2015年高考数学试卷（文）（上海）（解析卷）

2015年上海市文科试题

一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格

内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）

1.函数f(x)13sin2x的最小正周期为.

【答案】

313

【解析】因为2sin2x1cos2x，所以f(x)1(1cos2x)cos2x，所以

222

2

函数f(x)的最小正周期为.

2

【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式.

2.设全集UR.若集合A{1,2,3,4}，B{x|2x3}，则

.

A(CUB)

【答案】{1,4}

【考点定位】集合的运算.

3.若复数z满足3zz1i，其中i是虚数单位，则z.[

11

【答案】i

42

【考点定位】复数的概念，复数的运算.

x

4.设f1(x)为f(x)的反函数，则f1(2).

2x1

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2

【答案】

3

xx2

【解析】因为f1(x)为f(x)的反函数，2，解得x，所以

2x12x13

2

f1(2).

3

【考点定位】反函数，函数的值.

23cx3

5.若线性方程组的增广矩阵为1解为，则.

c1c2

01c2y5

【答案】16

x32x3yc1c121

【解析】由题意，是方程组的解，所以，所以

y5yc2c25

.

c1c221516

【考点定位】增广矩阵，线性方程组的解法.

6.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a.

【答案】4

13

【解析】依题意，aaa163，解得a4.

22

【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.

7.抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p.

【答案】2

p

【解析】依题意，点Q为坐标原点，所以1，即p2.

2

【考点定位】抛物线的性质，最值.

8.方程x1x1的解为.

log2(95)log2(32)2

【答案】2

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【考点定位】对数方程.

xy0

9.若x,y满足xy2，则目标函数zx2y的最大值为.

y0

【答案】3

【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.

10.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，

则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.

【答案】120

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【考点定位】组合，分类计数原理.

1

11.在(2x)6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）.

x2

【答案】240

r6r1rr6r63r

【解析】由TC(2x)()C2x，令63r0，所以r2，所以常

r16x26

数项为24.

C62240

【考点定位】二项式定理.[

x2

12.已知双曲线C、C的顶点重合，C的方程为y21，若C的一条渐近线的斜率

12142

是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为.

C1C2

x2y2

【答案】1

44

【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.

13.已知平面向量a、b、c满足ab，且{|a|,|b|,|c|}{1,2,3}，则|abc|的最大

值是.

【答案】35

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【考点定位】平向量的模，向量垂直.

14.已知函数.若存在，，，满足，且

f(x)sinxx1x2xm0x1x2xm6

，则的

|f(x1)f(x2)||f(x2)f(x3)||f(xm1)f(xm)|12(m2,mN)m

最小值为.

【答案】8

【解析】因为函数对任意，，

f(x)sinxxixj(i,j1,2,3,,m)

，

|f(xi)f(xj)|f(x)maxf(x)min2

欲使取得最小值，尽可能多的让取得最高点，考虑

mxi(i1,2,3,,m)

，

0x1x2xm6

按下图

|f(x1)f(x2)||f(x2)f(x3)||f(xm1)f(xm)|12(m2,mN)

取值满足条件，

所以m的最小值为8.

【考点定位】正弦函数的性质，最值.

二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考

生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一

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律零分.

15.设、，则、均为实数是是实数的（）.

z1z2C“z1z2”“z1z2”

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】A

【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.

x8

16.下列不等式中，与不等式2解集相同的是（）.

x22x3

A.(x8)(x22x3)2B.x82(x22x3)

12x22x31

C.D.

x22x3x8x82

【答案】B

【解析】因为x22x3(x1)2220，x8可能是正数、负数或零，所以由

x8x8

x82(x22x3)可得2，所以不等式2解集相同的是

x22x3x22x3

x82(x22x3)，选B.

【考点定位】同解不等式的判断.

17.已知点A的坐标为(43,1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵

3

坐标为（）.

3353

A.B.

22

1113

C.D.

22

【答案】D

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【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.

n

18.设P(x,y)是直线2xy(nN)与圆x2y22在第一象限的交点，则极

nnnn1

y1

限limn().

n

xn1

1

A.1B.

2

C.1D.2

【答案】A

n

【解析】因为P(x,y)是直线2xy(nN)与圆x2y22在第一象限的交点，

nnnn1

yn122

而是经过点与的直线的斜率，由于点在圆上.[网ZXXK]

Pn(xn,yn)A(1,1)A(1,1)xy2

xn1

y11

因为k1，所以limn1.

OAn

xn1kOA

【考点定位】圆的切线，极限.

三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号

的规定区域内写出必要的步骤.

19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的

中点，E为劣弧CB的中点.已知PO2，OA1，求三棱锥PAOC的体积，并求异面

直线PA与OE所成角的大小.

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10

【答案】arccos

10

【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.

20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.

1

已知函数f(x)ax2，其中a为实数.

x

（1）根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

（2）若a(1,3)，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由.

【答案】（1）f(x)是非奇非偶函数；（2）函数f(x)在[1,2]上单调递增.

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【考点定位】函数的奇偶性、单调性.

21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.

如图，O,P,Q三地有直道相通，OQ5千米，OP3千米，PQ4千米.现甲、乙

两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)（单位：千米）.

甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时.乙到达Q地

后原地等待.设时乙到达地；时，乙到达地.

tt1Ptt2Q

（1）求与的值；

t1f(t1)

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，

t1tt2f(t)

并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.

f(t)[t1,t2]

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3341

【答案】（1）h，千米；（2）不超过了3千米.

88

3

【解析】（1）根据条件知t，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则

18

315

OA5，

88

所以在OAP中，

由余弦定理得

15453341

f(t)APOA2OP22OAOPcosAOP()29（千

18458

米）.

737

（2）可求得t，设t小时后，且t，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示，

2888

所以BQ55t，CQ78t，

所以在BCQ中，

4

由余弦定理f(t)BC(55t)2(78t)22(55t)(78t)25t242t18，

5

37

所以f(t)25t242t18，t，

88

37

设g(t)25t242t18，t，

88

21373369725

因为函数g(t)的对称轴为t[,]，且g()，g()，

2588864864

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369341

所以g(t)得最大值为，此时f(t)的最大值为3，

648

所以在上得最大值不超过3.

f(t)[t1,t2]

【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.

22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.

已知椭圆22，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，

x2y1l1l2ABCD

设AOC的面积为S.

（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明

A(x1,y1)C(x2,y2)ACCl1

；

S2|x1y2x2y1|

331

（2）设l:ykx，C(,)，S，求k的值；

1333

（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不

l1l2mml1l2S

变.

11

【答案】（1）详见解析；（2）k1或k；（3）m.

52

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m

（3）设l:ykx，则l:yx，设A(x,y)，C(x,y)，

12k1122

ykx1

由，的2，

22x12

x2y112k

1k2

同理2，

x222

m2

12()k2m

k

11xmx1|k2m|

由（1）知，S|xyxy||11xkx||xx|

212212k212|k|12

[

|k2m|

，

212k2k22m2

整理得(8S21)k4(4S216S2m22m)k2(8S21)m20，

由题意知S与k无关，

21

2S

8S108

则，解得.

4S216S2m22m01

m

2

1

所以m.

2

【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.

已知数列与满足，.

{an}{bn}an1an2(bn1bn)nN

（1）若，且，求数列的通项