骤合并，增加了认知负荷，学生需要理解算式中每一部分对应的具体情境意义，这对抽象思维能力是挑战。其次，学生已有的连加、连减及加减混合运算经验均为从左往右依次计算，这与新规则冲突，易产生负迁移。预设依据来自于常见错误分析，如学生常列出“4+3×6”却计算为“7×6=42”。突破方向在于，强化情境与算式的对应关系解读，并设计认知冲突，让学生在对比、辩论中自己发现“先乘后加”的必要性与合理性，实现意义的主动建构。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：制作多媒体课件，包含小熊购物情境动画、动态算式生成演示、分层练习题。准备实物道具：面包和糖果的图片或模型、价格标签贴纸、可粘贴的算式卡片。

1.2学习任务单：设计分层探究学习单，包含情境图填空、列式区、计算区及“我的发现”总结区。

2.学生准备

2.1学具：每人准备铅笔、橡皮、直尺。鼓励学生回忆一次购物经历。

2.2预习：无强制性书面预习，但可在课前简单思考：“如果你买了几样同样的东西和一样另的东西，怎么算总价？”

3.环境布置

3.1板书规划：左侧预留情境区，中部为核心探究区（用于粘贴分步算式、综合算式及运算顺序规则），右侧为练习反馈区。

3.2座位安排：四人小组围坐，便于开展合作探究与讨论。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与问题驱动

1.1播放简短动画或出示图片：小熊胖胖来到甜品店，它想买1个蛋糕（4元）和3包饼干（每包6元）。收银员熊阿姨给出了一个问题：“小朋友，你该付多少钱呢？”小熊看着货架，有点发愁。“同学们，谁能帮帮胖胖？”

1.2（教师设问）“要解决‘该付多少钱’这个问题，我们需要知道哪些数学信息？”引导学生提取：蛋糕的单价和数量，饼干的单价和数量。

1.3教师板书关键信息：蛋糕：1个，每个4元；饼干：3包，每包6元。并明确核心问题：一共需要付多少元？

2.唤醒旧知与路径预告

（教师引导）“这个问题看起来不难，我们以前都是怎么解决这类问题的？”预计学生会提出分步计算：先算饼干多少钱（3×6=18），再算一共多少钱（4+18=22）。

（提出挑战）“非常棒，这是我们的‘老朋友’——分步计算。今天，数学王国要给我们介绍一位‘新朋友’，它能将这两个步骤‘合二为一’，用一个式子就把问题解决。想认识它吗？这节课，我们就一起来邀请这位‘新朋友’——综合算式，并和它一起制定计算的‘游戏规则’。”

第二、新授环节

本环节采用支架式教学，通过五个螺旋上升的任务，引导学生主动建构。

任务一：情境梳理与分步列式再现

教师活动：首先，引导学生将情境信息结构化。“我们先把信息和问题整理得更清楚些。”利用课件或板书，以图示或表格形式梳理：蛋糕的总价是“1个4元”，即4元；饼干的总价是“3个6元”，即（）元。然后提问：“分步计算，第一步求什么？算式是？第二步呢？”教师同步板书分步算式：3×6=18（元），4+18=22（元）。并强调：“每一步算式的单位名称和它表示的实际意义要对应好。”

学生活动：学生观察情境，跟随教师引导，口述信息和问题。在教师提问下，集体回答分步计算的步骤，并说出每一步算式的意义。个别学生可能直接说出总价，教师需追问过程。

即时评价标准：1.能否准确复述问题情境中的数学信息。2.能否清晰、正确地列出分步算式，并说出每个算式求的是什么。3.在表达时，是否注意到单位名称与实际意义的匹配。

形成知识、思维、方法清单：★1.信息提取与结构化：解决实际问题首先需从情境中筛选、整理有价值的数学信息，这是数学建模的起点。可用列表、画图等方式辅助理解。▲2.分步解决问题的策略：对于复合问题，将其分解为几个连续的简单步骤，是有效的解题策略，体现了化繁为简的思想。

