2021年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）

2021年上海市夏季高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1.已知z11i,z223i（其中i为虚数单位），则z1z2．

【思路分析】复数实部和虚部分别相加

【解析】：z1z234i

【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题．

2、已知Ax2x1,B1,0,1,则AB

【思路分析】求出集合A，再求出AB

1

【解析】：Ax2x1xx，所以AB1,0

2

【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．

3、若x2y22x4y0,则圆心坐标为

【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标

【解析】：x2y22x4y0可以化为（x1）2（y2）25所以圆心为(1,2)

【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题．

4、如图边长为3的正方形ABCD,则ABAC

【思路分析】利用向量投影转化到边上.

2

【解析】方法一：ABACAB=9

方法二：由已知|AB|3，|AC|32，AC,AB，

4

2

则ABAC3329；

2

【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题；

3

5、已知f(x)2,则f1(1)

x

【思路分析】利用反函数定义求解.

3

【解析】由题意，得原函数的定义域为：(,0)(0,)，结合反函数的定义，得12，

x

解得x3，所以，f1(1)3；

【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题．

5

6.已知二项式xa的展开式中，x2的系数为80，则a________．

【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.

rr5r33

【解析】Tr1C5axr3,C5a80,a2

【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数

幂运算；基础题。

x3

7、已知2xy20,目标函数zxy，则z的最大值为

3xy80

【思路分析】作出不等式表示的平面区域，根据z的几何意义求最值.

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【解析】如图，可行域的三个顶点为：(3,4)、(2,2)，(3,1)，

结合直线方程与z的几何意义，得x3，y1，则z最大值=4；

当x3,y1,zmax4

【归纳总结】本题主要考查线性规划的规范、准确作图与直线方程中“参数”的几何意义与数形结

合思想；

8、已知无穷递缩等比数列a13,bna2n,an的各项和为9,则数列bn的各项和为

【思路分析】利用无穷递缩等比数列求和公式建立方程求出公比，再得到bn通项公式，根据特点求

和.

a32

【解析】S19q，

1q1q3

24b218

baaq2n13()2n1b2,qS1

n2n13109b1q45

01

9

【归纳总结】本题考查了数列的基本问题：等比数列与无穷递缩等比数列的各项和的概念与公式；

同时考查了学生的数学阅读与计算能力。

9、在圆柱底面半径为1,高为2,AB为上底底面的直径,点C是下底底面圆弧上的一个动点，点C绕

着下底底面旋转一周，则ABC面积的范围

【思路分析】注意几何题设与几何性质选择求ABC面积的的方法；

【解析】由题意，当点C在下底底面圆弧上的运动时，ABC的底边AB2，

所以，ABC面积的取值与高C2O1相关；

22

当C2OA1C1时，C2O1最大为：C2O1125，ABC面积的最

1

大值为：255；

2

1

当ABBC时，CO最小为：BC2，ABC面积的最大值为：222；

12112

所以，ABC面积的取值范围为：[2,5]；

【归纳总结】本题主要考查了圆柱的几何性质，简单的数学建模（选择求三角形面积的方案），等

价转化思想。

10.甲、乙两人在花博会的A、B、C、D不同展馆中各选2个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同

的概率为________．

【思路分析】注意“阅读，理解”，等价为“两个”排列组合题；

2

【解析】由题意A、B、C、D四个不同的场馆，每人可选择的参观方法有：C4种，则甲、乙两

22

个人每人选2个场馆的参观方法有：C4C4种；

111

由此，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：C4C3C2种；

12

（或等价方法1：甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：C4P3种）；

22

（或等价方法2【补集法】：甲、乙两人参观两个不同一个场馆的参观方法有：C4C2种；

2

甲、乙两人参观两个相同场馆的参观方法有：C4种；

222

所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：1C4C2C4种）；

C1C1C1242

432

所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的概率为：p22；

C4C4363

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【归纳总结】本题主要考查考生的“数学阅读理解”，然后将古典概型问题等价转化为：两个排列、

组合题解之；有点“区分度”；

11、已知抛物线y22px(p0),若第一象限的点A、B在抛物线上，抛物线焦点为F,

AF2,BF4,AB3,则直线AB的斜率为

【思路分析】注意理解与应用抛物线的定义以及直线斜率公式的特征；

【解析】方法一：如图，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，再由抛物线的定义结合题

pp

设得|AF|x2，|BF|x4，则xx2，

122221

22

又|AB|(x2x1)(y2y1)3，解得y2y15，

H

yy5

则直线AB的斜率为：21；

x2x12

方法二：过A、B分别向准线引垂线，垂足为A1、B1，

直线AB与x轴的交点为P，

由抛物线定义，得AA12，BB14，AHBB1于H，

则BNBB1HB1BB1AA12，又由已知|AB|3，则|AH|5，

5

结合平面几何中，“内错角相等”，所以，直线AB的斜率为：tanBPFtanABH)

