三角形的内切圆 (课件) 2026-2027学年人教九年级数学上册

30.2三角形的内切圆人教版数学九年级上册

同学们，我们先来思考一个有趣的生活场景：想象一下，你有一块美味的三角形蛋糕。现在，你想在蛋糕的正中央，放一个最大的圆形奶油装饰.这个圆形装饰有一个特殊的要求：它必须刚刚好碰到蛋糕的三条边，不能多也不能少，不能偏也不能倚.导入新知3.能运用三角形内心的性质证明或解决问题.1.了解三角形内切圆和内心的概念.2.能用直尺和圆规作三角形的内切圆.素养目标

小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？探究新知三角形的内切圆及作法知识点1问题1:如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？

OOOO最大的圆与三角形三边都相切探究新知问题2:如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？

(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？

探究新知圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.为什么呢？三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.MND作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.探究新知做一做ACB1.与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫作这个三角形的内心.3.这个三角形叫作这个圆的外切三角形.BACI

☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.探究新知例

已知:△ABC(如图),(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).(2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数.三角形的内切圆的作法素养考点探究新知解：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC,AB于点H,G;②分别以H,G为圆心,以大于

HG的长为半径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为∠BAC的平分线;③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心;④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆.探究新知(2)∵∠BAC=88°,∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=×92°=46°,∴∠BIC=180°-46°=134°.探究新知△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设内心为O，连接OA，OB，OC.）解：设AB=c，BC=a，AC=b.OrCABDMNrr则S△OBC=

ar，

S△OBA=

cr，S△OAC=

br，S△ABC=S△OBC+S△OBA+S△OAC=

ar+

cr+

br=

r（a+c+b）=lr.巩固练习BACI问题1如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB

，IC有什么特点？线段IA，IB

，IC分别是∠A，∠B，∠C的平分线.探究新知三角形的内心的定义和性质知识点2问题2如图，分别过点作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G，那么线段IE，IF，IG之间有什么关系？BACIEFGIE=IF=IG探究新知三角形内心的性质三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.BACIEFG

IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG.探究新知例如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠

BIC的度数.解：连接IB，IC.ABCI∵点I是△ABC的内心，∴IB，IC分别是∠

B，∠C的平分线，在△IBC中，利用三角形内心的性质求角度素养考点探究新知如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=

.解析：∵点P是△ABC的内心,∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.巩固练习90°名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC;2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB;3.内心在三角形内部ABOABCO探究新知1.（宁夏中考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=54°，则∠BOC=

°.解析：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵∠A=54°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=126°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×126°=117°.117链接中考·OABC2.（青海西宁中考）如图，四边形ABCD是☉O的外切四边形，且AB=9，CD=15，则四边形ABCD的周长为

.解析：∵四边形ABCD是☉O的外切四边形，∴AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，∴AD+BC=AB+CD=24，∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=48.48链接中考·ABCDO·ABCDOHEFG3.（四川攀枝花中考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DOE=120°，∠EOF=150°．（1）求△ABC的三个内角的大小；（2）设⊙O的直径为d，证明：d=AB+AC-BC．链接中考ABCEDFO（1）求△ABC的三个内角的大小；解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF，∴∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°，∵∠DOE=120°，∠EOF=150°，∴∠B=360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE=60°，∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=30°，∴∠A=180°-∠B-∠C=90°，∴∠A，∠B，∠C的度数分别为90°，60°，30°．链接中考ABCEDFO（2）设⊙O的直径为d,证明：d=AB+AC-BC．证明：∵AD=AF，BD=BE，CF=CE，∴BD+CF=BE+CE=BC，∵AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC，∴2AF=AB+AC-BC，∵∠ODA=∠OFA=∠A=90°，∴四边形ADOF是矩形，∴OD=AF，∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径，∴d=2OD=2AF，∴d=AB+AC-BC．链接中考ABCEDFOABCO110°课堂检测基础巩固题1.如图，已知点O是△ABC

的内心，且∠ABC=60°，∠ACB=80°，则∠BOC=

.（3）若∠BIC=100°，则∠A=

°.（2）若∠A=80°，则∠BIC=

°.130202.如图，在△ABC中，点I是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____.ABCI（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？120°课堂检测课堂检测能力提升题如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC=90°，CM=2，AM=3，则⊙O的半径为

．解析：连接ON，OQ.∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，∴ON⊥AB，OQ⊥BC，∴∠ONB=∠OQB=90°.∵∠B=90°，∴四边形ONBQ为矩形，∵ON=OQ，∴矩形ONBQ为正方形﹒设⊙O的半径为r，则BN=BQ=ON=r﹒∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，CM=2，AM=3，∴CM=CQ=2，AM=AN=3，在Rt△ABC中，由勾股定理得：（r+2）2+（r+3）2=（2+3）2，解得r=1或-6（不合题意，舍去），∴⊙O的半径为1﹒1NQCABO.M如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.证明：连接