任务二：引入综合算式，建立初步联系

教师活动：提出关键引导：“这两个算式就像接力赛跑，前一个的结果交给后一个。数学上，我们可以用一道‘综合算式’把它们连接起来。”教师在分步算式旁板书：“4+3×6”。提问：“这个式子，你们看懂了吗？‘3×6’在这里代表什么？”引导学生发现，“3×6”就是第一步计算饼干总价的结果，所以它直接代替了“18”。接着问：“那这个综合算式和刚才的分步计算，求的是不是同一个问题？”让学生体会综合算式的简洁性与整体性。

学生活动：观察教师写出的综合算式“4+3×6”，思考并与同桌交流其含义。在教师引导下，理解算式中“3×6”这部分对应的是“饼干的总价（18元）”。通过对比，感知综合算式用一个式子概括了整个计算过程。

即时评价标准：1.能否指出综合算式中“3×6”部分所表示的具体情境意义。2.能否口头解释这个综合算式与之前分步算式之间的联系，即它是如何“合并”而成的。

形成知识、思维、方法清单：★3.综合算式的意义：综合算式是把两步或两步以上的计算合并写成一个式子。它形式更简洁，更能体现数量关系的整体结构。▲4.算式与情境的对应：理解算式的关键，在于明确算式中每个数、每个运算符号在具体情境中代表什么。脱离了情境，算式就是空洞的符号。

任务三：制造认知冲突，探究运算顺序

教师活动：这是突破难点的核心步骤。教师抛出争议性问题：“这个综合算式‘4+3×6’，现在出现了两种算法：第一种，先算4+3=7，再算7×6=42；第二种，先算3×6=18，再算4+18=22。到底哪种对呢？请大家做个小法官，拿出理由来说服对方。”组织学生小组讨论。教师巡视，捕捉典型观点。讨论后，请持不同意见的代表发言。

学生活动：学生陷入思考与争论。他们可能会尝试用情境说理：“如果先算4+3，就变成了‘蛋糕和饼干的包数加起来再乘单价’，意思不对了，饼干单价是6元，不是7元。”也可能会联系分步计算的结果来验证：“分步算是22元，所以第二种才对。”学生在辩论中，将算式的“形”与情境的“义”紧密结合。

即时评价标准：1.讨论时，观点是否有基于情境或已有事实（分步结果）的依据。2.能否清晰表达自己的推理过程，并尝试反驳或补充他人的观点。3.小组内是否形成了有效的交流和倾听氛围。

形成知识、思维、方法清单：★5.乘加混合运算的顺序规则：在既有加法又有乘法的算式中，应先算乘法，后算加法。这是数学共同体约定的计算法则。▲6.理解规则背后的“道理”：规则并非凭空规定。先算乘法，是为了先求出“几个几是多少”（如饼干总价），再加上另一样东西的价钱，这符合问题本身的数量关系逻辑。可以用“回到情境想意义”或“用分步结果做检验”两种方法来理解。

任务四：形式化规则，强化书写规范

教师活动：在学生辩论达成共识后，教师进行总结提升：“大家的辩论非常精彩！都发现了，在‘4+3×6’这个式子里，先算‘3×6’才符合购物算钱的实际道理。所以，数学上就明确规定：在没有括号的算式里，如果既有加法，又有乘法，要先算乘法，后算加法。”教师板书规则，并用彩色粉笔在“3×6”下画线或圈出，强调其为“第一步”。接着，示范规范的脱式计算书写格式：4+3×6=4+18=22

。强调等号对齐，暂时不算的部分（“4+”）要照抄下来。

（教师示范解说）“看老师怎么写：我们先看算式，有加有乘，先算乘。所以第一步，我们把乘法部分‘3×6’的结果算出来，是18。注意哦，没轮到的‘4+’要原封不动地搬下来，然后加上18，得到最后结果22。等号要像站队一样对齐。”