2

2

方法三：：结合本题是填充题的特点，数形结合并利用“二级结论”，弦长公式1k|x2x1|3，

55

即1k223，解得k，结合题设与图像k0，所以k）

22

【归纳总结】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于解析几何的基本计算，甚至都不需要

利用几何关系。定义、弦长、斜率都是解析几何的基本概念与公式；而用好抛物线的定义、数形结

合与平面几何的性质，则可减少计算量；考查了学生直观想象核心素养，通过几何意义容易求出斜

率来；

**

12.已知aiN(i1,2,9)，且对任意kN2k8都有akak11或akak11中有且仅

有一个成立，a16，a99，则a1a9的最小值为________．

【思路分析】注意阅读与等价转化题设中的递推关系；

【答案】31；

【解析】方法一：由题设，知：ai1；

a2a11或a2a31中恰有一个成立；

a3a21或a3a41中恰有一个成立；

…

a8a71或a8a91中恰有一个成立；

则①a2a117，a3a41，a5a61，a7a81，

）=1

则a1a2a9252(a3a5a7，当a3a5a7时，a1a2a9的和为最小值为：

31；

②a2a31，a4a51，a6a71，a8a91，

）=1

则a1a2a9262(a4a6a8，当a4a6a8时，a1a2a9的和为最小值为：

32；

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因此，a1a2a9的最小值为：31）；

方法二：：a2a11或a2a31中恰有一个成立；等价为：a2a11或a3a21中恰有一个

成立；

a3a21或a3a41中恰有一个成立；等价为：a3a21或a4a31中恰有一个成立；

…

a8a71或a8a91中恰有一个成立；等价为：a3a21或a9a81中恰有一个成立；

又要求a1a2a9的和为最小，所以，希望尽量出现1和2，

则有数列：6，1，2，1，2，1，2，8，9或6，7，1，2，1，2，1，2，9；

因此，a1a2a9的最小值为：31；）

方法三：：设bkak1ak，bk或bk1恰好只有一个为1；

①

b1b3b5b71,a16,a27,a31,a4a312,a51,a6a512,a71,a8a712,

a1a2a3a4a5a6a7a8a967121212931

②b2b4b6b81,

a88,a21,a3a212,a41,a5a412,a71,a7a612,

a1a2a3a4a5a6a7a8a961212128932

a1a2a9的最小值为31）

方法四：：由题设，知：ai1；由题设，得：

a2a11

a3a21

a4a31

a5a41

a6a51

a7a61

a8a71

a9a81

再结合题设，要使a1a2a9的和为最小，

①考虑按：a1a2a9(a1a3a7a9)(a2a4a6a8)

69(a3a5a7)(a1a3a5a74)252(a3a5a7)252331

当且仅当a3a5a71时，等号成立；

②考虑按：a1a2a9(a1a3a7a9)(a2a4a6a8)

69(a3a5a7)(a1a3a5a74)202(a3a5a7)

202(a2a4a63)262(a2a4a6)26233231

当且仅当a2a4a61时，等号成立；）

【归纳总结】本题的核心点在对于两个递推关系的理解与等价转化，然后，结合题设要求“和最小”；

进行枚举或递推分析；对于考试的分析问题、解决问题能力有一定要求；主要考察了学生逻辑推理

核心素养，根据题设推理出1，2连续造型值最小，从而判断出整体的最小值，虽然较为简单但容易

出错；

二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）

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13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）