学生活动：倾听教师总结，齐读运算顺序规则。观察教师脱式计算的书写步骤，并在学习任务单上模仿书写。部分学生上台板演。

即时评价标准：1.能否准确复述运算顺序规则。2.脱式计算时，书写格式是否规范（等号对齐、未计算部分照抄）。3.计算过程是否准确无误。

形成知识、思维、方法清单：★7.运算顺序的规定性语言：能用规范的数学语言（“既有…又有…，要先算…，后算…”）表述混合运算顺序。▲8.脱式计算的规范格式：脱式计算是展示运算过程的标准格式，要求等号上下对齐，暂时不参与计算的部分要连同其前面的运算符号一同“搬家”。规范书写是严谨思维的体现。

任务五：初步抽象建模，尝试应用

教师活动：创设一个相似但数据不同的情境进行变式练习，例如：“小熊还想买2瓶果汁（每瓶5元）和1个面包（3元），请用一个综合算式表示应付的钱数，并计算。”引导学生独立完成。之后，将两个情境的算式“4+3×6”和“3+2×5”并列呈现。提问：“观察这两个算式，它们有什么共同的特点？”引导学生抽象出“一个数+另一个数×几”的乘加模型结构。

学生活动：独立审题，尝试列出综合算式“3+2×5”，并按照新学的规则和格式进行计算。然后观察、比较两个算式，在教师引导下发现它们都是“先算乘法（求出几个几是多少），再加一个数”的结构。

即时评价标准：1.能否在新情境中正确列出乘加综合算式。2.能否独立、规范地完成脱式计算。3.能否从具体算式中初步感知乘加问题的共性结构。

形成知识、思维、方法清单：★9.乘加问题的模型识别：遇到“求几个几是多少，再加上另一个数”的实际问题，可以抽象为“一个数+另一个数×几”的乘加算式来解决。这是数学建模的初步应用。▲10.从具体到抽象的归纳：通过分析几个具体例子，寻找它们共同的运算结构和顺序，是归纳思维的体现，有助于我们把握一类问题的本质。

第三、当堂巩固训练

设计核心：构建分层、变式训练体系，提供即时反馈。

1.基础层（直接应用规则）：

1.2.题目：计算下列各式。①5+4×3②7×2+9③8+3×4

2.3.设计与反馈：要求全体学生独立完成，强调格式。完成后同桌互换，依据“顺序对、格式对、计算对”三条标准互评。教师巡视，收集典型正确与错误案例进行投影点评。（教师点评示例）“看这位同学的作业，等号对齐得像小士兵，没算到的部分‘5+’抄写得清清楚楚，真棒！”

4.综合层（情境变式应用）：

1.5.题目：“一盒钢笔有8支，王老师买了3盒，又单买了2支。王老师一共买了多少支钢笔？”请列综合算式解答。

2.6.设计与反馈：此题为乘加模型的逆向情境（先乘后加，但未知总量）。学生需先识别出“3个8”的部分。先独立完成，再小组内交流列式思路。教师请不同列式（如8×3+2或2+8×3）的学生分享，并讨论运算顺序是否一致，强化规则。

7.挑战层（开放探究）：

1.8.题目：“你能给算式‘20+□×4’的方框里填上一个数，让最后的结果等于36吗？想想可以怎么试？”

2.9.设计与反馈：此题涉及简单的逆向思考。鼓励学有余力的学生尝试。可以提示：“先不看20，结果36去掉20剩下多少？这个‘多少’是‘□×4’的积。”请成功的学生分享思考过程，渗透解方程思想的萌芽。

第四、课堂小结

设计核心：引导学生自主进行结构化总结与元认知反思。

10.知识整合：（教师提问引导）“同学们，这节课我们跟着小熊进行了一次数学购物之旅。回头看看，你收获了哪些重要的‘数学宝贝’？可以试着用‘我知道了…’、‘我学会了…’这样的句式说一说。”引导学生从知识（综合算式、运算顺序）、方法（从情境中列式、用脱式计算）、思想（模型思想）等多维度回顾。教师辅助形成简洁的板书脉络图。