3xx

A.f(x)3xB.f(x)xC.f(x)log3D.f(x)3

【思路分析】注意研究函数性质的方法；

【解析】排除法：B、C、D涉及函数都是增函数；

【归纳总结】本题主要考查函数性质的研究方法；基础题；

3

x3t4t

14、已知参数方程(t[1,1]),以下哪个图像是该方程的图像（）

2

y2t1t

【思路分析】注意利用集合观点，根据方程研究曲线的方法；

【解析】方法一（特值法）：令y2t1t20，解得t1,0,1，代入参数方程，得x1,0,1，

所以，方程对应的曲线一定过(1,0)、(0,0)、(1,0)，故选B；

方法二：在方程对应的曲线上任取一点P(x1,y1)，对应的参数为：t1，

3

x13t14t1

由题意，得；

2

y12t11t1

3

x23(t1)4(t1)x1

当tt时，代入已知的参数方程，得，

12

y22(t1)1(t1)y1

所以，点Q(x2,y2)(x1,y1)也在方程对应的曲线上，

所以，方程对应的曲线关于原点成中心对称；

133

取t，代入参数方程，则x1，y，即点R(1,)在曲线上；）

222

33

验证点S(1,)、T(1,)都不在曲线上；

22

1

因为，当x3t4t31时，t1或t，

2

3133

当y2t1t2时，t或t，所以，点S(1,)不在方程对应的曲

2222

线上；

故，方程对应的曲线不关于x轴成对称；

1

因为，当x3t4t31时，t1或t，

2

3133

当y2t1t2时，t或t，所以，点T(1,)不在方程对应的曲线上；

2222

故，方程对应的曲线不关于y轴成对称；故选B；

【归纳总结】本题主要通过参数方程这个载体，考查了根据方程研究曲线的方法与过程；方法1：

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结合选择题的特点，使用了“特值法”；方法2：从参数方程视角实践根据方程研究曲线。

15.已知fx3sinx2，对于任意的x0,，都存在x0,，使得

2212

fx1+2fx23成立，则下列选项中，可能的值是（）

3467

A.B.C.D.

5555

【思路分析】注意仔细审题，关注关键词“任意的”、“都存在”；

【解析】方法一：由题设f(x1)2f(x2)3，变形得f(x1)32f(x2)，

又由题设“f(x)3sinx2对任意的x[0,]，都存在x[0,]使得f(x)+2f(x)=3成

122212

立”，

若设函数f(x)3sinx2对任意的x[0,]的值域为A，

12

设函数y32f(x)16sin(x)，x[0,]的值域为B，则AB，

2222

7

又因为f(x)[2,5]；而y32f(x)16sin(x)，当=时，

1225

719

x[,]，

2510

1919

y32f(x)16sin(x)[16sin,5]，而16sin0.852符合题意；

221010

sinx1

方法二：由题意，得3sinx22[3sin(x)2]3，解得sin(x)1，

1222

sinx11

又对于任意的x[0,]时，sin(x)1[1,]，

12222

1

原问题，等价为：当x[0,]时，即x[,]时，sin(x)取遍[1,]能所有

222222

的数；

所以，一定存在整数k，

73311

使得：[2k,2k][,]或者[2k,2k][,]，

622262

6789

解得[2k,2k]或者[2k,2k]，所以选D；）

6666

（）

方法三：f(x1)3sinx12,2f(x2+)6sinx2+4,f(x1)+2f(x2+)=3

1

sinx2sin(x)1,sinx[0,1],sin(x)[1,]

12122

743

[2k,2k]或[2k,2k],kz

632

619597

,x0,x[0,2]上有2解，x,[0,],舍去的可能值是，选D

5122303025

【归纳总结】本题本质就是求三角函数的值域，通过关键词“任意”、“存在”与方程，构建了以

集合间关系为解题的“切入点”，同时考查了：函数与方程、数形结合、等价转化思想；主要考查

了学生数学抽象核心素养，通过整体代入法解决三角函数问题。

16、已知两两不同的x1,y1,x2,y2,x3,y3满足x1y1x2y2x3y3，

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且x1y1，x2y2，x3y3，x1y1x3y32x2y20，则下列选项中恒成立的是（）

22

A.2x2x1x3B.2x2x1x3C.x2x1x3D.x2x1x3

【思路分析】注意通过审题与理解，进行合理的转化

x1sa,y1sa,a0

22222

【解析】方法一：x2sb,y2sb,b0ac2b,sb0

x3sc,y3sc,c0

(ac)22(a2c2)(ac)2a2c22ac2(a2c2)4b2

a,b,c0ac2bx1x32x2

方法二：举特例去选择，x14,y15,x22,y27,x31,y38,代入

方法三：令x1y1x2y2x3y32a，则由已知x1a,x2a,x3a，

又由x1(2ax1)x3(2ax3)2x2(2ax2)（*），构造函数f(x)x(2ax)，

（*）即为f(x1)f(x3)2f(x2)，结合函数图像，

xxf(x)f(x)xx

f(13)13f(x)，又函数在(,a)递增，所以13x）

22222

【归纳总结】本题主要考察了考学生数学数据处理与数学建模核心素养，通过换元、引入参数或根

据条件结构转化为二次函数问题，再通过函数的凹凸性确定出答案，难度较大；

三、解答题（本大题共有5题，满分76分,解答下列各题必须写出必要的步骤)

17、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2,AA13

（1)若P是边A1D1的动点，求三棱锥PADC的体积；（2)求AB1与平面ACC1A1所成的角的大小.