11.方法提炼与作业布置：

1.12.方法提炼：“当我们遇到新的运算规则时，像今天这样‘联系实际想道理’、‘对比分析找依据’，是理解它的好方法。”

2.13.作业布置：

1.3.14.基础性作业（必做）：完成课本相关页面的基础计算题2道，及1道简单的乘加情境应用题。

2.4.15.拓展性作业（建议做）：“请你设计一个生活中用‘乘加算式’（例如：3×5+10）来解决的问题情境，并讲给家人听。”

3.5.16.探究性作业（选做）：“思考：如果算式是‘4×6+3’，应该先算什么？为什么？这个算式能讲一个和小熊购物不同的故事吗？”

17.预告与延伸：“今天我们发现‘先乘后加’的规则很合理。下节课，我们将遇到‘小熊购物’的续集，如果它买了4个面包，付了20元，该找回多少钱呢？那又会涉及什么运算？规则会不会有变化？大家可以先猜一猜。”

六、作业设计

基础性作业：

1.计算：①6+2×7=②5×4+8=③9+3×5=（要求脱式计算）

2.解决问题：小明买了一个文具盒（12元）和3本同样的笔记本（每本4元），一共花了多少钱？（列综合算式解答）

拓展性作业：

1.情境设计师：请结合你的生活（如购买水果、文具、玩具等），创编一个可以用算式“5×3+6”解决的实际问题。将问题清晰地写下来，并附上解答。

2.错题小医生：判断下面的计算是否正确，如果不正确，请诊断“病因”并改正。

7+2×4=9×4=36

（）

病因分析与改正：________________________________________________________________。

探究性/创造性作业：

1.规则探索家：我们已经知道“4+3×6”要先算乘法。请你大胆猜想并验证：在“20-3×4”这样的既有减法又有乘法的算式里，运算顺序应该是怎样的？你能像课上一样，举一个生活例子来说明你的猜想合理吗？（提示：可以想象购物找钱的情境）

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.混合运算：算式里含有两种或两种以上的运算（如加、减、乘、除），称为混合运算。本课重点研究乘加混合。

★2.综合算式：把两步或两步以上计算所涉及的数量关系合并列成的一个算式。优点：简洁，整体性强。教学提示：初学时，务必让学生说清算式中每一步对应的实际意义。

★3.乘加混合运算的顺序规则：在一个没有括号的算式里，如果既有加法，又有乘法，要先算乘法，后算加法。这是必须熟记并正确运用的核心规则。

★4.脱式计算（递等式计算）格式规范：等号需上下对齐写在算式左侧；暂时不参与计算的部分，要连同它前面的运算符号一起照抄下来，直到它参与计算。易错点：等号不对齐；漏抄数字或运算符号。

▲5.运算顺序的合理性理解：规则不是死记硬背的。以购物为例，先算乘法是为了先求出“几个几是多少”（总价），再加另一样商品的价格，这符合实际问题的解决逻辑。可用“联系情境”和“对比分步结果”两种方法辅助理解。

★6.“模型识别”能力：能从实际问题中识别出“求几个几是多少，再加上另一个数”的结构，并主动联想到使用乘加综合算式。这是应用意识的表现。

▲7.变式情境：乘加模型不仅限于“购物”。如“前3天每天读5页，第4天读了8页，共读多少页？”、“每排站6人，站了4排，还有2人在队伍外，一共多少人？”都属于同类模型。