平面

【思路分析】（1)利用体积计算公式计算；（2）证明OB1ACC1A1，找到线面角度，再计算

111

【解析】（1)如图1，VSh2232；

PADC3ADC32

平面为

（2）如图2，OB1A1C1,OB1OO1OB1ACC1A1B1AO1AB1与平面ACC1A1

B1O122626

所成的角；在RtB1AO1中B1O12,AB113,sin,arcsin

AB1131313

图1图2

【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角的求法，理解线面角的定义，考查学生的空间立体感、

逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

18、在ΔABC中，已知a3,b2c

2

（1)若A,求ΔABC的面积；（2)若2sinBsinC1,求ΔABC的周长.

3

【思路分析】（1）由已知利用余弦定理即可求解b，c的值；再利用面积公式求ΔABC的面积．

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（2）根据b2c与2sinBsinC1建立关于角度的三角方程，求解sinC,sinB的值，在求sinA，

则根据正弦定理以及a3，则三边可求．

b2c2a2(2c)2c23213767

【解析】（1)cosAc,b；

2bc2(2c)c277

112137393

SbcsinA2c2sin2()2

ABC22327214

12

（2）b2csinB2sinC22sinCsinC1sinC,sinB

33

425

sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC

99

asinC425

c,三角形周长labca+3c3425

sinA3

【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式在解三角形中的应用，考查

了计算能力和转化思想，属于中档题．

19.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营

业额都比前一季度多0.05亿元，该企业第一季度是利润为0.16亿元，以后每一季度的利润都比前一

季度增长4%.

（1）求2021第一季度起20季度的营业额总和；

（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的18%？

【思路分析】（1）根据每个季度比上个季度营业额增加0.05亿元可以知道数列为一个等差数列，

求解20季度营业收入总额为即为等差数列前20项的和；（2）通过数列通项公式建立数列不等式，

利用计算器计算求解不等式即可。

【解析】（1）设an为第n季度的营业额，bn为利润，由题意得，an的首项为1.1亿元，

公差为0.05亿元,所以2021到2025年，

2019

20季度营业收入总额为：S20ad31.5（亿元）

2012

（2）由已知得，ana1(n1)d1.10.5(n1)

n1n1

由已知的，bn的首项为0.16亿元，公比为1.04,即bnb1q0.161.04

所以an18%bn，利用计算器991可得，nmin26

所以2027年第二季度该公司的利润首次超过该季度营业收入的18%

【归纳总结】本题主要考查了等差、比数列的通项公式与前n项和公式的应用，考查了阅读理解能

力、计算能力，属于中档题．

x2

20、已知:y21,F、F是其左右焦点，P(m,0)(m2),直线l过

212

点P交于A、B两点，且A在线段BP上.

（1)若B是上顶点，BF1PF1,求m的值；

1415

（2)若F1AF2A,且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程；

315

（3)证明：对于任意m2,总存在唯一一条直线使得FA//FB.

12

【思路分析】（1）根据椭圆的定义以及BF1PF1建立关于m的方程；（2）

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通过原点O到直线l的距离建立关于直线斜率的方程，求解斜率；（3）找到直线斜率与m的函数

关系，结合函数关系式判断m2是否是唯一解使得F1A//F2B；

2

x2(-1,0)、（），

【解析】（1):y1,F1F21,0BF12,PF11m；

2

BF1PF1,1m2,m12

（2）设A(x1,y1),F1A(x11,y1),F2A(x11,y1),；

14

FAFAx2y21,x2y2,

12311113

4

x2y2,

11366

A(,)

x233

1y21

21

666

设l:yk(x)kx(k1)，原点O到直线l的距离为

333

415

15

66

k

3341521

d3k10k303k3或k（A在线段BP上，k3,舍去）

1k2153

l:3x9y460

设，直线

（3）A(x1,y1),B(x2,y2)l:xhym

y21mm1m1

F1A//F2B，则，y2y1

y11mm1m1

联立直线与椭圆得

xhym

2h22y22mhym220.

x2

y1

2

2mhm22

即yy,yy所以

12h2212h22

2

m12mhm12m2

1y1,y1

m1h22m1h22

h(2n1)m1h2(m1)2m22

代入y12，22

h2m1h22h2

2222

所以m1hm2h2，m2h2h2m2h22h22m24

2221

h0h2m4h2m4k，

2m24

即对于任意m2，使得F1A//F2B的直线有且仅有一条；

【归纳总结】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及根与系数的关系的应用，属于难题．

21、如果对任意x1,x2使得x1x2S都有f(x1)f(x2)S,则称f(x)是S关联的.

（1)判断并证明f(x)2x1是否是[0,)关联？是否是[0,1]关联？

2

（2)f(x)是3关联的，在[0,3)上有f(x)x2x,解不等式2f(x