★8.常见错误类型与归因：

*顺序错误：如计算4+3×6时先算4+3。归因：受从左往右计算的思维定势影响，未真正理解规则或算式的意义。

*格式错误：脱式计算时等号不对齐，或漏抄部分。归因：对格式要求不明确，书写习惯欠严谨。

*列式错误：无法从情境中正确抽象出乘加关系。归因：对数量关系分析不清。

▲9.逆向思考练习：如已知综合算式和结果，反推其中一个乘数（如：20+□×4=36）。这锻炼了学生的逆向思维和初步的代数思考。

★10.考点分析：在学业评价中，本课知识常以以下形式考查：①直接给出乘加算式要求计算（考查规则掌握与计算准确性）。②提供简单情境，要求列综合算式并解答（考查模型识别与应用能力）。③在判断题或选择题中，针对运算顺序设置陷阱（考查对规则的理解深度）。

▲11.符号意识的发展：学习综合算式，是学生符号意识发展的重要一步。它意味着学生开始习惯用一套统一的、抽象的符号系统来概括和表达一类具体情境中的数量关系。

★12.与前后知识的联系：前接：表内乘法、百以内加法、分步解决问题。后续：本课的规则是下节课“乘减混合运算”以及未来学习带有小括号的混合运算、四则混合运算的基石。理解好“先乘后加”，能为理解“先乘除后加减”的总体规则打下坚实基础。

八、教学反思

（一）教学目标达成度分析

假设的课堂实况表明，本课预设的三维目标基本达成。知识目标方面，通过情境探究与辩论，超过80%的学生能正确列出乘加综合算式并准确计算，课后基础作业正确率高，表明“先乘后加”的规则已初步建立。能力目标中，数学建模能力初见成效，多数学生能识别简单情境中的乘加关系，但在表述“为什么先乘后加”时，部分学生仍需情境提示，逻辑性表达的普遍性有待加强。情感目标在活跃的课堂辩论和合作中得以落实，学生对生活中的数学表现出浓厚兴趣。

（二）核心教学环节有效性评估

1.导入环节：以“帮小熊算账”切入，迅速激活学生生活经验与助人情感，驱动性问题明确，有效激发了探究动机。那句“想认识能把两个算式‘合二为一’的新朋友吗？”成功设置了认知悬念。

2.探究运算顺序环节（任务三）：这是本课设计的亮点与成败关键。预设的认知冲突（两种算法之争）真实发生了，且引发了激烈的课堂辩论。（反思内心独白）“看到孩子们为了‘42’还是‘22’争得面红耳赤，不是简单地等待老师宣判，而是努力用‘饼干的单价不是7元’、‘分步算是22’来论证，我知道，他们真正在思考了。”这一环节让学生从“规则的接受者”转变为“道理的发现者”，建构过程扎实有效。

3.巩固训练的分层设计：基础层通过互评实现了即时反馈；综合层的情境变式暴露了少数学生模型识别的不稳定（如将“单买2支”错误处理为乘法）；挑战层的开放题虽然只有部分学生尝试，但为思维活跃者提供了舞台，并生成了宝贵的课堂生成资源。

（三）对不同层次学生的深度剖析

1.领先型学生：他们在任务二中即能迅速理解综合算式意义，在任务三的辩论中成为“道理”的主要阐述者。对于他们，课堂提供的“小老师”角色和挑战层题目是合适的“爬升架”。但需反思，是否在抽象建模（任务五）环节，可以引导他们尝试用字母或图形概括模型，给予更深的思维挑战？

2.跟进型学生（大多数）：他们跟随教学环节逐步建构，在小组讨论和集体反馈中巩固理解。巩固练习的正确率显示他们掌握了核心。对他们而言，清晰的教学节奏、规范的板书示范和充足的变式练习至关重要。作业中的“错题小医生”设计，正是针对他们可能出现的格式或顺序错误进行元认知训练。

3.暂时困难型学生：观察发现，他们的困难主要集中在两点：一是从情境到算式的抽象转换有延迟；二是脱式计算的格式易出错。教学中通过提供实物图片辅助理解、教师个别巡视指导、同伴互助等方式给予支持。课后可能